1、2011届江苏省南京市白下区高三二模数学试卷与答案 填空题 已知集合 ，则 _ 答案： 如果对于函数 定义域内任意的两个自变量的值 ，当 时 ,都有 ，且存在两个不相等的自变量值 ,使得 ,就称为定义域上的不严格的增函数已知函数 的定义域、值域分别为 、， , , 且 为定义域 上的不严格的增函数，那么这样的共有 _个 答案： 若对 且 总有不等式 成立，则实数 a的取值范围是 _ 答案： 设 为坐标原点 ,给定一个定点 , 而点 在 正半轴上移动 ,表示 的长 ,则 中两边长的比值 的最大值为 答案： 已知点 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 F1且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，
2、若 是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 _ 答案： 在数列 中， ，且 ，则该数列中相邻两项乘积的最小值为 _. 答案： 将一边长为 4的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥 ,则该正四棱锥的体积为 . 答案： 已知点 在不等式组 表示的平面区域内，则点 到直线 距离的最大值为 _ 答案： 已知 则 =_ 答案： /16 在复平面内，复数 对应的点在第 _象限 答案：三 甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5年的平均单位面积产量如下（单位： t / hm2） 其中产量比较稳定的小麦品种是 答案：甲 函数 在 上的单调递增区间是 _ 答案： 执行下边的流程图，最后输出的 n
3、的值是 答案： 在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5的五个小球 ,这些小球除标注的数字外完全相同 .现从中随机取出两个小球 ,则取出的小球上标注的数字之和为 5或7的概率是 _ 答案： 解答题 一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记 2分，投入蓝袋记 1分，未投入袋记 0分经过多次试验，某人投掷 100个飞碟有 50个入红袋， 25个入蓝袋，其余不能入袋 （ 1）求该人在 4次投掷中恰有三次投入红袋的概率； （ 2）求该人两次投掷后得分 的数学期望 答案：（ 1） “飞碟投入红袋 ”， “飞碟投入蓝袋 ”， “飞碟不入袋 ”分别记为事件 A， B， C 则 因每次投掷飞碟为相互独立事件
4、，故 4次投掷中恰有三次投入红袋 的概率为-4分 （ 2）两次投掷得分 的得分可取值为 0， 1， 2， 3， 4则：； -10分 答案：解： 3 分 由 得 6 分 圆心到直线 的距离 8 分 所以， 到直线 的距离的最大值为 10 分 （ 1）选修 42 ：矩阵与变换 变换 是逆时针旋转 的旋转变换，对应的变换矩阵是 ；变换 对应的变换矩阵是 （ 1）求点 在变换 作用下的点 的坐标； （ 2）求函数 的图象依次在变换 ， 作用下所得曲线的方程 答案：解：（ 1） ， 所以点 在 作用下的点 的坐标是 。 5 分 （ 2） ， 设 是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是 ， 则 ，
5、也就是 ，即 ， 所以，所求曲线的方程是 。 10分 （本小题满分 16分） 已知函数 的图象过点 ，且在点处的切线与直线 垂直 (1) 求实数 的值； (2) 求 在 （ 为自然对数的底数）上的最大值； (3) 对任意给定的正实数 ，曲线 上是否存在两点 ，使得 是以 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上？ 答案：（ 1）当 时， ， 1 分 由题意得： ，即 ， 3 分 解得： 。 4 分 （ 2）由（ 1）知： 当 时， ， 解 得 ；解 得 或 在 和 上单减，在 上单增， 由 得： 或 ， 6 分 ， 在 上的最大值为 。 7 分 当 时， ， 当 时， ；当 时， 在
6、 单调递增； 在 上的最大值为 。 9 分 当 时， 在 上的最大值为 ； 当 时， 在 上的最大值为 。 10 分 （ 3）假设曲线 上存在两点 满足题意，则 只能在 轴两侧， 不妨设 ，则 ，且 。 是以 为直角顶点的直角三角形 ，即 （ *） 11 分 是否存在 等价于方程（ *）是否有解。 若 ，则 ，代入方程（ *）得： ， 即： ，而此方程无实数解，从而 ， （本小题满分 16分） 已知数列 满足： ， ， ，记数列， （ ） . （ 1）证明数列 是等比数列； （ 2）求数列 的通项公式； （ 3）是否存在数列 的不同项 （ ）使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同
7、项 （ ）；若不存在，请说明理由 答案：（ 1）由已知 ， ， -3分 所以 是 为首项， 为公比的等比数列 -5分 （ 2） ， -7分 -10分 （ 3）假设存在 满足题意成等差数列， 代入得 -12分 ，左偶右奇不可能成立。所以假设不成立，这样三项不存在 -16分 （本小题满分 15分） 如图，椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上， 分别是椭圆 的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，过 的直线 与椭圆交于 两点， 的面积为 ， 的周长为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设点 的坐标为 ，是否存在椭圆上的点 及以 为圆心的一个圆，使得该圆与直线 都相切，如存在，求出 点坐标及圆的方程，如不存在
8、，请说明理由 答案：（ ） 由题意知： ，解得 椭圆的方程为 6 分 （ ）假设存在椭圆上的一点 ，使得直线 与以 为圆心的圆相切， 则 到直线 的距离相等 , ： ： 8 分 9 分 化简整理得： 10 分 点在椭圆上， 解得： 或 （舍） 13 分 时， ， ， 椭圆上存在点 ，其坐标为 或 ，使得直线 与以 为圆心的圆 相切 15 分 （本小题满分 15分） 某企业有两个生产车间分别在 A， B两个位置， A车间有 100名员工， B车间有400名员工，现要在公路 AC 上找一点 D，修一条公路 BD，并在 D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知 A， B， C中任意两点间的距
9、离均有 1 km，设 BDC ，所有员工从车间到食堂步行的总路程为 S （ 1）写出 S关于 的函数表达式，并指出 的取值范围； （ 2）问食堂 D建在距离 A多远时，可使总路程 S最少？ 答案：）在 BCD中， ， ， 则 4 分 S 其中 7分 （ 2） 9 分 令 0，得 当 时， 0， S是 的单调减函数； 当 时， 0， S是 的单调增函数 当 时， S取得最小值此时， ， 13 分 （答略） 15分 （本小题满分 14分） 如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为菱形，且 ，侧面 PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD，点 G为 AD的中点 . （ 1）求证： B
10、G 面 PAD； （ 2） E是 BC 的中点，在 PC上求一点 F，使得 PG 面 DEF. 答案：（ 1）连结 BD，因为四边形 ABCD为菱形，且 ， 所以三角形 ABD为正三角形，又因为点 G为 AD的中点，所以 BG AD； -4分 因为面 PAD 底面 ABCD，且面 PAD 底面 ABCD=AD， 所以 BG 面 PAD. -7分 （ 2）当点 F为 PC的中点时， PG 面 DEF 连结 GC 交 DE于点 H 因为 E、 G分别为菱形 ABCD的边 BC、 AD的中点，所以四边形 DGEC 为平行四边形 所以点 H为 DE的中点，又点 F为 PC的中点 所以 FH时三角形 P
11、GC的中位线，所以 PG FH -10分 因为 面 DEF， 面 DEF 所以 PG 面 DEF. 综上：当点 F为 PC的中点时， PG 面 DEF. -14分 （本小题满分 14分） 设已知 ， ，其中 (1)若 ，且 ，求 的值； (2)若 ，求 的值 答案：（ 1） ， a = (1， )， b = ( ， ) 2分 由 ，得 ， 4 分 (k Z) 7 分 （ 2） a b = 2cos2 = 10 分 ，即 整理得 ， 12 分 ， 。 14 分 设 ，点 在 轴上，点 在 轴上，且 （ 1）当点 在 轴上运动时，求点 的轨迹 的方程； （ 2）设 是曲线 上的点，且 成等差数列，当 的垂直平分线与 轴交于点 时，求 点坐标 . 答案：（ 1）设 ，则由 得 为 中点，所以又 得 ， ， 所以 （ ） -4分 （ 2）由（ 1）知 为曲线 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点到 的距离等于其到准线的距离，即 ， ， 根据 成等差数列，得 ， 直线 的斜率为 ， 所以 中垂线方程为 ，
