1、2011届浙江省绍兴一中高三下学期回头考试数学理卷 选择题 设 为两个非空实数集合，定义集合 ，若， ，则 中元素的个数为 ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 答案： B 已知满足条件 的点（ x,y）构成的平面区域面积为 ，满足条件的点（ x,y）构成的平面区域的面积为 ,其中 分别表示不大于 的最大整数，例如 : -0.4=-1,1.6=1,则 的关系是（） A B C D 答案： A 设非空集合 满足：当 ，给出如下三个命题： 若 ； 若 若 ；其中正确的命题的个数为（） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： D 已知定点 ， N 是圆 上任意一点，点 F1关于点N 的对称
2、点为 M，线段 F1M的中垂线与直线 F2M相交于点 P，则点 P的轨迹是 （） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 答案： B 定义平面向量之间的一种运算 “*”如下：对任意的 ，令。给出以下四个命题：（ 1）若 与 共线，则 ；（ 2）；（ 3）对任意的 ，有 ；（ 4）。（注：这里 指 与 的数量积）则其中所有真命题的序号是（） A（ 1）（ 2）（ 3） B（ 2）（ 3）（ 4） C（ 1）（ 3）（ 4） D（ 1）（ 2）（ 4） 答案： C 定义：平面内横坐标为整数的点称为 “左整点 ”，过函数 图象上任意两个 “左整点 ”作直线，则倾斜角大于 的直线条数为 （ ） A 10 B
3、 11 C 12 D 13 答案： B 已知函数 ，则对任意 ，若 ，下列不等式成立的是 A B C D 答案：略 若 ，则该数列的前 2011项的乘积( ) A 3 B -6 C D 答案： A 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2，且侧棱 AA1 面 A1B1C1，正视图是边长为 2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（） A B C D 4 答案： A 已知 ，且 ，则 的终边落在（） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： D 填空题 定义：如果函数 ，满足 ，则称函数 是 上的 “平均值函数 ”， 是它的一个均值点如 上的平均值函数， 0
4、就是它的均值点现有函数 上的平均值函数，则实数 的取值范围是 答案： 0m2 一个正方体，它的表面涂满了红色，把它切割成 27 个完全相等的小正方体，从中任取 2个，其中 1个恰有一面涂有红色，另 1个恰有两面涂有红色的概率为 答案： 已知 是定义在 上不恒为零的函数，对于任意的 ，都有成立数列 满足 ，且 .则数列的通项公式 _ . 答案： _ 若 为不等式组 表示的平面区域，则 从 -2连续变 化到 1时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 答案： 若 ，则 的值为 答案： 14 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为 , ， , 则第四个顶点对应的复数为 . 答案： 如图是一
5、个算法的程序框图，当输入 的值为 时，输出的 的结果为 .答案： 解答题 在 ABC中，已知角 A为锐角，且 . （ 1）、将 化简成 的形式（ 6分）； （ 2）、若 ，求边 AC 的长 . （ 7分）； 答案：解：（ 1） （ 2分） （ 1分） （ 1分） （ 2分） （ 2）由 （ 2分） （ A,B,C 各 1分共 3分） 在 ABC中，由正弦定理得： （ 2分） 正 的边长为 4， 是 边上的高， 分别是 和 边的中点，现将 沿 翻折成直二面角 （）试判断直线 与平面 的位置关系，并 说明理由； （）求二面角 的余弦值； 答案： 解：法一：（ I）如图：在 ABC中，由 E、 F分
6、别是 AC、 BC 中点，得 EF/AB， 又 AB 平面 DEF， EF 平面 DEF. AB 平面 DEF. （ II） AD CD， BD CD ADB是二面角 ACDB 的平面角 AD BD AD 平面 BCD 取 CD的中点 M，这时 EM AD EM 平面 BC D 过 M作 MN DF 于点 N，连结 EN，则 EN DF MNE是二面角 EDFC 的平面角 6 分 在 Rt EMN 中， EM=1， MN= tan MNE= ， cos MNE= 8 分 （ ）在线段 BC 上存在点 P，使 AP DE10 分 证明如下：在线段 BC 上取点 P。使 ，过 P作 PQ CD与点
7、 Q， PQ 平面 ACD 在等边 ADE中， DAQ=30 AQ DE AP DE13 分 法二：（ ）以点 D为坐标原点，直线 DB、 DC 为 x轴、 y轴，建立空间直角坐标系，则A（ 0， 0， 2） B（ 2， 0， 0） C（ 0， 4 分 平面 CDF的法向量为 设平面 EDF的法向量为 则 即 所以二面角 EDFC 的余弦值为 8 分 （ ）在平面坐标系 xDy中，直线 BC 的方程为 设 12 分 所以在线段 BC 上存在点 P，使 AP DE 13 分 另解：设 又 12 分 把 在线段 BC 上存在点 P使 AP DE .13 分 一个房间有 3扇同样的窗子，其中只有一扇
8、窗子是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间 . 鸟飞向各扇窗子是随机的 . （ 1）假定鸟是没有记忆的，若这只鸟恰好在第 x次试飞时飞出了房间 ,求试飞次数 x的分布列； （ 2）假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第 y次试飞时飞出了房间 ,求试飞次数 y的分布列； 答案：解：（ 1）试飞次数 x的分布列如下： 1 2 P 7 分 （ 2） ， ， 。试飞次数 y的分布列如下： y 1 2 3 P 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称
9、之为曲线的垂轴弦。已知点 、 是圆锥曲线 C上不与顶点重合的任意两点， 是垂直于 轴的一条垂轴弦，直线 分别交 轴于点 和点。 （ 1）试用 的代数式分别表示 和 ； （ 2）若 C的方程为 （如图），求证： 是与 和点 位置无关的定值； （ 3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线 C，试探究 和 经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与 和点 位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。 （说明：对于第 3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分） 答案：解（ 1）因为 是垂直于 轴的一条垂轴弦，所以 则 . 2 分 令 则 . 4 分 同理可得： ， . 6 分 （ 2）
10、由（ 1）可知： . 8 分 在椭圆 C： 上， ， 则 （定值） 是与 和点 位置无关的定值 . 12 分 （ 3）第一层次： 点 是圆 C： 上不与坐标轴重合的任意一点， 是垂直于 轴的垂轴弦，直线 分别交 轴于点 和点 ，则 。 . 16 分 证明如下：由（ 1）知： 在圆 C： 上， ， 则 是与 和点 位置无关的定值 点 是双曲线 C： 上不与顶点重合的任意一点， 是垂直于 轴的垂轴弦，直线 分别交 轴于点 和点 ， 则 。 . 16 分 证明如下：由（ 1）知： 在双曲线 C： 上， ， 则 是与 和点 位置无关的定值 第二层次： 点 是抛物线 C： 上不与顶点重合的任意一点， 是
11、垂直于 轴的垂轴弦，直线 分别交 轴于点 和点 ，则 。 . 18 分 证明如下：由（ 1）知： ， 在抛物线 C： 上， 则 是与 和点 已知函数 的图象在 上连续不断，定义： ，其中， 表示函数 在 上的最小值，表示函数 在 上的最大值若存在最小正 整数 ，使得对任意的 成立，则称函数 为 上的 “ 阶收缩函数 ” （ 1）已知函数 ，试写出 ， 的表达式，并判断 是否为上的 “ 阶收缩函数 ”，如果是，请求对应的 的值；如果不是，请说明理由； （ 2）已知 ，函数 是 上的 2阶收缩函数，求 的取值范围 . 答案：解：（ 1）由题意可得， ， 于是 若 是为 上的 “ 阶收缩函数 ”，则 在 上恒成立，且 成立 . 令 , ，则 ，所以 在 单调递减， , ，即 ，于是 在 恒成立 ; 又 成立 故存在最小的正整数 ，使 是为 上的 “阶收缩函数 ” 6 分 （ 2） ,令 得 或 . 函数 , 的变化情况如下： x (-,0) 0 (0,2) 2 (2,+) y - 0 + 0 - y 减 极小 增 极大 减 8 分 ） 时，
