1、2012-2013学年北京市西城区（北区）八年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 计算 的结果是（ ） A -9 B -9 CD 答案： C 试题分析： 考点：指数幂的计算 点评：本题考查的较为简单，只需通过指数幂的一般运算法则即可解出。 小华、小明两同学在同一条长为 1100米的直路上进行跑步比赛，小华、小明跑步的平均速度分别为 3米 /秒和 5米 /秒，小明从起点出发，小华在小明前面200米处出发，两人同方向同时出发，当其中一人到达终点时，比赛停止设小华与小明之间的距离 y（单位：米），他们跑步的时间为 x（单位：秒），则表示 y与 x之间的函数关系的图象是（ ） A B C
2、 D 答案： D 试题分析：跑步时间为 x秒，当两人距离为 0时，即此时两个人在同一位置，此时 ，即 时，两个人距离为 0，当小华到达终点时，小明还未到达，小华到达终点的时间为 s，此时小明所处的位置为m，两个人之间的距离为 m。 考点：简单应用题的函数图象 点评：此题较为简单，通过计算两个人相遇时的时间，以及其中一个人到达终点后，两个人之间的距离，即可画出图象。 如图，在等腰直角三角形 ABC 中， BAC=90，在 BC 上截取 BD BA，作 ABC的平分线与 AD相交于点 P，连结 PC，若 ABC的面积为 ，则 BPC的面积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ，又有
3、公共边 ，所以 ABP DBP，所以 ，即 P为 AD中点，所以 ABC和 BPC的高的比为 2:1，又因为两个三角形有共同底边 BC， ABC的面积为 ，所以 BPC的面积为。 考点：全等三角形的应用 点评：通过全等三角形，可以推出各组数据对应相等，再由此转化为三角形的高之比。 一次函数 （ m为常数且 m0），若 y随 x增大而增大，则它的图象经（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限 答案： A 试题分析：原式可化为 ， 随着 的增大而增大，即此式中 m值大于零，回归题目中已给出的函数，即图像的截距在 轴的正半轴，又比例系数m大于零，即图象经
4、过一三象限，结合两者，可知图像必定经过一、二、三象限。 考点：函数式求出函数的图象 点评：本题考查的是较为简单的函数图形模型，通过一次函数的比例系数以及截距，可以大致画出函数图象。 估计 的值在（ ） A 1与 2之间 B 2与 3之间 C 3与 4之间 D 4与 5之间 答案： C 试题分析： ， ， ，所以选 C。 考点：一般数值的开方估算 点评：此题较为简单，通过计算四个选项中的数值，即可求出正确答案：。 如图，三条公路把 A、 B、 C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ） A在 AC、
5、BC 两边高线的交点处 B在 AC、 BC 两边中线的交点处 C在 A、 B两内角平分线的交点处 D在 AC、 BC 两边垂直平分线的交点处 答案： C 试题分析：三角形的角平分线交点，此交点到三角形的三边距离相等。 考点：三角形角平分线交点性质 点评：三角形的角平分线，每一个角都被平分，如以 A点来看，过交点做直线分别垂直于 AB和 AC，即分别形成两个直角，又因为角平分线平分 ，还有公共边即此角平分线，所以两个三角形全等，即交点到两边距离相等，同理可验证交点到另一边的距离也相等。 下列各式中，正确的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： A选项中， ， B选项中， ， C选项中，
6、 D选项中， 。 考点：分式中分子与分母运算符号的转换 点评：若分式前运算符号为负号，则此负号可以移动到分子或者分母的其中一方，再根据混合运算法则进行计算。 将正比例函数 y=3x的图象向下平移 4个单位长度后，所得函数图象的式为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：图像向下平移 4个单位，即在原图像横坐标不变的情况下，纵坐标总体下移 4个单位，即原图像在计算上应该减去 4个单位，即 。 考点：函数图象的平移 点评：函数图像的平移，一般可以这么记住：左加又减，上加下减。即向左移动横坐标就加，向右移动横坐 标就减，向上移动整体函数式就加，向下移动整体函数式就减。 点 P（ -3， 5）关
7、于 y轴的对称点的坐标是（ ） A（ 3， 5） B（ 3， -5） C（ 5， -3） D（ -3， -5） 答案： A 试题分析：点 P 关于 y轴对称，即横左边改变，纵坐标不变，所以横左边变为 3，即对称点坐标为 。 考点：坐标点的对称运算 点评：本题较为简单，考查的是坐标点关于坐标轴的运算，若给出的非坐标轴，则需要进一步用横坐标和纵坐标的加减法来计算。 剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： A非对称图形， B为中心对称图形， C非对称图形， D为轴对称图形 考点：中心对称图形和轴对称图形的
8、判断 点评：中心对称图形即围绕图形的中心旋转 180度后与原图形相同，轴对称图形即沿着图形做一条经过图形中心的直线，直线两边的图形与直线成镜面对称。 填空题 如果满足条件 “ ABC=30， AC=1， BC=k（ k 0） ”的 ABC是唯一的，那么 k的取值范围是 答案： 或 试题分析：因为 ， ，当 时， ，若时，此时 ，因为 恒为 1，所以当 为确定值且时，此时三角形也是唯一的。 考点：三角形边与角的关系 点评：此题较为复杂，需要通过三角形的角与边的关系来判断，最特殊的两种情况，即直角三角形以及等腰三角形的情况，再由此进行深一步的讨论。 如图，在 ABC中， AB=AC， D为 BC
9、边上一点，且 BAD=30，若AD=DE， EDC=33，则 DAE的度数为 答案： 试题分析： ，所以 ， ， ，即 ，结合题目中已给的数值和上述几道式子，可以求出 。 考点：三角形外角和的简单计算 点评：通过三角形外角和的换算，可以求出一些简单的三角关系式。 某校组织学生到距离学校 15千米的西山公园秋游，先遣车队与学生车队同时出发，先遣车队比学生车队提前半小时到达公园以便提前做好准备工作已知先遣车队的速是学生队车速度的 1.2倍，若设学生车队的速度为 x千米 /时，则列出的方程是 答案： 试题分析：学生车队所花的时间比先遣车队所花时间多了半个小时，即多了小时，学生车队花费的时间为 小时，
10、先遣车队花费的时间为 小时，两者之差即为所求方程式。 考点：简单应用题的方程式列法 点评：通过题目中的已知条件，可以注意到学生车队与先遣车队的关系式，即先遣车队的速是学生队车速度的 1.2 倍，先遣车队比学生车队提前半小时到达，由此可以列出方程式。 若 ， ，则 x+y 答案：或 -5 试题分析： ，即 ， ，即 ，所以 或 。 考点：平方、三次方的简单计算 点评：此题很简单，但是需要注意的是 ，算出来是有两个数值，若是改为 ，则答案：只有一个，为 。 如图，在 Rt ABC中， ACB=90， A=15， AB的垂直平分线与 AC 交于点 D，与 AB交于点 E，连结 BD若 AD 12cm
11、，则 BC 的长为 cm 答案： 试题分析： DE为 AB的垂直平分线，即 ， ，又，所以 ,又 ，所以 。 考点：垂直平分线的应用 点评：垂直平分线上的任意一点，到被平分的线段两个端点的距离相等。 一次函数 的图象与 x轴的交点坐标为 ，与 y轴的交点坐标为 答案： ( )， ( ) 试题分析：将 代入，可以求出纵坐标，将 代入，可以求出纵坐标。 考点：一次函数截距的求法 点评：此题很简单，考查的是一次函数的截距求法，即将 和 分别代入，即可求出截距。 在 ， ， ， ， 这五个实数中，无理数的是 答案： ， 试题分析： 是循环小数，不是无理数； 是整数之比，不是无理数；开放后是无限小数，是
12、有理数； 为无限小数； ，不是无理数。 考点：无理数的概念 点评：无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、 和 e。 在函数 中，自变量 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：分母不为 0，即 ，所以 。 考点：反比例函数自变量取值范围 点评：反比例函数的自变量所在的分母不为零，由此可以化为简单的不等式进行计算。 解答题 在平面直角坐标系 xOy中，直线 与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B （ 1）求 BAO 的度数； （ 2）如图 1， P为线段 AB上一点，在 AP 上方以 AP 为斜边作
13、等腰直角三角形APD点 Q 在 AD上，连结 PQ，过作射线 PF PQ交 x轴于点 F，作 PG x轴于点 G 求证： PF PQ ； （ 3）如图 2， E为线段 AB上一点，在 AE上方以 AE为斜边作等腰直角三角形AED若 P为线段 EB的中点，连接 PD、 PO，猜想线段 PD、 PO有怎样的关系？并说明理由 答案：（ 1） （ 2）证明：在等腰直角三角形 APD中， DA=DP， ， DP AD于 D，由（ 1）可得， ，又 PG x轴于 G， PG = PD， ， ， ，即，又 PQ PF， ， ，在 PGF和 PDQ 中， ， ， ， PGF PDQ， PF=PQ（ 3） OP
14、 DP， OP DP 证明：延长 DP 至 H，使得PH=PD， P为 BE的中点， PB=PE，在 PBH和 PED中， ， ， PBH PED， BH=ED， ， BH ED，在等腰直角三角形 ADE中， AD=ED， ， AD=BH， DE x轴， BH x轴， BH y轴， ，由（ 1）可得 OA=OB，在 DAO 和 HBO 中， ， ， DAO HBO， OD=OH， 5= 6， ， 在等腰直角三角形 DOH中， DP=HP， OP DP， ， ， OP=PD 试题分析：（ 1） 直线 与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B， A（ -6， 0）， B（ 0， 6）， OA=OB，
15、 ，在 AOB中， （ 2）由 ， DA=DP， 推出 DP AD，再利用（ 1）中的结论，结合图像，以及全等三角形的判定，可以推出， PF=PQ。 （ 3）由于 PB=PE，以及全等三角形的判定定理推出 PBH PED，由此可以推出 BH ED，又因为在等腰直角三角形 ADE中， AD=BH，所以利用全等三角形的判定定理，推出 DAO HBO，同时利用等腰直角三角形的特殊性，可以推出 OP=PD 考点：全等三角形的判定定理 点评：本题看似复杂，实则许多地方都用到了全等三角形的判断，全等三角形在中考中是重点，也是难点，学生应该加强这方面的练习，做到举一反三。 在平面直角坐标系 xOy中，横、
16、纵坐标都为整数的点称为整点已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律 回答下列问题： （ 1）经过 x轴上点（ 5， 0）的正方形的四条边上的整点个数是 ； （ 2）经过 x轴上点（ n， 0）（ n为正整数）的正方形的四条边上的整点个数记为 m，则 m与 n之间的函数关系是 答案：（ 1） 20（ 2） 试题分析：正方形四条边都相等，四个顶角到 O 点的距离也相等，即横坐标和纵坐标的数值的绝对值相等（ 1） x轴上点（ 5， 0）为其中一个顶点，所以有 5个整点，另外三个顶点到 O 点的距 离也相等，即有 15个整点，所以经过 x轴上点（ 5
17、， 0）的正方形的四条边上的整点个数是 20个。（ 2） x轴上点（ n， 0）（ n为正整数）为其中一个顶点，所以此时有 n个顶点，其他三个顶点到 O 点距离相等，即有 3n个顶点，所以共有 4n个顶点，又顶点总数为 m，所以。 考点：坐标轴的对称性质 点评：此题较为简单，可以通过坐标轴的对称性质来解答， x轴和 y轴都以 O点对称。若四个顶点不在坐标轴上，此时要讨论的情况就较为复杂，需要计算四条边分别所在的式，由此将各个 x 为整数值的代入式中，看 y 值是否为整数。 在 ABC中， AD是 ABC的角平分线 （ 1）如图 1，过 C作 CE AD交 BA延长线于点 E，若 F为 CE的中
18、点，连结AF，求证： AF AD； （ 2）如图 2， M为 BC 的中点，过 M作 MN AD交 AC 于点 N，若 AB=4， AC=7， 求 NC的长 答案：（ 1） AD为 ABC的角平分线， ， CE AD， ， ， ， AC=AE， F 为 EC 的中点， AF BC， ， AF AD。 （ 2） CN 5.5 试题分析：（ 1）由 与 CE AD，可以通过两直线平行性质推出内错角和同位角相等，等量代换得出 ，又等腰三角形底边的中线与底边上的高是同一条线，所以得出 AF BC，由此 AF AD。 （ 2）延长 BA与 MN 延长线于点 E，过 B作 BF AC 交 NM延长线于点
19、F， ， ， M 为 BC 的中点， BM CM，在 BFM 和 CNM 中， ， ， BFM CNM， BF CN， MN AD， ， ， ， ， ，设 ，则 ， ， ， 4 7-x x，解得 x 5.5， CN 5.5 考点：两平行线与交线的性质，等腰三角形三线合一 点评：本题考查的是学生对两平行线与过这两条线的直线相交的性质；等腰三角形的三线合一 很重要，通过求出其中任意一个数据，即可知道其他两个的数据；第二问关键在于做辅助线，辅助线在几何题中也是十分常用的一种方法。 已知：一次函数 的图象与正比例函数 的图象相交于点 A（ a， 1） （ 1）求 a的值及正比例函数 的式； （ 2）点
20、 P在坐标轴上（不与点 O 重合），若 PA=OA，直接写出 P点的坐标； （ 3）直线 与一次函数的图象交于点 B，与正比例函数图象交于点 C，若 ABC的面积记为 S，求 S关于 m的函数关系式（写出自变量的取值范围） 答案：（ 1） ， （ 2）（ -8 ， 0）或（ 0 ， 2）（ 3）试题分析：（ 1）将 代入 中，可求出 ，即 ，将（ -4,1）代入 中，得出 。 （ 2） PA=OA，由于 A点的横坐标为 ，若 P点在 x轴时，此时 P点的横坐标为 ，纵坐标为 0，即（ ），若 P点在 y轴，此时 A的纵坐标为 1，所以P点的纵坐标为 2，所以此时 P点坐标为（ ）。 （ 3）依
21、题意，得点 B的坐标为（ m， ），点 C的坐标为（ m， ），作 AH BC 于点 H， H的坐标为（ m， 1），以下分两种情况： （ ）当 m-4时， ， 。综上所述， （ ）。 考点：正比例函数，坐标系的 对称性，函数图象 点评：此题关键在于求出函数的式，式知道了，第二问第三问就知道了一些已知条件。本题难点在于第三问，需要分两种情况讨论，如果最后算出来两种情况答案：不一样，则两个答案：都应该写进去。 阅读下列材料： 木工张师傅在加工制作家具的时候，用下面的方法在木板上画直角： 如图 1，他首先在需要加工的位置画一条线段 AB，接着分别以点 A、点 B为圆心，以大于 的适当长为半径画弧，
22、两弧相交于点 C，再以 C为圆心，以同样长为半径画弧交 AC 的延长线于点 D（点 D需落在木板上），连接 DB则 ABD就是直角 木工张师傅把 上面的这种作直角的方法叫做 “三弧法 解决下列问题： （ 1）利用图 1就 ABD是直角作出合理解释 (要求：先写出已知、求证，再进行证明 )； （ 2）图 2表示的一块残缺的圆形木板，请你用 “三弧法 ”，在木板上画出一个以EF 为一条直角边的直角三角形 EFG（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 答案：（ 1）证明： AC=BC， ， BC=CD， ，在 ABD中， ， ，即 （ 2）如图， EFG为所求作的三角形 试题分析：（ 1）先通过
23、 AC 和 BC 相等推出 ，又 BC 和 CD相等，推出。同时，由于三角形内角和为 ，由此推出 。 （ 2）以 EF 为直角边，所以圆规为半径，与 E点和 F 点分别用相同的半径画弧，两弧交点即为 EG中点 T，同时半径不变，于 F点上方再画一弧线，同时连接ET至新画的弧线，交点为 G，连接 EFG即为所求三角形。 考点：三角形内角和，尺规作图 点评：本题重点在第二问，即尺规作图，尺规作图是中考必考部分，三弧法适用于做直角三角形。 如图，直线 经过点 A（ 0， 5）， B（ 1， 4） （ 1）求直线 AB的式； （ 2）若直线 与直线 AB相交于点 C,求点 C的坐标； （ 3）根据图象
24、，写出关于 x的不等式 2x-4kx+b的解集 答案：（ 1） （ 2）点 C的坐标为（ 3， 2）（ 3） 试题分析：（ 1） 直线 经过点 A（ 5， 0）、 B（ 1， 4），即 ，所以 ， 。所以 。 （ 2） 直线 与直线 AB相交于点 C，所以 ，即，所以 ，可以求出 ，所以 C点坐标为（ 3,2）。 （ 3）由图象可知， 与 的图象相交于点 C，当 的图象在 即 图象上方那部分时，此时 ，当两图象函数值相等时，此时 ，综上可知， 。 考点：一次函数的式求法，图象相交点的求法，简单函数图形函数值的判断 点评：此题较为简单，一次函数给出已知两个点，即可求出函数的式；函数的交点判断，级
25、两个函数式相等；通过图象的直观比较，可以看出函数图象的函数值大小比较。 已知：如图， A、 B、 C、 D四点在同一直线上， AB=CD， AE BF 且AE=BF 求证： EC=FD 答案： AE BF， A= FBD，又 AB= CD， AB BC = CD BC，即 AC=BD，又 AE=BF，所以 AEC BFD，所以 AE=BF。 试题分析： AE BF， A= FBD 又 AB= CD， AB BC = CD BC 即 AC=BD 在 AEC和 BFD中， AEC BFD（ SAS） EC=FD 考点：全等三角形的判断 点评：此题很简单，考查的是全等三角形的判断，题目中给出的条件有
26、一组边相等，同时直线的平行也可以推出同位角相等，再由 AB=CD可以推出另一组边相等，通过边角边，可以判断两个三角形全等。 解方程： 答案： 试题分析：方程两边同时乘以 ，得 ，化简可得 ，所以 。当 时， ， ，所以 。 考点：方程式的化简求解 点评：本题考查的方程式的化简，题目中的两个分母满足的是平方差公式，由此可 以想到利用平方差公式来进行计算。同时要注意对答案：进行检验，因为方程中分母含有未知项。 先化简，再求值： ，其中 答案： 试题分析：原式可以化为 ，当 时，原式 考点：完全平方公式、平方差公式的计算 点评：本题考查的是完全平方公式、平方差公式的简单运算规律 计算： 答案： 试题
27、分析：原式可以化为 考点：开方计算 点评：本题比较简单，考查的是开方的简单计算。 在 Rt ABC中， ACB=90， A=30， BD是 ABC的角平分线， DE AB于点 E （ 1）如图 1，连接 EC，求证： EBC是等边三角形； （ 2）点 M是线段 CD上的一点（不与点 C， D重合），以 BM 为一边，在 BM的下方作 BMG=60， MG 交 DE 延长线于点 G请你在图 2 中画出完整图形，并直接写出 MD， DG与 AD之间的数量关系； （ 3）如图 3,点 N 是线段 AD上的一点，以 BN 为一边，在 BN 的下方作 BNG=60， NG交 DE延长线于点 G，且 MB
28、=MG试探究 ND， DG与 AD数量之间的关系，并说明理由 答案：（ 1）证明：在 Rt ABC 中， ACB=90， A=30， ， BD平分 ABC， ， ， DE AB于点 E， ， ， BCE是等边三角形 （ 2） AD = DG DM （ 3） AD = DG-DN 试题分析：（ 1）要证明 BCE是等边三角形，首先要知道 BC 和 BE相等，由于已给出 ，所以要证明 ，只需证明 ，利用题目中给出的数据，可以很容易求出。（ 2）由于 ，且 ，所以 MGB是等边三角形，做 GF 交 DB于点 F，所以 DFG为等边三角形，所以 ，又 ， ，所以 MDG BFG，所以，又 ， ，而 ，所以 （ 3）延长 BD至 H，使得 ，由（ 1）得 ， ， DE AB于点 E， ， ， NDH是等边三角形， ， ， ， ， ，即 ，在 DNG 和 HNB 中， ， ， ， DNG HNB， DG=HB， HB=HD DB=ND AD， DG= ND AD， AD = DG-ND 考点：其中一个锐角为 30度的直角三角形的特殊性 点评：本题较为复杂，第一问通过直角三角形的特殊性，可以较容易解出来
