1、2012-2013学年吉林省实验中学高二上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 :“ x R, ”的否定是 ( ) A x R, B x R, C x R, D x R, 答案： C 试题分析：全称命题的否定是特称命题，变 为 ，否定结论，故选 C。 考点：本题主要考查复合命题的概念。 点评：简单题，注意掌握全称命题与特称命题的互否关系。 下列四个命题中不正确的是 （ ） A若动点 与定点 、 连线 、 的斜率之积为定值 ，则动点 的轨迹为双曲线的一部分 B设 ，常数 ，定义运算 “ ”： ，若，则动点 的轨迹是抛物线的一部分 C已知两圆 、圆 ，动圆 与圆 外切、与圆 内切
2、，则动圆的圆心 的轨迹是椭圆 D已知 ，椭圆过 两点且以 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线 答案： D 试题分析：对 A，一般地，由题设知直线 PA与 PB的斜率存在且均不为零 kPA kPB= ，整理得，点 P的轨迹方程为 x2-y2= （ x4），即动点 的轨迹为双曲线的一部分， A正确； B： m*n=（ m+n） 2-（ m-n） 2， ，设 P（ x， y），则 y= ，即 y2=4ax（ x0， y0），即动点动点的轨迹是抛物线的一部分， B正确； C：由题意可知，动圆 M与定圆 A相外切与定圆 B相内切 MA=r+1， MB=5-r MA+MB=6 AB=2 动圆圆
3、心 M的轨迹是以 A， B为焦点的椭圆， C正确； D设此椭圆的另一焦点的坐标 D （ x， y）， 椭圆过 A、 B两点，则 CA+DA=CB+DB， 15+DA=13+DB， DB-DA=2 AB， 椭圆的另一焦点的轨迹是以 A、 B为焦点的双曲线一支， D错误 故选 D 考点：本题主要考查圆、椭圆、双曲线的定义及标准方程。 点评：本题考查知识点覆盖面广，解答难度大，能较全面地考查学生对圆锥曲线问题的掌握情况。 若点 P是曲线 y= 上任意一点 ,则点 P到直线 y=x-2的最小距离是 ( ) A B 1 C D 答案： A 试题分析：点 P是曲线 y=x2-lnx上任意一点， 当过点 P
4、的切线和直线 y=x-2平行时， 点 P到直线 y=x-2的距离最小 直线 y=x-2的斜率等于 1， 令 y=x2-lnx的导数 y=2x- =1， x=1，或 x=- （舍去）， 故曲线 y=x2-lnx上和直线 y=x-2平行的切线经过的切点坐标（ 1， 1）， 点（ 1， 1）到直线 y=x-2的距离等于 ， 故点 P到直线 y=x-2的最小距离为 ， 故选 A 考点：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义。 点评：运用导数的几何意义曲线，将 y= 上任意一点 P到直线 y=x-2的最小距离计算，转化成为求两平行直线之间距离，体现了转化与化归的数学思想
5、设 是椭圆 的两个焦点，点 M在椭圆上，若 是直角三角形，则 的面积等于（ ） A 48/5 B 36/5 C 16 D 48/5或 16 答案： A 试题分析：由椭圆的方程可得 a=5， b=4， c=3，令 |F1M|=m、 |MF2|=n， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ， Rt 中， 由勾股定理可得 n2-m2=36 ， 由 可得 m= ， n= ， 的面积是 = 故选 A。 考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质，直角三角形相关结论 点评：基础题，涉及椭圆 “焦点三角形 ”问题，通常要利用椭圆的定义。 用数学归纳法证明 1 1)时，在证明过程的第二步从 n k到 n k 1时
6、，左边增加的项数是 ( ) A 2k B 2k-1 C D 2k 1 答案： A 试题分析： n=k时，观察不等式中左端分母依次为 1,2,3 ， ， n k 1时，分母依次为 1,2,3,4， ， 。所以增加项的分母依次为 ， 共有 2k个，故选 A。 考点：本题主要考查数学归纳法的概念。 点评：简单题，注意观察式子的结构特点，明确和式中项数。 方程 x3-6x2+9x-10=0的实根个数是（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 答案： C 试题分析：由 x3-6x2+9x-10=0 得， x3=6x2-9x+10，画出 y=x3,y=6x2-9x+10 的图象，可知由图得一个交点 故选 C
7、。 考点：本题主要考查函数零点与方程的根个数的判断。 点评：数形结合是解决零点问题的有力工具，要善于将原问题转化成两个函数图象的交点问题是解决此问题的关键数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质 设 a、 b、 c都是正数，则 、 、 三个数 （ ） A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个大于 2 D至少有一个不小于 2 答案： D 试题分析： a， b， c都是正数， 故这三个数的和 （ ） +（ ） +（ ） =a+ +b+ +c+ 2+2+2=6 当且仅当 a=b=c=1时，等号成立 故三个数中，至少有一个不小于 2（否则这三个数的和小于
8、6） 故选 D 考点：本题主要考查用反证法证明不等式，基本不等式的应用。 点评：应用基本不等式，要注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，中档题 若 ，则 的解集为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 x0, 0，即 x0，且 ，其解集为 ，故选 C。 考点：本题主要考查导数计算及简单不等式解法。 点评：小综合题，思路明确，先求导数，再解不等式。 下列方程的曲线关于 y轴对称的是（ ） A x2-x y2 1 B x2y xy2 1 C x2-y2 1 D x-y=1 答案： C 试题分析：以 -x代替方程中的 x，方程不变，则曲线关于 y轴对称。故选 C。 考
9、点：本题主要考查曲线的对称性。 点评：简单题，以 -x代替方程中的 x，方程不变，则曲线关于 y轴对称。 如下图是函数 的大致图象，则 = （ ） A B C D 答案： A 试题分析： f（ x） =x3+bx2+cx+d，由图象知， -1+b-c+d=0， 0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0， d=0， b=-1， c=-2 f （ x） =3x2+2bx+c=3x2-2x-2 由题意有 x1 和 x2 是函数 f（ x）的极值， 故有 x1 和 x2 是 f （ x） =0的根， x1+x2= 故选 A。 考点：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数在某点取得极值
10、的条件 点评：基础题，利用数形结合思想，通过观察图象确定得到 b,c,d的值是解题的关键。 命题甲：双曲线 C的渐近线方程为 y= x；命题乙：双曲线 C的方程为=1.那么甲是乙的 ( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D不充分不必要条件 答案： C 试题分析：双曲线 C的渐近线方程为 y= x，那么双曲线 C的方程为=k(k不为 0)；反之，双曲线 C的方程为 =1，双曲线 C的渐近线方程为 y= x。故选 C。 考点：本题主要考查充要条件的概念，双曲线几何性质。 点评：简单题，理解充要条件的概念，掌握双曲线的几何性质是关键。 当 1， 2， 3， 4， 5， 6时，比较
11、和 的大小并猜想（ ） A 时， B 时， C 时， D 时， 答案： D 试题分析：通过计算当 1， 2， 3， 4， 5， 6时， 只有 ， 和 关系才确定，猜想 时， ，故选 D。 考点：本题主要考查归纳推理。 点评：简单题，通过计算当 1， 2， 3， 4， 5， 6 时， 和 ，进行大小比较。 填空题 已知双曲线 - 1(a0， b0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P在双曲线的右支上，且 |PF1| 4|PF2|，则双曲线离心率 e的最大值为 _ 答案： 试题分析：解法一 : 在 PF1F2中 ,由余弦定理得两边同时除以 a2,得 又 cos (-1,1), 4 4e2 ,1
12、 e . 当点 P、 F1、 F2共线时 ,=180,e= ,则 1 e ,e的最大值为 . 解法二 :由 设 |PP|为点 P到准线的距离 , 考点：本题主要考查双曲线的定义及其几何性质，余弦定理。 点评：基础题，由于题目条件中出现了曲线上的点到焦点的距离，易于想到运用双曲线定义。 经计算，发现下列不等式都是正确的：根据以上规律，试写出一个对正整数 成立的条件不等式 。 答案： 试题分析：观察所给不等式左端两项和发现，根号下两数之和为 20，右端均为，所以对正整数 成立的条件不等式是。 考点：本题主要考查归纳推理。 点评：归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2
13、）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 若三角形的内切圆半径为 r，三边的长分别为 a， b， c，则三角形的面积 S r(a b c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为 R，四个面的面积分别为 S1、 S2、 S3、 S4，则此四面体的体积 V _. 答案： V R(S1 S2 S3 S4) 试题分析：因为三角形的内切圆半径为 r，三边的长分别为 a， b， c，则三角形的面积 S r(a b c)，所以根据类比思想，此四面 体的体积是 V R(S1S2 S3 S4)。 考点：本题主要考查类比推理。 点评：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属
14、性也相同的推理。 定积分 = 答案： . 试题分析： 而 由定积分的几何意义知其为半径为 4的半圆面积 8， ，所以= 。 考点：本题主要考查定积分计算及其几何意义。 点评：简单题，求原函数是关键。 解答题 （满分 10分）（ ） 设椭圆方程 的左、右顶点分别为 ，点 M是椭圆上异于 的任意一点，设直线 的斜率分别为 ，求证 为定值并求出此定值； （ ）设椭圆方程 的左、右顶点分别为 ，点 M是椭圆上异于 的任意一点，设直线 的斜率分别为 ，利用（ ）的结论直接写出 的值。（不必写出推理过程） 答案：（ ）见 ;（ ） 。 试题分析：（ ） ， 4 分 在椭圆上有 得 6 分 所以 8 分 （
15、 ） 10 分 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线斜率的坐标表示。 点评：本题较易，（ I）利用直线斜率的坐标表示，结合点在椭圆上，证明了为定值，（ II）则通过类比推理，得出结论。 (满分 12分 )已知：正方体 中，棱长 ， 、 分别为、 的中点， 、 是 、 的中点， （ 1）求证： /平面 ； （ 2）求： 到平面 的距离。 答案：（ 1）见；（ 2） 。 试题分析：以 、 、 为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系， 则 、 、 、 ， 、 、 、 ， 、 、 、 ， （ 1） ， ， 设平面 的法向量 ，则 ， 令 ，则 ， ， ， /平面 ； （ 2） ，则 到平
16、面 的距离 。 考点：本题主要考查立体几何中的线面平行、距离。 点评：利用空间向量解答立体几何问题，将繁琐的证明转化成直观的向量坐标运算，降低了难度。恰当建立空间直角坐标系是关键。 (满分 12分 )设函数 。 （ ）若在定义域内存在 ，而使得不等式 能成立，求实数 的最小值； （ ）若函数 在区间 上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围。 答案： ( )实数 的最小值为 。 ( ) 。 试题分析： ( )要使得不等式 能成立，只需 。 求导得： ， 3 分 函数 的定义域为 ， 当 时， ， 函数 在区间 上是减函数； 当 时， ， 函数 在区间 (0， +)上是增函数。 ， 。故实数 的最
17、小值为 。 6 分 ( )由 得： 由题设可得：方程 在区间 上恰有两个相异实根 8 分 设 。 ，列表如下： - 0 减函数 增函数 相关试题 2012-2013学年吉林省实验中学高二上学期期末考试理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路3号启航商务大厦5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息 (2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 (满分 12分 )已知点 ，直线 ： 交 轴于点 ，点 是 上的动点，过点 垂直于 的直线与线段 的垂直平分线交于
18、点 （ ）求点 的轨迹 的方程；（ ）若 A、 B为轨迹 上的两个动点，且证明直线 AB必过一定点，并求出该定点 答案： (1) ； (2)见。 试题分析： (1) 根据线段垂直平分线的定义所以点 P到 F的距离等于到直线 的距离 . 所以 ,点 P的轨迹是以 F为焦点 , 为准线的抛物线 ,且 , , 所以所求的轨迹方程为 -3分 (2) 设 ，直线 AB的方程为 .5分 代入到抛物线方程整理得 则 根据韦达定理 ，即 ， 8 分 即 ，解得 m=2， 11 分 显然，不论 为何值，直线 AB恒过定点 12 分 考点：本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系。 点评：求轨迹方程的方
19、法较多，首先应考虑定义法，即利用常见曲线的定义，从条件出发确定几何元素。直线与圆锥曲线的位置关系问题，韦达定理常常用到。 （满分 12分）已知点 Pn(an， bn)满足 an 1 an bn 1， bn 1 (n N*)且点 P1的坐标为 (1， -1) (1)求过点 P1， P2的直线 l的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于 n N*，点 Pn都在 (1)中的直线 l上 答案： (1)直线 l的方程为 2x y 1. (2)见。 试题分析： (1)由 P1的坐标为 (1， -1)知 a1 1， b1 -1. b2 . a2 a1 b2 . 点 P2的坐标为 ( ， ) 直线 l的方程为
20、 2x y 1. .3 分 (2) 当 n 1时， 2a1 b1 21 (-1) 1成立 .4 分 假设 n k(k N*， k1)时， 2ak bk 1成立， .6 分 则 2ak 1 bk 1 2ak bk 1 bk 1 (2ak 1).8 分 1， 当 n k 1时，命题也成立 . 10 分 由 知，对 n N*，都有 2an bn 1， 即点 Pn在直线 l上 .12 分 考点：本题主要考查数列的递推公式，数学归纳法，直线方程。 点评：本题将数列问题、直线方程、数学归纳法有机结合在一起，不偏不怪，是一道不错的题目。 (满分 12分 )已知函数 （ ） 求 在上的最小值；（ ） 若存在 （ 是常数， 2 71828）使不等式 成立，求实数 的取值范围； （ ） 证明对一切 都有 成立 答案：（ ） ； （ ） 。 （ ） 见。 试题分析：（ ） 4 分 （ ）由题意知 ， 而 ，故 8 分 （ ） 等价证明 由（ ）知 。 12 分 考点：本题主要考查导数的应用，研究函数单调性、确定函数最值、证明不等式。 点评：利用导数研究函数单调性、确定函数最值、证明不等式，是导数的基本应用。这类题解法思路明确，需要细心细致地计算。
