1、2011-2012学年湖南省益阳市箴言中学高二下期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 且 ，则下列不等式中一定成立的是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： A不对，当 c0时成立； B不对，只有 0时才成立； C对； D不对，当 c=0时不成立。故选 C。 考点：本题主要考查不等式的性质。 点评：简单题，不等式的性质，既可单独进行考查，也可以在综合题中进行考查，应在理解基础上牢记。 已知曲线 （ a 0,b 0）的两个焦点为 ,若 P为其上一点， , 则双曲线离心率的取值范围为（ ） A (3,+ ) B C (1,3) D 答案： D 试题分析：设 P（ x， y）根
2、据双曲线的焦半径公式， 即等价于 ex+a=2(ex-a)， 所以 ex=3a，从而 e= 由双曲线的范围， x a，故 e 3 因此， 1e 3,故选 D。 考点：本题主要考查双曲线的几何性质，焦半径公式。 点评：基础题，双曲线的焦半径公式，往往出现在练习之中，当做结论使用有时很方便。 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心，E、 F分别是 CC1、 AD的中点那么异面直线 OE和 FD1所成角的余弦值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：建立如图所示空间直角坐标系， 则 O(1， 1， 0)， E(0， 2， 1)， F(1，
3、 0， 0)， (0， 0， 2)， 所以 =(-1， -0， 2)， =(-1， -1， 1)， = ，故选 B。 考点：本题主要考查异面直线所成角的计算。 点评：基础题，求异面直线所成角应用 “几何法 ”要遵循 “一作、二证、三计算 ”。利用空间向量可转化成向量的计算问题。 若实数 满足 则 的最小值是 ( ) A 0 BC 1 D 2 答案： A 试题分析：画出可行域（如图），直线 x+2y=0，平移发现过原点是 z 最小为 0，故选 A。 考点：本题主要考查简单线性规划的应用。 点评：简单题，解答此类题目，遵循 “画可行域、移、定、解 ”的步骤。 已知 中， 所对的边分别为 ，且,那么
4、角 等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由正弦定理得 ，所以 = ，又 ab，所以角 等于 ，故选 B。 考点：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用。 点评：简单题，利用正弦定理求角时，要注意有两解的情况。 已知 ，则 的值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：由已知 = ，故选 C。 考点：本题主要考查函数的极限，导数的概念。 点评：简单题，注意理解导数的概念，并将 转化成导数。 设 是等差数列， ， ，则这个数列的前 6项和等于 ( ) A 12 B 24 C 36 D 48 答案： B 试题分析：因为 ，所以 ，又 ，公差2，所以 =-1，数列
5、的前 6项和等于 24，故选 B。 考点：本题主要考查等差数列的性质，前 n项和公式。 点评：简单题，利用等差数列的性质 p+q=m+n, 。 已知条件 ，条件 ，则 是 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：显然，由 可以推出 ；反之，由可得 x=2或 x=3，所以 是 的充分不必要条件。选 A。 考点：本题主要考查充要条件的概念。 点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。 填空题 曲线 是平面内与两个定点
6、和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线 过坐标原点； 曲线 关于坐标原点对称； 若点 在曲线 上，则 的面积不大于 . 其中，所有正确结论的序号是 _ _ 答案：（ 2）（ 3） 试题分析：对于 ：曲线 C经过原点。错误。如果经过原点，那么 a=1，与条件不符； 对于 ：曲线 C关于原点对称，正确。如果在某点处 | =a2，关于原点的对称点处也一定符合 | =a2； 对于 ： 的面积 S ；正确。从三角形的面积公式 S= absinc可知，显然 S= | sin | = 综上：（ 2）（ 3）正确。 考点：本题主要考查曲线的特征，三角形面积公式。 点评：中档题，利用 几何意义
7、研究曲线的几何性质，这样的题目往往与新定义问题结合在一起。 已知命题 p:“ ”，命题 q:“ ”若命题 “p且 q”是真命题，则实数 a的取值范围是 _. 答案： 试题分析：因为命题 “p且 q”是真命题，所以 p,q均为真命题。 由 ，又 ，所以 ，此时 p 真； 由 有解得， ，解得 或 ，此时 q 真。 为使 p,q均为真命题，则 。 考点：本题主要考查命题的概念，方程及不等式的基础知识。 点评：小综合题，命题涉及知识面较广，对考生所学知识掌握及灵活运用知识的能力有较好考查。 定积分 =_ 答案： 试题分析：该定积分几何意义是圆 在 x轴上方半圆的面积， 所以 = 。 考点：本题主要考
8、查定积分的几何意义。 点评：简单题，看是定积分计算问题，但求原函数要麻烦，注意运用其几何意义，简单。 抛物线 的准线方程是 答案： 试题分析： 即 ，所以抛物线焦点在 x轴负半轴， 2p= ，准线方程为 。 考点：本题主要考查抛物线的几何性质 点评：易错题，求抛物线的焦点坐标或准线方程，应首先将抛物线方程化为标准方程，以明确焦点轴， 2p值。 等比数列 中 ,且 ,则 = 答案： 试题分析：由等比数列的性质， p+q=m+n, 及， 得 =36，而 ，所以 =6。 考点：本题主要考查等比数列的性质。 点评：基础题，等比数列是高考必考内容，特别是等比数列的性质及 “错位相消法 ”求和。等比数列中
9、， p+q=m+n, 。 设向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 _ _ 答案： 试题分析：设 =（ x,y） ,因为 ， ，所以（ x+1,y+2）=(3,3),x=2,y=1, =(2,1),所以 = 。 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算。 点评：基础题，涉及平面向量的夹角计算问题，一般考虑两种思路，数量积定义法、坐标运算法。 函数 的定义域是 答案： 试题分析：由 得 ，解得 ，所以答案：为。 考点：本题主要考查函数定义域，一元二次不等式解法。 点评：基础题，求函数定义域，要考虑偶次根式，被开方数非负；对数的真数大于 0等。定 义域要写成集合或区间形式。 解答题 （本小题满分 10分）
10、 在 中，角 的对边分别为 ，且满足（ 1）求角 的大小； （ 2）若 为钝角三角形，求实数 的取值范围。 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析： 1）因为 由正弦定理得：。 所以 。 3分 因为 ，所以 -4分 因为 ，所以 -5分 2）（因为 ，由正弦定理得： ，所以 由余弦定理得： -8分 因为 ，且三角形为钝角三角形，所以 所以 ， 所以 -10分 考点：本题主要考查三角形内角和定理，两角和的三角函数，正弦定理，余弦定理。 点评：典型题，本题较全面地考查三角知识内容。研究三角形问题，要注意挖掘运用三角形中的 “隐 含条件 ”。（ 2）中由 “ 为钝角三角形，求实数 的取值范围 ”易
11、错。 (本小题满分 10分 ) 已知：等差数列 ， ，前 项和为 各项均为正数的等比数列列 满足： ， ，且 （ 1）求数列 与 的通项公式； （ ）求 答案：（ ） ， （ ） 试题分析：（ ）设等差数列 的公差为 ， 的等比为 ， ， 则 ， 依题意有， 4 分 故 ， 5 分 （ ） ， 8 分 10 分 考点：本题主要考查等比数列的通项公式，等差数列的通项公式、 “裂项相消法 ”求和。 点评：中档题，涉及等差数列、等比数列的题目，是高考必考题，特别是数列求和中的 “错位相减法 ”“裂项相消法 ”轮番出现，要注意掌握好此类题的一般解法。 （本题满分 10分） 如图， PABCD 是正四棱
12、锥， 是正方体，其中 （ 1）求证： ； （ 2）求平面 PAD与平面 所成的锐二面角 的余弦值； 答案：以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系 （ 1）通过建立空间直角坐标系，确定 ， 证得 推出 . （ 2） . 试题分析：以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系 （ 1）证明 :设 E是 BD的中点， PABCD 是正四棱锥， 又 ， ， 即 .-5分 （ 2）解 :设平面 PAD的法向量是 ， 取 得 ， 又平面 的法向量是 ， .-10分 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，二面角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角
13、、距离的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，本题利用 “向量法 ”则简化了证明过程，且思路清晰，方法明确。适当建立空间直角坐标系是关键。 （本小题满分 8分） 某车间生产某机器的两种配件 A和 B，生产配件 A成本费 y 与该车间的工人人数 x成反比，而生产配件 B成本费 y 与该车间的工人人数 x成正比，如果该车间的工人人数为 10人时，这两项费用 y 和 y 分别为 2万元和 8万元，那么要使这两项费用之和 最小，该车间的工人人数 x应为多少？ 答案：当车间的工人人数为 5人时，两项费用之和最少。 试题分析：由题意可得
14、， -4分 设两项费用之和为 y,则 y=y1+y2= 当且仅当 -8分 答：当车间的工人人数为 5人时，两项费用之和最少。 考点：本题主要考查函数模型，均值定理的应用。 点评：中档题，首先构建函数模型，结合函数特征，灵活选用进一步求解的方法。应用均值定理 “一正、二定、三相等 ”三条件缺一不可。 （本题满分 10分） 已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,且过 ,设点 . （ 1）求该椭圆的标准方程； （ 2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程。 答案： (1) ； (2) 。 试题分析： (1)由已知得椭圆的长半轴 a=2,半焦距 c= ，得椭圆的标准方
15、程； (2)设线段 PA的中点为 M(x,y) ,点 P的坐标是 (x0,y0)， 由 ，得 由于点 P在椭圆上 ,得 , 线段 PA中点 M的轨迹方程是 -10分 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，求轨迹方程的基本方法。 点评：基础题，涉及椭圆标准方程问题，要求熟练掌握 a,b,c,e的关系，涉及曲线的 “中点 的轨迹方程 ”问题，往往利用 “相关点法（代入法） ”。 （本题满分 12分）已知 在 处有极值，其图象在 处的切线与直线 平行 . （ 1）求函数的单调区间； （ 2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 答案：（ 1）当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增。 （ 2） 。 试题分析：（ 1）由题意： 直线 的斜率为 ； 由已知 所以 -3分 所以由 得心 或 ； 所以当 时，函数单调递减 ； 当 时，函数单调递增。 -6分 （ 2）由 (1)知 ,函数在 时单调递减，在 时单调递增； 所以函数在区间 有最小值 要使 恒成立 只需 恒成立，所以 。 故 的取值范围是 -12分 考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值，简单不等式解法。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像 “ 恒成立 ”这类问题，往往要转化成求函数的最值问题，然后解不等式。
