1、2012-2013学年吉林长春十一高中高一上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 ，则 = （ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 所以 考点：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式，考查学生的运算求解能力 . 点评：利用同角三角函数的平方关系求解时，一定要注意判断角的范围 . 已知 ， ， ， 若函数 不存在零点，则 的范围是 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： 考点：本小题主要考查 点评： 在整数集 Z中，被 5除所得余数为 k的所有整数组成一个 “类 ”，记为 ，即 给出四个结论： , , , 整数 属于同一 “类 ”，当且仅当
2、是 ，其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析： ，所以 ，所以 错误，其余均正确 . 考点：本小题主要考查新定义问题，考查学生对新定义的理解和应用能力。 点评：新定义问题一般难度不大，只要认真读懂题目，按照新定义或者转化成熟悉的数学问题解决即可 . 函数 ，在 上恒有 ，则实数 的范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，如果 则 ，所以；如果 ，则 ，综上，实数 的范围是 . 考点：本小题主要考查对数函数的单调性、含绝对值的不等式的求解，考查学生的转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：指数函数和对数函数的单调性都与底数有关，必要时要分
3、情况讨论 . 已知函数 则有（ ） A 是奇函数，且 B 是奇函数，且 C 是偶函数，且 D 是偶函数，且 答案： C 试题分析： ，所以 是偶函数， 又 ，所以选 C. 考点：本小题主要考查函数奇偶性的判断和函数表达式的求解和应用 . 点评：判断函数的奇偶性必须用定义，在此之前要考虑到函数的定义域 . 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，那么函数 的零点个数为（ ） A一定是 2 B一定是 3 C可能是 2也可能是 3 D可能是 0 答案： C 试题分析： 时， ，根据对数函数的性质知 在 上有一个零点，因为 是定义在 上的偶函数，所以在 上也有一个零点，而可能为 0也可能不为 0，
4、所以零点个数可能是 2也可能是 3. 考点：本小题主要考查函数奇偶性的应用和零点个数的判断，考查学生的推理能力和数形结合数学思想的应用 . 点评：函数的零点个数的判断有时要转化为判断函数与 轴或两个函数交点个数问题 . 函数 的最大值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 考点：本小题主要考查函数的值域的求解 . 点评：其实本小题的实质还是考查二次函数的最值 . 已知 ， ，则 （ ） A 3 B 8 C 4 D 答案： A 试题分析： ， ，所以考点：本小题主要考查指数、对数的互化和对数的运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：指数、对数的运算，要灵活运用它们的四则运算法则和性质
5、. 已知函数 是偶函数，其图像与 轴 有四个不同的交点，则函数的所 有零点之和为（ ） A 0 B 8 C 4 D无法确定 答案： C 试题分析：函数 是偶函数，所以图象关于 轴对称，所以四个零点之和为0，而 是 图象向右平移了两个单位，所以零点之和为 4. 考点：本小题主要考查了函数图象的性质和应用以及平移变换，考查学生应用函数图象解题的能力 . 点评：偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，有时也应用此性质判定函数的奇偶性 . 已知函数 , , ， ， （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，所以，即函数 的图象是开口向上的抛物线，对称轴是 根据图象可以看
6、出 . 考点：本小题主要考查二次函数的图象和性质及应用，考查学生数形结合思想的运用 . 点评：二次函数的图象和性质在解题时有很广泛的应用，要熟练掌握，灵活应用 . 函数 的定义域为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：要使函数有意义，需满足 ，解得考点：本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查学生的运算能力 . 点评：函数的定义域、值域必须写成集合或区间的形式 . 集合 ，集合 ，则（ ） A B C D答案： C 试题分析： ， ，所以 . 考点：本小题主要考查指数函数的值域和对数函数的定义域的求法以及集合的关系 . 点评：考查集合的关系时，一定要分清集合中求的是定义域还是值域 .
7、填空题 已知 为常数， ，在区间 上的最大值是 2，则 答案： 试题分析： ,它的图象为函数的图象在 轴上方的部分保持不变，在 轴下方的部分对称的折上去，所以在上的最大值为 或 均解得 考点：本小题主要考查含绝对值的函数图象的画法和最值的取法，考查学生画图象的能力和对函数图象的应用能力 . 点评：函数的图象是解题的重要工具，要注意尽量准确画图，灵活应用 . 函数 ，则 在区间 上的值域为 答案： 试题分析：易知函数 在 上是增函数，所以在区间上也是增函数，所以最大值为 同理可求最小值为考点：本小题主要考查利用函数的单调性求闭区间上的函数的值域，考查学生分析问题、解决问题的能力 . 点评：在公共
8、定义域内，几个单调增函数的和还是单调增函数 . 函数 , 在 上的最大值是最小值的 2倍， 则 m= 答案： 试题分析： 在 上单调递增，所以考点：本小题主要考查对数函数单调性的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：求函数的值域，关键是搞清楚函数的单调性 . 指数函数 的图像经过 点，那么 答案： 试题分析：指数函数 的图像经过 点，所以 ，所以，所以 考点：本小题主要考查指数函数式的求解和指数的运算 . 点评：求函数值，直接代入计算即可，题目比较简单 . 解答题 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬。研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 ，单位是 ，其中 表示燕子的耗氧量。
9、 （ 1）计算：两岁燕子静止时的耗氧量是多少个单位？（ 5分） （ 2）当一只两岁燕子的耗氧量是 80个单位时，它的飞行速度是多少 ？（ 5分） 答案：（ 1） 10个单位（ 2） 试题分析：（ 1）由已知 ，则 ，所以 。 即两岁燕子静止时耗氧量是 10个单位 . 5 分 （ 2）当 时， = , 即，当两岁燕子的耗氧量是 80个单位时，它的飞行速度 . 10 分 考点：本小题主要考查对数函数模型的应用，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力 . 点评：应用函数知识解决实际问题时，要注意实际问题的定义域 . 已知函数 ，且 （ 1）若函数 是偶函数，求 的式；（ 3分） （ 2） 在（ 1）
10、的条件下，求函数 在 上的最大、最小值；（ 3分） （ 3）要使函数 在 上是单调函数，求 的范围。（ 4分） 答案：（ 1） （ 2） , （ 3） 试题分析：由 ，得 ， （ 1） 是偶函数， ，即 ， ，代入 得 ， . 3 分 （ 2）由（ 1）得 ， 当 时， ；当 时， . 6 分 （ 3）（理）若 在 上是单调函数， 则 ，或 , ，或 , 即 的取值范围是 . 10 分 考点：本小题主要考查二次函数的式、最值和已知单调性求参数的取值范围，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：含参数的二次函数一般都与开口方向、对称轴等有关系，必要时要分类讨论 . 求证： 方程 的根一个在
11、内，一个在 内，一个在 内 .（ 12分） 答案：证明见 试题分析：设 ， 易知函数 的图像是连续不断的 , 2 分 且， , , 在 内有一个零点 , 即方程 ， 在 有一个根 . 6 分 同理 ， 。 方程 的一个根在 内，一个根在 内 . 12 分 考点：本小题主要考查函数零点存在定理的应用和学生构造函数和利用函数性质的能力 . 点评：函数的零点存在定理要求函数必须是连续的，如果不连续，则函数零点存在定理不能用 . 设 是三角形的内角，且 和 是关于 方程 的两个根。 （ 1）求 的值；（ 6分） （ 2）求 的值 .（ 6分） 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）因为 和 是关
12、于 方程 的两个根， 所以由韦达定理得： 把（ 1）式两边平方，得 ， ， 解得 或 . 当 时，不合题意，所以 . 6 分 （ 2）由 且 , 得 ， . 12 分 考点：本小题主要考查韦达定理和同角三角函数的基本关系式的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：求解三角函数值时，如果涉及到平方关系，则需要注意三角函数的符号，还要注意到正弦和余弦值的范围 . 已知函数 是 上的增函数，设 。 用定义证明： 是 上的增函数；（ 6分） 证明：如果 ，则 0，（ 6分） 答案：（ 1）证明见（ 2）证明见 试题分析：（ 1）任取 ， = , ， ， 又 是增函数， ， 且 ， ， 即 ，故 是增函
13、数 . 6 分 （ 2）由 ，得 且 又 是增函数， ， ， ， 即 . 12 分 考点：本小题主要考查抽象函数单调性的证明和应用，考查学生的逻辑推理能力和论证能力 . 点评：解决抽象函数问题的主要方法是 “赋值法 ”，证明抽象函数单调性也必须按照定义严格证明 . 已知函数 ，求使 成立的的取值范围。（ 10分） 答案：当 时， ， ,当 时， ，,当 时 ， ， 试题分析：由已知 ，即 ， 2 分 两边都除以 得， . 设 则 ，不等式可化为 ， ，即 . 7 分 当 时， ， , 8 分 当 时， ， , 9 分 当 时 ， ， . 10 分 考点：本小题主要考查对数不等式和指数不等式的求解、复合函数的单调性和二次函数的图象和性质的应用，考查学生的转化能力和分类讨论思想的应用 . 点评：函数的性质及其应用历来是考查的重点，要把各种函数的性质联系起来，综合灵活应用 .
