1、2012-2013学年吉林省吉林一中高二 4月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 2 ai b-i，其中 a， b R， i是虚数单位，则 a2 b2 ( ) A 0 B 2 CD 5 答案： D 试题分析： 2 ai b-i， b 2， a -1， a2 b2 5.故选 D. 考点：本题考查了复数的运算 点评：熟练掌握复数的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题 设复数满足 ,则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： ， ，故选 B 考点：本题考查了复数的运算 点评：熟练掌握复数的运算是解决此类问题的关键，属基础题 已知复数 和复数 ,则 为 ( ) A B C D 答案
2、： A 试题分析： ， ， ，故选 A 考点：本题考查了复数的运算及两角和差的正余弦公式 点评：此类问题比较综合，除了要掌握复数运算法则之外，还要学生两角和差的正余弦定理的运用 下列函数中 ,在 上为增函数的是 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： 对于 ， B中的 恒成立，故选 B 考点：本题考查了函数的性质 点评：导数法是研究含指数（对数）函数的单调性的常用方法，属基础题 已知复数 ,则复数 的共轭复数为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： ， 复数 的共轭复数为 ，故选A 考点：本题考查了复数的运算 点评：熟练掌握复数的运算及共轭复数的概念是解决此类问题的关键 平面
3、上有 个圆 ,其中每两个都相交于两点 ,每三个都无公共点 ,它们将平面分成 块区域 ,有 ,则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： f(1) = 2 ；假设已经有 k个圆，将平面分成了 f(k) 部分，当第 k+1 个圆参与近来时，它与前 k 个圆总共产生 2k 个交点 ，这 2k 个交点将此圆分成 2k 段弧，这 2k 段弧中的每一段都将其所在的原来的一片区域一分为二，故总共增加了 2k 个部分，即 f(k+1) = f(k) + 2k ，即 f(k+1) - f(k) = 2k ，由 f(1) = 2， f(2) - f(1) = 2， f(3) - f(2) = 4， f(4
4、) - f(3) = 6， .f(n) - f(n-1) = 2(n-1)， 以上各式相加，得 f(n) = 2 + 2 + 4 + 6 + . + 2(n-1) = 。故选 B，本题也可用代入检验法 考点：本题考查了归纳推理的运用 点评：熟练掌握归纳推理的概念是解决此类问题的关键 如图中阴影部分的面积是 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， 选 C 考点：本题考查了定积分的运用 点评：求由曲线围成的平面图形的面积，一般是应先画出它的草图，借助图形的直观性确定出被积函数以及积分的上、下限，进而由定积分求出其面积 函数 有（ ） A极 小值 -1，极大值 1 B极小值 -2，极大值
5、 3 C极小值 -1，极大值 3 D极小值 -2，极大值 2 答案： C 试题分析： ， ，令 得 ，令 得，令 得 ，根据极值的概念知，当 时，函数 y有极大值 3，当 时，函数 y有极小值 -1，故选 C 考点：本题考查了极值的求法 点评：当函数 在点 处连续时，如果在 附近的左侧 0，右侧 0，那么 是极大值；如果在 附近的左侧 0，右侧 0，那么是极小值 . 若函数 的图象在 处的切线 与圆 相离 ,则点与圆 C的位置关系是 ( ) A点在圆外 B点在圆内 C点在圆上 D不能确定 答案： B 试题分析： ， ， 在 x=0处切线斜率为， 切线 l为 y- = ,即 ax+by+1=0,
6、 与圆相离 , , , 点 P（ a,b）在圆的内部，故选 B 考点：本题考查了导数的运用及直线与圆的位置关系 点评： 在 处导数 即为 所表示曲线在 处切线的斜率 ,即 ,则切线方程为 : 正弦函数是奇函数， f(x) sin(x2 1)是正弦函数，因此 f(x) sin(x2 1)是奇函数以上推理 ( ) A结论正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D全不正确 答案： C 试题分析：由于函数 f(x) sin(x2 1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选 C 考点：本题考查了演绎推理的运用 点评：熟练掌握演绎推理的概念是解决此类问题的关键，属基础题 由曲线 xy 1，直线 y x， y 3
7、所围成的平面图形的面积为 ( ) A B 2-ln3 C 4 ln3 D 4-ln3 答案： D 试题分析：如图，平面图形的面积为 dy 4-ln3. 考点：本题考查了定积分的运用 点评：求由曲线围成的平面图形的面积，一般是应先画出它的草图，借助图形的直观性确定出被积函数以及积分的上、下限，进而由定积分求出其面积 已知 i是虚数单位 ,则复数 的虚部等于 ( ) A B C D 1 答案： D 试题分析： ， 复数 的虚部等于 1，故选 D 考点：本题考查了复数的概念及运算 点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题 填空题 设 ，则二项式 展开式中不含 项的系数和是 答
8、案： 试题分析： ，所以 ，二项式为，展开式的通项为 ，令，即 ，所以 ，所以 的系数为 ，令 ，得所有项的系数和为 ，所以不含 项的系数和为 考点：本题考查了定积分的求解及二项式展开式的运用 点评：能直接利用二项式系数的性质求各个系数的和或差时则利用，否则有时候根据需要可以辅值 1、 0、 -1等使得问题更简单 设 、 为实数，且 ，则 = 。 答案： 试题分析： ， ，即， ， ， =4 考点：本题考查了复数的概念及运算 点评：熟练运用复数的概念及复数相等是解决此类问题的关键 若 a 0， b 0，且函数 f(x) 4x3-ax2-2bx 2在 x 1处有极值，则 ab的最大值为 _ 答案
9、： 试题分析：由题意， x 1 是 f(x) 12x2-2ax-2b 的一个零点，所以 12-2a-2b 0，即 a b 6(a 0， b 0)，因此 当且仅当 a b 3时等号成立 考点：本题考查了极值的性质及基本不等式的运用 点评：应用基本不等式求最值需注意三个要素：一正、二正、三相等，属基础题 若函数 、 都是奇函数， 在 上有最大值 5，则 在 上有最小值 _。 答案： -1 试题分析：记 h(x)=f(x)-2， 函数 、 都是奇函数， h(x)为奇函数，又 h(x) 在 上有最大值 3， h(x) 在 上有最小值 -3， 在 上有最小值 -1 考点：本题考查了奇函数的运用 点评：对
10、于非奇非偶函数 ,通过代换转化成奇偶函数来处理这是进入中学后首先遇到的数学转化思想之一 解答题 如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 为矩形， 为 的上一点，且 ， 为 PC的中点 . （ ）求证： 平面 AEC； （ ）求二面角 的余弦值 . 答案：（ ）利用直线的向量与平面的法向量垂直证明线面平行，（ ）试题分析：建立如图所示空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， （ ）设平面 AEC 的一个法向量为 ， ， 由 得 ，令 ，得 ,又 ， ， 平面 AEC 平面AEC （ ）由（ ）知平面 AEC的一个法向量为 ， 又 为平面 ACD的法向量，而 ， 故二面角 的余弦值为 考点：本题考查了空
11、间中的线面关系及二面角的求法 点评：立体几何问题主要是探求和证明空间几何体中的平行和垂直关系以及空间角、体积等计算问题对于平行和垂直问题的证明或探求，其关键是把线线、线面、面面之间的关系进行灵活的转化在寻找解题思路时，不妨采用分析法，从要求证的结论逐步逆推到已知条件 如图所示，已知在矩形 ABCD中， AB=1， BC=a（ a0）， PA 平面 AC，且 PA=1 （ 1）试建立适当的坐标系，并写出点 P、 B、 D的坐标； （ 2）问当实数 a在什么范围时， BC 边上能存在点 Q，使得 PQ QD？ （ 3）当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQ QD时，求二面角 Q-PD-A的大
12、小 答案：（ 1） P（ 0， 0， 1）， B（ 1， 1， 0）， D（ 0， a， 0）（ 2）a0（ 3） 试题分析：（ 1）以 A为坐标原点， AB、 AD、 AP 分 别为 x、 y、 z轴建立坐标系如图所示 PA=AB=1， BC=a， P（ 0， 0， 1），B（ 1， 1， 0）， D（ 0， a， 0） （ 2）设点 Q（ 1， x， 0），则 由 ，得 x2-ax+1=0 显然当该方程有实数解时， BC 边上才存在点 Q，使得 PQ QD，故 =a2-40 因 a0，故 a的取值范围为 a0 （ 3）易见，当 a=2时， BC 上仅有一点满足题意，此时 x=1，即 Q 为
13、 BC 的中点 取 AD 的中点 M，过 M 作 MN PD，垂足为 N，连结 QM、 QN则 M（ 0， 1，0）， P（ 0， 0， 1）， D（ 0， 2， 0） D、 N、 P三点共线， 又 ，且 ， 故 于是 故 ， MNQ 为所求二面角的平面角 ， 所求二面角为 考点：本题考查了向量法在立体几何中的运用 点评：空间向量就是一把解决立体几何问题的钥匙，利用向量解答立体几何问题实现了形向数的转化，降低了问题解决的难度 已知函数 . (1)当 时 ,求 的最小值 ; (2)若函数 在区间 上为单调函数 ,求实数 的取值范围 ; (3)当 时 ,不等式 恒成立 ,求实数 的取值范围 . 答
14、案： (1) 3.(2) .(3) . 试题分析： (1) 当 时 , 当 时 函数 取最小值 3. (2) 设 依题意 得 . (3) 当 时 恒成立 当 时 恒成立 设 则 (1)当 时 , 在 单调递增， (2)当 时 ,设 有两个根 ,一个根大于 1,一个根小于 1. 不妨设 当 时 即 在 单调递减 不满足已知条件 . 综上 : 的取值范围为 . 考点：本题考查了导数的运用 点评：此类问题是在知识的交汇点处命题，将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查，重点考查了利用导数研究函数的极值与最值等知识 已知函数 （ 1）讨论函数 在定义域内的极值点的个数； （ 2）若函数 在
15、处取得极值，对 , 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ ）当 时 在 上没有极值点，当 时， 在上有一个极值点（ ） 试题分析：（ ） ， 当 时， 在 上恒成立，函数 在 单调递减， 在 上没有极值点； 当 时， 得 ， 得 ， 在 上递减，在 上递增，即 在 处有极小值 当 时 在 上没有极值点， 当 时， 在 上有一个极值点 （ ） 函数 在 处取得极值， ， ， 令 ，可得 在 上递减，在 上递增， ，即 考点：本题考查了导数的运用 点评：求可导函数的极值的基本步骤为： 求导函数 ； 求方程 =0的根； 检查 在方程根左右的符号，如果左正右负，那么 f（ x）在这个根处取得极大值
16、；如果左负右正，那么 f（ x）在这个根处取得极小值 已知 的图像在点 处的切线与直线平行 . （ 1）求 a， b满足的关系式； （ 2）若 上恒成立，求 a的取值范围； （ 3）证明： （ ） 答案：（ 1） ；（ 2） （ 3）利用函数单调性及不等式的性质证明不等式 试题分析：（ 1） ，根据题意 ，即 （ 2）由（ ）知， ， 令 ， 则 ， = 当 时， ， 若 ，则 ， 在 为减函数，存在 ， 即 在 上不恒成立 时， ，当 时， ， 在 增函数，又 ， ， 恒成立 综上所述，所求 的取值范围是 （ 3）有（ 2）知当 时， 在 上恒成立取 得令 ， 得 ， 即 上式中令 n=1，
17、 2， 3， ， n，并注意到： 然后 n个不等式相加得到 考点：本题考查了导数的运用 点评：利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与不等式的证明、几何、方程的解及函数零点等问题，是函数知识和其它知识的交汇运用 已知函数 ( )若 无极值点，但其导函数 有零点，求 的值； ( )若 有两个极值点，求 的取值范围，并证明 的极小值小于 答案： ( ) （ ） ，利用单调性证明 试题分析： ( )首先 ， ， 有零点而 无极值点，表明该零点左右 同号，故 ，且 的由此可得 （ ）由题意， 有两不同的正根，故 . 解得： ，设 的两根为 ，不
18、妨设 ，因为在区间 上， ，而在区间 上， ，故 是的极小值点 .因 在区间 上 是减函数，如能证明则更有 由韦达定理， ，令 其中 设 ，利用导数容易证明 当 时单调递减，而 ，因此 ，即 的极小值 （ ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明 的极值均小于 . 由于两个极值点是方程 的两个正根，所以反过来， （用 表示 的关系式与此相同），这样即 ，再证明该式小于 是容易的（注意 ，下略） . 考点：本题考查了导数的运用 点评：对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想 的运用
