1、2010-2011年广东省汕头市金山中学高二下学期期中考试理数 选择题 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： C 令 ，则由函数单调递增可知，当 时， ，即 ；反之也成立 . 已知命题 ：抛物线 的准线方程为 ；命题 ：若函数为偶函数，则 关于 对称则下列命题是真命题的是（ ） A B C D 答案： D 设 m N*， F(m)表示 log2m的整数部分，则 F(210 1) F(210 2) F(210 3) F(211)的值为（ ） A 10210 B 10210 1 C 10210 2 D 10210-1 答案： B 考点：对数的
2、运算性质 分析：由题意可得除最后一项外，每一项的值都等于 10，而最后一项的值等于11，共有 210 项，由此求得这 210 项的和 解：由题意知： F（ 210+1） +F（ 210+2） +F（ 210+3） +F （ 211） =10+10+10+10+ （ 10+1） =10210+1 故选 B 定义运算 -，则符合条件 的复数 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 由题 ，所以 ，则 ，所以复数 对应的点在第一象限 . 展开式中的常数项为（ ） A -1320 B 1320 C -220 D 220 答案： C .函数 处的切线方程是（ ） A
3、 B C D 答案： D 某纺织厂的一个车间有技术工人 名（ ），编号分别为 1、 2、3、 、 ，有 台（ ）织布机，编号分别为 1、 2、 3、 、 ，定义记号 ：若第 名工人操作了第 号织布机，规定 ，否则 ，则等式 的实际意义是（ ） A第 4名工人操作了 3台织布机； B第 4名工人操作了 台织布机； C第 3名工人操作了 4台织布机； D第 3名工人操作了 台织布机 . 答案： A 根据右边给出的数塔猜测 123456 9+8=（ ） A 1111110 1 9+2=11 B 1111111 12 9+3=111 C 1111112 123 9+4=1111 D 1111113 1
4、234 9+5=11111 答案： C 填空题 .某地为上海 “世博会 ”招募了 20名志愿者，他们的编号分别是 1号、 2号、 、 19号、 20号，若要从中任意选取 4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保 5号与 14号入选并被分配到同一组的选取种数是 答案： 展开式中 的系数为 -_ _. 答案： 将一颗骰子先后抛掷两次，在朝上一面数字之和不大于 6的条件下，两次都为奇数的概率是 . 答案： 曲线 与直线 ， 及 轴所围成图形的面积为 . 答案： 曲线 与直线 ， 在平面直角坐标系中如图，则它们的图象与 轴所围成图形面
5、积为 已知随机变量 X服从正态分布 ，且 =0.7，则 答案： .15 设集合 A 1,2,3,4， m， n A，则方程 表示焦点在 x轴上的椭圆有 个 答案： 解答题 已知 ABC的内角 A、 B、 C所对的边分别为 且 ， (1) 若 ，求 的值； (2) 若 ABC的面积 ，求 的值 答案：解： (1) cosB= 0，且 0B， sinB= . 2 分 由正弦定理得 ， 4 分 . 6 分 (2) S ABC= acsinB=4， 8 分 ， c=5. 10 分 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB， .12 分 （本小题满分 14分） 如图 , 在直三棱柱 ABC-A1B
6、1C1中， AC 3， BC 4， ， AA1 4，点 D是 AB的中点 （ 1）求证： AC BC1； （ 2）求 的体积； （ 3）求二面角 的平面角的余弦值 答案：（ 1）证明：直三棱柱 ABC-A1B1C1，底面三边长 AC=3， BC=4， AB=5， AC BC， 2 分 又 AC C1 C， AC 平面 BCC1； AC BC1 4 分 （ 2） 8 分 （ 3）解法一：取 中点 ，过 作 于 ，连接 。 是 中点， 平面 ，又 ,又 平面 是二面角 的平面角 10 分 AC 3， BC 4， AA1 4， ， ， 二面角 的余弦值为 14 分 解法二：以 分别为 轴建立如图所示
7、空间直角坐标系， AC 3， BC 4， AA1 4， ， ， ， ， 平面 的法向量 ， 设平面 的法向量 ， 则 ， 的夹角的补角的大小就是二面角 的大小 则由 解得 12 分 ， 13 分 二面角 的余弦值为 14 分 （本小题满分 12分） 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 ， ， ，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 ， ， （ 1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； （ 2）经过前后两次
8、烧制后，合格工艺品的个数为 ，求随机变量 的期望 答案：解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 ， ， ， （ 1）设 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 6 分 （ 2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 ， 所以 ， 10 分 故 12 分 解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 ，则 ， 所以 ， ， ， 10 分 于是， 12 分 （本小题满分 14分） 已知数列 的首项 ， ， （ 1）证明：数列 是等比数列； （ 2）求数列 的前 项和 答案：解：（ ） ， ， 2分 ，又 ， ， 5 分 数列 是以为 首项， 为公比的等比数列 6 分 （ ）由（
9、）知 ，即 ， 8 分 设 ， 则 ， . 10 分 由 得 12 分 又 13 分 数列 的前 项和 14 分 （本小题满分 14分） 已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线（ 1） 求椭圆 C的标准方程； （ 2）过椭圆 C的右焦点 F作直线 l交椭圆 C于 A、 B两点，交 y轴于 M点，若求 的值 . 答案：解： ( ) 解：设椭圆 C的方程 1 分 抛物线方程化为 x2=4y，其焦点为（ 0， 1） 2 分 则椭圆 C的一个顶点为（ 0， 1），即 b=1 3 分 由 所以椭圆 C的标准方程为 6 分 （ ）证明：易求出椭圆 C的右焦点 F（ 2， 0
10、）， 7 分 设 ，显然直线 l的斜率存在， 设直线 l的方程为 并整理， 得 9 分 10 分 （本小题满分 14分） 已知函数 为自然对数的底数） （ 1）求 的单调区间，若 有最值，请求出最值； （ 2）是否存在正常数 ，使 的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由 . 答案： 解：（ 1） 当 恒成立 上是增函数， 只有一个单调递增区间 ，没有最值 3分 当 时， ， 若 ，则 上单调递减； 若 ，则 上单调递增， 时， 有极小值，也是最小值， 即 6 分 所以当 时， 的单调递减区间为 单调递增区间为
11、，最小值为 ，无最大值 7 分 （ 2）方法一，若 与 的图象有且只有一个公共点， 则方程 有且只有一解，所以函数 有且只有一个零点 8分 由（ 1）的结论可知 10 分 此时， 的图象的唯一公共点坐标为 又 的图象在点 处有共同的切线， 其方程为 ，即 13 分 综上所述，存在 ，使 的图象有且只有一个公共点 ， 且在该点处的公切线方程为 14 分 方法二：设 图象的公共点坐标为 ， 根据题意得 高考资源网高考高 考￥资 %源 网资源网 即 由 得 ，代入 得 从而10 分 此时由（ 1）可知 时，因此除 外，再没有其它 ，使 13 分 故存在 ，使 的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为 ，公切线方程为14 分
