1、2010-2011年江西省宁冈中学高一第二学期期中考试数学 选择题 设 、 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是（ ） A B b C D 答案： C 考点：一元二次不等式的应用；不等关系与不等式 分析：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于 a， b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项 解： A选项正确，因为 a=-2， b=1时，不等式就不成立； B选项不正确，因为 a=1， b=2时，不等式就不成立； C选项正确，因为 a b，故当 a b时一定有 ； D选项不正确，因为 a=1， b=2时，不等式就不成立； 选项正确，因为 y=2x是一个增函数，故当 a b时一定有 2
2、a 2b， 故选 C 函数 = -2 的图象恒过定点 A，且点 A 在直线 上（ 0， 0），则 的最小值为（ ） A 12 B 10 C 8 D 14 答案： A 考点：基本不等式；指数函数的图像与性质 分析：根据 y=ax过定点（ 0， 1）求出点 A的坐标，再把点 A代入直线方程得到3m+n=1，再把 “1”整体代入所求的式子，利用基本不等式求出最小值 解： 函数 y=ax+3-2的图象恒过定点 A， A（ -3， -1）， 点 A在直线 mx+ny+1=0上， 3m+n=1， m 0， n 0， + =（ + ）（ 3m+n） =6+ + 6+6=12，当且仅当 = 时取等号， 所求的
3、最小值是 12， 故选 A 已知一个三角形的三边长构成等比数列，其公比为 ，则函数 = - 的值域为 A（ ， +） B ， +） C（ ， -1） D ， -1） 答案： D 考点：函数的值域；等比数列的性质 分析：由题意先设出三边为 a、 xa、 x2a、 x 0则由三边关系：两短边和大于第三边 a+b c，分公比大于 1与公式在小于 1两类解出公比的取值范围，此两者的并集是函数 y=x2- x的定义域，再由二次函数的性质求出它的值域，选出正确选项 解：设三边： a、 xa、 x2a、 x 0则由三边关系：两短边和大于第三边 a+b c，即 （ 1）当 x1时 a+ax ax2，等价于解二
4、次不等式： x2-x-1 0，由于方程 x2-x-1=0两根为： 和 ， 故得解： q 且 x1， 即 1x （ 2）当 x 1时， a为最大边， xa+x2a a即得 x2+x-1 0，解之得 x 或x - 且 x 0 即 x 综合（ 1）（ 2），得： x （ ， ） 又 y=x2- x的对称轴是 x= ，故函数在（ ， ）是减函数，在（ ， ）是增函数 由于 x= 时， y=- ； x= 与 x= 时， y=-1 所以函数 y=x2- x的值域为 - ， -1） 观察四个选项知应选 D 故选 D ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 、 、 ，若 = ，且 =2,则 等于（ ） A、
5、 B、 C、 D、 答案： B 考点：余弦定理；正弦定理 分析：由正弦定理与 sinC=2sinA，可解得 c=2a，将这些代入由余弦定理得出的关于 cosB的方程即可求出 解： sinC=2sinA， 由正弦定理得 c=2a， 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB， 将 b2=ac及 c=2a代入上式解得 cosB= 故选 B 在样本的频率分布直方图中，共有 11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他 10个小长方形面积之和的 ，且样本容量为 160，则中间一组的频数为（ ） A 32 B 36 C 40 D 42 答案： A 如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎
6、叶图，中间的数字表示得分 的十位数，据图可知（ ） A甲运动员的最低得分为 0分 B甲运动员得分的众数为 44分 C乙运动员得分的中位数是 29分 D乙运动员得分的平均值在区间（ 11、 19）内 答案： B 在 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 、 、 ，若 = ，则 ABC的形状为（ ） A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形 答案： B 考点：解三角形 分析：利用二倍角公式代入 cos2 = 求得 cosB= ，进而利用余弦定理化简整理求得 a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形 解： cos2 = ， = ， cosB= ，
7、 = ， a2+c2-b2=2a2，即 a2+b2=c2， ABC为直角三角形 故选 B 已知 ABC中， = ， = ， B=60，那么满足条件的三角形的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 0 答案： A 考点：解三角形 分析：先利用正弦定理求出 sinA 的值，然后根据大边对大角的原理可求出角 A，从而确定满足条件的三角形的个数 解： a= ， b= ， B=60， = 即 = sinA= a b A B则 A=45 满足条件的三角形的个数为 1 故选 A 已知 1既是 与 的等比中项，又是 与 的等差中项，则 的值 是（ ） A 1或 B 1或 C 1或 D 1或 答案： D 考点
8、：数列的应用 分析：由题设条件可知， a2b2=1， + =2，由此能够导出， = ；可得 ab=1又由 = ，分别将 ab=1与 ab=-1代入可得答案： 解：由题意知 a2b2=1， + =2， =2， =4， a2+b2=4-2ab， a+b=2ab， = 由 a2b2=1知 ab=1 当 ab=1时， = = =1 当 ab=-1时， = = =- 故 的值是 1或 - 答案： D 已知等差数列 中共有 18项，其中奇数项之和为 11，偶数项之和为29，则其公差为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 考点：等差数列的性质 分析：由题意可得奇数项有 9项，偶数项有 9项，设
9、公差为 d，则由 9d=29-11 即可求得公差 d的值 解：由题意可得奇数项有 9项，偶数项有 9项，设公差为 d，则 9d=29-11=18， d=2， 故选 C 填空题 某班 40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如后，第一组平均分 90，标准差为 6，第二组平均分为 80，标准差为 4，则全班成绩的标准差为 答案： 某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生 400人，采用分层抽样法抽取一个容量为 45的样本，高二年级抽取 15人，高三年级抽取 10人，那么高中部的学生人数为 答案： 900 在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 、 、 ，若 ABC=，则角 C的
10、大小为 答案： 不等式 0的解集为 2 3，则不等式 0的解集为 答案： -3 -2 已知数列 的前 项和为 = ，则它的通项公式为 答案： 解答题 已知等比数列 中， 。 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设等差数列 中， ，求数列 的前 项和 。 答案：解：（ 1） （ 2） 某企业利用银行无息贷款，投资 400万元引进一条高科技生产流水线，预计每年可获产品利润 100万元。但还另需用于此流水线的保养、维修费用第一年 10万元，以后每年递增 5万元，问至少几年可收回该项投资？（即总利润不小于总支出） 答案：解：设至少 n年可收回该项投资 ,则 100n400+ 10+15+(5n+5)
11、 即 n2-37n+1600 5n32 答：至少 5年可收回该项投资 在 中 ，已知 ，求边 的长及 的面积 S。 答案：解：由正弦定理得 或 当 时，又 ， 当 时，又 ， 在 中，已知内角 A、 B、 C成等差数列，边 AC 6。设内角 ，的周长为 。 答案：解（ 1） 角 A、 B、 C成等差数列 又 由 得 ， 即 由正弦定理得： （ 2） 当 即 时， 已知函数 、 对任意实数 、 都满足条件 ，且 ，和 ，且 ， （ ）求数列 、 的通项公式；（ 为正整数） （ II）设 ，求数列 的前 项和 。 答案：解 : （ ）由条件 中 ，得 为常数， 知 是以 3为公比的等比数列，又 ，
12、 在条件 中，令 ， ， 得 ， 知 是以 2为公差的等差数列， ，即 （ II）由（ ）得 2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。据科学测算，跳水运动员进行 10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面 米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面 5米或 5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （ ）求抛物线的式； （ ）某运动员按 （ 1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？ 答案：解：（ ）由已知可设抛物线方程为又抛物线过（ 0， 0）和（ 2， -10） 代入解得 ， 所以式为： （ ）要使得某次跳水成功，必须 亦即 即 ， 解不等式得 距池边的水平距离至多 米。
