1、2011届山西大学附中高三第二学期高三第一次模拟测试数学试卷与答案 选择题 已知集合 为 A（ 1， 2） B C D 答案： A （文）已知数列 满足 ，且 ，且 则数列 的通项公式为 A B C D 答案： D （理）已知函数 的定义域为 R，当 时， ，且对任意的实数 ， ，等式 恒成立 .若数列 满足 ，且= ，则 的值为 A 4018 B 4019 C 4020 D 4021 答案： D 给出下列命题： 函数 对称； 若向量 a、 b、 c满足 a b=a c且 ； 把函数 的图象； 若数列 既是等差数列又是等比数列，则 其中正确命题的序号为 A B C D 答案： A (文 )设函
2、数 在定义域内可导， 的图象如图， 则导函数 的图象可能为 答案： D （理）定义在 上的函数 满足 ， 为 的 导函数，已知 的图像如图所示，若两个正数 、 满足 ，则 的取值范围是 A B C D 答案： D 给出命题： （ 1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行； （ 2）设 是不同的直线， 是一个平面，若 ， ，则 ； （ 3）已知 表示两个不同平面， 为平面 内的一条直线，则 “ ”是“ ”的充要条件； （ 4） 是两条异面直线， 为空间一点 , 过 总可以作一个平面与 之一垂直，与另一个平行。 其中正确命题个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 设 是双曲线 的左
3、,右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使 （ O 为坐标原点），且 ，则双曲线的离心率是 A B C D 答案： D ABC的外接圆的圆心为 ，半径为 1， 且 ，则向量 在 方向上 的投影为 A B C D 答案： C 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的 侧面积（单位： cm2）为 A 48 B 64 C 80 D 120 答案： C 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为 ， 则判断框内应填入的条件是 A B C D 答案： C 化简 = A B - C -1 D 1 答案： B 已知 的解集为 A B C D 答案： C 已知复数 满足 A B C D 答案： D
4、填空题 如图， P是双曲线 上的动点， F1、 F2是双曲线的焦点， M是 的平分线上一点，且 某同学用以下方法研究 |OM|：延长 F2M交 PF1于点 N，可知 为 等腰三角形，且 M为 F2M的中点，得 类似地： P 是椭圆 上的动点， F1、 F2 是椭圆的焦点，M是 的平分线上一点，且 .则 |OM|的取值范围是 答案： （理）在等比数列 中，首项 ， ，则公比 为 (文 )等比数列 中， 是其前 项和， ，则 + + + = 答案： ,16 已知向量 = = ,若 ，则 的最小值 答案： 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案：填在 答题卡的相 应位置） 1
5、3学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量 为 n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 50,60) 元的同学有 30人，则 n的值为 _ 答案： 解答题 （ 12分） 已知向量 m ， n ，函数 m n. (1)若 ，求 的值； (2)在锐角 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 ，且满足 ，求 的取值范围 . 答案：又 均为锐角 的取值范围是： （ 12分） 某中学的高二 (1)班男同学有 名，女同学有 名，老师按照分层抽样的方法组建了一个 人的课外兴趣小组 （ ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数； （ ）经过一个月的学习、讨论，这个兴
6、趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出 名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率； （ ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为 ，第二次做试验的同学得到的试验数据为 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由 . 答案：解：（ ） 某同学被抽到的概率为2 分 设有 名男同学，则 ， 男、女同学的人数分别为4 分 （ ）把 名男同学和 名女同学记为 ，则选取两名同学的基本事件有共 种，其中有一名女同学的有 种 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 8 分 （ ） ， ， （ 12分） 如图，在三棱柱 ABC
7、-A1B1C1中，侧面 ABB1A1， ACC1A1均为正方形， BAC=90,点 D是棱 B1C1中点 （ 1）求证： A1D 平面 BB1C1C； （ 2）求证： AB1 平面 A1DC； （ 3）求二面角 D-A1C-A的余弦值 答案：（ ）证明：因为侧面均为正方形， 所以 , 所以 平面 ，三棱柱 是直三棱柱 1分 因为 平面 ，所以 ， 2分 又因为 ， 为 中点，所以 3 分 因为 ,所以 平面 4 分 （ ）证明：连结 ，交 于点 ，连结 ， 因为 为正方形，所以 为 中点， 又 为 中点，所以 为 中位线， 所以 ， 6 分 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 8 分 （ ）
8、解：因为侧面 ， 均为正方形， ， 所以 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系 设 ，则 来源 :学。科。网 ， 9 分 设平面 的法向量为 ，则有 ， ， ， 取 ，得 10 分 又因为 平面 ，所以平面 的法向量为， 11 分 ， 因为二面角 是钝角， 所以，二面角 的余弦值为 （ 12分） 已知定点 ， B是圆 （ C为圆心）上的动点， AB的垂直平分线与 BC 交于点 E. （ 1）求动点 E的轨迹方程； （ 2）设直线 与 E的轨迹交于 P， Q 两点，且以 PQ为对角线的菱形的一顶点为（ -1， 0），求： OPQ 面积的最大值及此时直线 的方程 . 答案：解：（ 1）由题知 （
9、2分） 又 点 E的轨迹是以 A， C为焦点，长轴长为 4的椭圆， E的轨迹方程为 （ 4分） （ 2）设 ， PQ的中点为 将直线 与 联立得 ，即 又 依题意有 ，整理得 （ 6分） 由 可得 ， （ 7分） 设 O 到直线 的距离为 ，则 （ 10分） 当 时， 的面积取最大值 1，此时 ， 直线方程为 （ 12 分） 已知函数 . 当 时，求 的最小值； 若函数 在区间 上为单调函数，求实数 的取值范围； 当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：解： 2 分 当 时， ，当 时， 在 上单调减，在 上单调增 4 分 5 分 若 在 上单调增，则 在 上恒成立 恒成立 令
10、， ，则 ， 7 分 若 在 上单调减，则 在 上恒成立 综上， 的取值范围是： 9 分 恒成立 10 分 当 时，不等式显然成立 当 时， 在 时恒成立 11 分 令 ，即求 的最小值 设 ， ， ， 且 A、 B两点在 的图象上，又 ， ，故 ，故 即实数 的取值范围为 选做题（ 10分 .请考生必须在 22、 23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分） 22（本小题满分 10分） 选修 4-1：几何证明选讲 在 中， AB=AC，过点 A的直线与其外接圆交于点 P，交 BC 延长线于点D。 （ 1）求证： ； （ 2）若 AC=3，求 的值。 答案：解：（ 1） ， ，又 （ 5分） （ 2） ， （本小题满分 10分） 选修 4-5：不等式选讲 已知对于任意非零实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：解：即 恒成立 （ 2分） 只需 （ 1）当 时，原式 ，即 ， （ 5分） （ 2）当 时，原式 ，即 （ 3）当 时，原式 ，即 （ 9分） 综上 的取值范围为 （ 10分）
