1、2012-2013学年上海市七校高二 5月阶段检测数学试卷与答案（带解析） 选择题 如图，设正方体 的棱长为 ， 是底面 上的动点，是线段 上的动点，且四面体 的体积为 ，则 的轨迹为（ ） 答案： A 试题分析：根据题意，由于设正方体 的棱长为 ， 是底面上的动点， 是线段 上的动点，且四面体 的体积为 ，而正方体的体积为 1，则可知为点 Q到 AB的距离为定值 ,那么可知高的值，那么点 P到 CD边的距离为定值，因此可知 P的轨迹满足到 AB的距离要近，故选A. 考点：四面体的体积 点评：主要是考查了四面体体积的计算，属于基础题。 在棱长为 的正方体 中，错误的是（ ） A直线 和直线 所
2、成角的大小为 B直线 平面 C二面角 的大小是 D直线 到平面 的距离为 答案： D 试题分析：根据题意，在棱长为 的正方体 中，由于异面直线所成的角，按照平移法得到直线 和直线 所成角的大小为 成立，对于线线平行，得到线面平行可知，直线 得到 平面 成立。对于二面角 的大小是 利用定义法可知得到成立，故排除法选D. 考点：命题的真假 点评：主要是考查了空间中线面位置关系的运用，属于基础题。 若直线 与圆 相切，则 的值为（ ） A B C D 或 答案： C 试题分析：根据题意，由于直线 与圆 相切，则圆心（ 0,0）到直线 x+y=m的距离为 ，则可知得到参数 m的值为 2，故答案：为 C
3、. 考点：直线与圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。 设 ， 是虚数单位，则 “ ”是 “复数 为纯虚数的 ”（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：根据题意，由于复数 为纯虚数，则可知 a=0, ，那么可知由条件，由于 ，则说明 a,b中至少一个为零，则可知条件不能推出结论，反之成立，故答案：为 B. 考点：复数的概念 点评：主要是考查了充分条件以及复数概念的运用，属于基础题。 填空题 双曲线 的渐近线方程为 答案： 试题分析：根据题意 ,由于双曲线 中 a=1,b=2,则可知渐近线方程为故答
4、案：为 考点：双曲线的渐近线 点评：主要是考查了双曲线的渐近线的求解 ,属于基础题 . 如图，设椭圆 的左右焦点分别为 ，过焦点 的直线交椭圆于 两点，若 的内切圆的面积为 ，设 两点的坐标分别为，则 值为 答案： 试题分析：根据题意，由于设椭圆 的左右焦点分别为 ，过焦点 的直线交椭圆于 两点，若 的内切圆的面积为 ，则内切圆的半径为 1，设 两点的坐标分别为 ，则利用内切圆的性质可知 ， 值为 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。 如图，设边长为 1的正方形纸片，以 为圆心， 为半径画圆弧 ，裁剪的扇形 围成一个圆锥的侧面，余下的部分裁剪出
5、它的底面当圆锥的侧面积最大时，圆锥底面的半径 答案： 试题分析：根据题意，由于设边长为 1的正方形纸片，以 为圆心，为半径画圆弧 ，裁剪的扇形 围成一个圆锥的侧面，余下的部分裁剪出它的底面当圆锥的侧面积最大时，.则可知底面的半径为 考点：圆锥的底面 点评：主要是考查了圆锥的侧面积的最值的求解，属于基础题。 如图，设线段 的长度为 1，端点 在边长为 2的正方形 的四边上滑动当 沿着正方形的四边滑动一周时， 的中点 所形成的轨迹为 ，若 围成的面积为 ，则 答案： 试题分析：根据题意，建立直角坐标系 A(0， 0)， E(x,0),F（ 0， y），则可知点G（ 0.5x,0.5y） ,由于 E
6、F=1,则可知 ，则可知 ，故可知点 G的轨迹为圆，那么其面积为 ，故答案：为 。 考点：轨迹方程的求解 点评：主要是考查了轨迹方程的秋季，属于基础题。 在下列命题中，所有正确命题的序号是 三点确定一个平面； 两个不同的平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行； 过高的中点且平行于底面的平面截一棱锥，把棱锥分成上下两部分的体积之比为 ； 平行圆锥轴的截面是一个等腰三角形 答案： 试题分析：根据题意，由于 三点确定一个平面；只有不共线的三点才成立，对于 两个不同的平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；可能相交，错误，对于 过高的中点且平行于底面的平面截一棱锥，把棱锥分成上下两部分
7、的体积之比为 ,故原命题错误，对于 平行圆锥轴的截面是一个等腰三角形，不一定成立，故答案：为 考点：命题的真假 点评：主要是考查了命题的真假的判定，属于基础题。 若双曲线 与圆 恰有三个不同的公共点，则 答案： 试题分析：根据题意，由于双曲线 与圆 恰有3个公共点，则可知联立方程组可知，有两个不同的交点，即为有两个不同的根，则可知 a=2,故可知答案：为 2. 考点：双曲线与圆的公共点 点评：主要是考查了圆锥曲线的位置关系的运用，属于基础题。 在空间四边形 中， 分别是 的中点，当对角线 满足 时，四边形 的形状是菱形 答案： 试题分析：根据题意，由于在空间四边形 中， 分别是的中点，则利用中
8、位线的性质可知，四边形为平行四边形，那么可知，要成为菱形，则邻边要相等，故可知，只有 时可知成立故答案：为 考点：平行四边形的判定 点评：主要是考查了平行的判定以及四边形的形状的确定，属于基础题。 计算 （ 为虚数单位） 答案： 试题分析：根据题意 ,由于 ,故可知答案：为 . 考点：复数的计算 点评：主要是考查了复数的计算 ,属于基础题 过点 且与直线 垂直的直线方程为 答案： 试题分析：根据题意 ,由于过点 且与直线 垂直的直线的斜率为 2,则由点斜式方程可知为 ,故答案：为 . 考点：直线方程 点评：主要是考查了直线方程的求解 ,属于基础题 . 若圆柱的底面半径为 ，高为 ，则圆柱的全面
9、积是 答案： 试题分析：根据题意 ,由于圆柱的底面半径为 ，高为 ，则圆柱的底面积为,故可知答案：为 . 考点：圆柱的全面积 点评：主要是考查了圆柱的表面积的计算 ,属于基础题 . 设直角三角形的两直角边 ， ，则它绕 旋转一周得到的旋转体的体积为 答案： 试题分析：根据题意 ,由于直角三角形的两直角边 ， ，则它绕旋转一周得到的旋转体为圆锥 ,底面的半径为 4,高为 3,那么可知圆锥的体积为,故可知答案：为 考点：圆锥的体积 点评：主要是考查了圆锥的体积的运算 ,属于基础题 . 已知球 的半径为 ， 是球面上两点， ，则 两点的球面距离为 . 答案： 过点 的抛物线的标准方程是 答案： 或
10、试题分析：根据题意，由于过点过点 ，可知抛物线的开口向右或者向上，故可知方程为 或 ,将点代入得到 =1，故可知抛物线的方程为 或 考点：抛物线的方程 点评：主要是考查了抛物线的方程的求解，属于基础题。 若一个球的体积为 ，则它的表面积等于 答案： 试题分析：根据题意，由于球的体积为 ,因此可知其表面积为 ,故可知答案：为 考点：球的体积和表面积 点评：主要是考查了了球的表面积和体积的求解，属于基础题。 解答题 在直角坐标系 中，设动点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等，记 的轨迹为 又直线 的一个方向向量 且过点 ，与 交于 两点，求 的长 答案： 试题分析：解 由抛物线的定义知，动点
11、的轨迹 是抛物线，方程 3分 直线 的方程为 ，即 6分 设 、 ， 代入 ，整理，得 8分 所以 12分 考点：直线与抛物线的位置关系 点评：主要是考查了直线与抛物线的位置关系的运用，属于基础题。 设 是方程 的一个根 （ 1）求 ； （ 2）设 （其中 为虚数单位， ），若 的共轭复数 满足，求 答案：（ 1） 或 （ 2）当 时， ； 时， 试题分析：解 （ 1） 因为 ，所以 或 4分 （ 2）由 ，得 ， 10分 当 时， ； 12分 当 时， 14分 考点：复数的相等 点评：主要是考查了方程的根，以及复数概念的运用，属于基础题。 设正四棱锥 的侧面积为 ，若 （ 1）求四棱锥 的体
12、积； （ 2）求直线 与平面 所成角的大小 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解（ 1）联结 交 于 ，取 的中点 ，联结 ， ， ，则 ， ， 4分 所以四棱锥 的体积 6分 （ 2）在正四棱锥 中， 平面 ，所以 就是直线 与平面 所成的角 11分 在 中， ，所以直线 与平面 所成角的大小为 14分 考点：四棱锥的体积，线面角 点评：主要是考查了四棱锥体积的求解以及线面角的运用，属于基础题。 定义：设 分别为曲线 和 上的点，把 两点距离的最小值称为曲线 到 的距离 （ 1）求曲线 到直线 的距离； （ 2）若曲线 到直线 的距离为 ，求实数 的值； （ 3）求圆 到曲线 的距离 答案
13、：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：解 （ 1）设曲线 的点 ，则，所以曲线 到直线 的距离为 5分 （ 2）由题意，得 ， 10分 （ 3）因为 ，所以曲线 是中心在的双曲线的一支 13分 如图，由图形的对称性知，当 、 是直线 和圆、双曲线的交点时，有最小值 此时，解方程组得 ，于是 ，所以圆 到曲线的距离为 16分 另解 令 ， ，当且仅当 时等号成立（相应给分） 考点：考查了点到直线的距离，两点的距离 点评：主要是考查了两点之间的距离和点到直线的距离，属于基础题。 如图，已知椭圆 ， 是长轴的左、右端点，动点 满足 ，联结 ，交椭圆于点 （ 1）当 ， 时，设 ，求 的值； （
14、2）若 为常数，探究 满足的条件？并说明理由； （ 3）直接写出 为常数的一个不同于（ 2）结论类型的几何条件 答案：（ 1） 4 （ 2） 时， 为常数 （ 3） “设 为椭圆的焦点， 为短轴的顶点，当 为等腰三角形时，为常数 或 试题分析：解 （ 1）直线 ，解方程组 ，得 所以 5 分 （ 2）设 ， ， 因为 三点共线，于是 ，即 7分 又 ，即 9分 所以 所以当 时， 为常数 14分 另解 设 ，解方程组 得 要使 为定值，有 ，即（相应给分） （ 3）若考生给出 “设 为椭圆的焦点， 为短轴的顶点，当 为等腰三角形时， 为常数 或 ” 16分 若考生给出 “当 时， 为常数 或 ” 18分 （ 注：本小题分层评分） 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。
