1、2012-2013学年四川省昭觉中学高二 10月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 对于两条不相交的空间直线 和 ，必定存在平面 ，使得 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： 空间直线 a和 b不相交 a、 b的位置关系可能是平行或异面 再对各选项分别判断： 对于 A，当 a、 b异面时，不存在平面 ， 使 a ， b ，故 A不正确； 对于 B，若要 a ， b 都成立，必须 a、 b互相平行， 所以当 a、 b不平行时，不存在平面 ， 使 a ， b 都成立，故 B不正确； 对于 C，若要 a ， b 成立，必须 a、 b互相垂直， 也就是所成的角为 90时，才存在平面 使
2、 a ， b 成立， 但 a、 b平行或异面，异 面时也不一定成 90角，故 C不正确； 对于 D，由于 a、 b的位置关系可能是平行或异面， 当 a、 b平行时，很容易找到经过 a的平面，但不经过 b，可得 b ； 当 a、 b异面时，可以在直线 a上取一点 O，经过 O作直线 c使 c b， 设 a、 c确定的平面为 ，则直线 a ， b 成立， 综上所述，只有 D项是正确的 考点：平面的基本性质及推论 点评：本题借助于一个平面存在的问题，着重考查了平面的基本性质、直线与平面平行的判定定理和直线与平面垂直的定义与性质等知识点，属于基础题 正四面体 ABCD(六条棱长都相等 )的棱长为 1，
3、棱 AB 平面，则正四面体上的所有点在平面 内的射影构成的图形面积的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱 AB 平面 ， 由题意当线段 AB相对的侧棱 CD与投影面平行时投影面积最大， 此时投影是一个对角线长等于正四面体棱长 1的正方形，如下图所示： 故投影面积为 , 当面 CD 平面 时，面积取最小值， 如下图所示：此时构成的三角形底边是 1，高是正四面体两条相对棱之间的距离，故面积是 , 故图形面积的取值范围是 . 考点：平行投影及平行投影作图法 点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影
4、图的变化情况，本题是一个中档题 在空间四边形 ABCD中，已知 AD 1， BC ，且 AD BC，对角线 BD ，AC ， AC和 BD所成的角是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 分别取 BC、 AD、 CD、 BD、 AB中点 E、 F、 G、 H、 I， 连接 EF、 EG、 EI、 FG、 FI、 GH、 GI、 HI BCD中， GE是中位线， GE BD且 GE= BD 同理可得 FI BD且 FI= BD GE FI且 GE=FI，得四边形 EGFI是平行四边形 FG AC， GE BD FGE（或其补角）是异面直线 AC和 BD所成的角 同理可得 GHI（或其补角
5、）是异面直线 AD和 BC所成的角 AD BC， GHI=90 GH= BC= ， HI= AD= ， GI= GH2+HI2 =1 平行四边形 EGFI中， FI=GE= BD= ， FG=EI= AC= ，得 ，解得 EF=1 因此， ，可得 FGE= 异面直线 AC和 BD所成的角为 考点：异面直线及其所成的角 点评：本题在空间四边形 ABCD中，已知相对棱的长度 和所成角，并且知道对角线长度的情况下求对角线 所成角大小，着重考查了空间四边形的性质和异面直线所成角求法等知识，属于中档题 . 如图，平面 平面 ， A ， B ， AB与平面 所成的角为，过 A、 B分别作两平面交线的垂线，
6、垂足为 A、 B，若 ，则 AB与平面 所成的角的正弦值是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 连接 , 因为平面 平面 ， A ， B ， AB与平面 所成的角为，过 A、 B分别作两平面交线的垂线，垂足为 A、 B，所以 是 与平面所成的角， 设 ，因为 ,所以 ， 设 则 ，解得 ， 所以 ， ， 所以 考点：用空间向量求直线与平面的夹角 点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法， 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 ABC两直角边分别为 3、 4， PO 面 ABC， O是 ABC的内心， PO= ，则点 P 到A
7、BC的斜边 AB的距离是（ ） A B C D 2 答案： D 试题分析： ABC中， AC=4， BC=3， AB=5， 过 O作 OE AB，垂足是 E，作 OF BC，垂足是 F，作 OD AC，交 AC于 D， O是 ABC的内心， OE=OF=OD=r，（ r是 ABC内切圆半径）， DC=CF=r， AD=AE=4-r， BF=BE=3-r， AB=3-r+4-r=5，解得 r=1， OE=1， PO 面 ABC， O是 ABC的内心， PO= 3 ， OE AB， PE AB， . 点 P到 ABC的斜边 AB的距离是 2 考点：点、线、面间的距离计算 点评：本题考查空间中点到直
8、线的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平 面问题 已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面上，球心 在 上， 底面 ， ，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 如图， ， ， 所以 ， ， 所以 考点：球内接多面体 点评：本题考查球的内接体的体积和球的 体积的计算问题，是基础题 边长为 a的菱形 ABCD中锐角 A= ，现沿对角线 BD折成 60的二面角，翻折后= a，则锐角 A是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：取 BD的中点 O，连接 OC、 OA，则 COA为二面角 C-BD-A的平面角，即 COA=60,
9、|AC|= ， |AO|= 菱形 ABCD中 AD=a， ADB= A= 考点：与二面角有关的立体几何综合题 点评：本题考查二面角的平面角，考查学生的计算能力，确定二面角的平面角是关键 已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为的中点 D，则异面直线 AD与 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 如图，易知直线 AD与 所成的角就是直线 与直线 所成的角，且,设三棱柱 的侧棱为 ，所以 ，所以. 考点：空间中直线与直线之间的位置关系 点评：本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理 关于直线 、 与平面 、 ，有下列四个命题： 且 ，则 ； 且 ，则 ； 且
10、 ，则 ； 且 ，则 . 其中假命题的序号是：（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 答案： D 试题分析：由题意两条直线 m， n与两个平面 、 由于若 且 ，不能确定两条直线的位置关系，故 是假命题； 由于若 且且 ，可以确定两条直线垂直，故 是真命题； 由于若 且 ，可以判断两条直线垂直，故 是真命题； 由于 且 不能确定两条直线的位置关系，故 是假命题； 考点：空间中直线与直线之间的位置关系 点评：本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系，考查了线线平行与线线垂直的条件，解题的关键是理 解题意，有着较强的空间立体感知能力，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力，是高考中常见题型， 其特
11、点是涉及到的知识点多，知识容量大，因此备受高考命题者青睐 在三棱柱 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 是侧面 的中心，则 与平面 所成角的大小是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： 如图，取 BC中点 E，连接 DE、 AE、 AD， 依题意知三棱柱为正三棱柱， 易得 AE 平面 ，故 ADE为 AD与平面 所成的角 设各棱长为 1，则 AE= ， DE= ， tan ADE= = ， ADE=60 考点：空间中直线与平面之间的位置关系 点评：求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（ 1）先判断直线和平面的位置关系（ 2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤： 构造 -作出或找到斜
12、线与射影所成的角； 设定 -论证所作或找到的角为所求的角； 计算 -常用解三角形的方法求角； 结论 -点明斜线和平面所成的角的值 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可得几何体是四棱锥 V-ABCD， 其中面 VCD 面 ABCD； 底面 ABCD是边长为 20cm的正方形；棱锥的高是 20cm 由棱锥的体积公式得 V= = . 考点：由三视图求面积、体积 点评：三视图是新增考点，根据三张图的关系，可知几何体是正方体的一部分，是一个四棱锥本题也可改编为求该几何体的外接球的表面积，则必须补全为
13、正方体，增加了难度 如图，四面体 的六条边均相等， 分别是 的中点，则下列四个结论中不成立的是 ( ) A平面 平面 B 平面 C /平面 D平面 平面 答案： A 试题分析：对于 A，若平面 PDE 平 面 ABC，因为等边 PAB中， PD AB， 平面 PDE平面 ABC=AB，所以 PD 平面 ABC，可得 PD DE 同理可得 PE 平面 ABC，可得 PE DE这样在 PDE中有两个角等于 90， 与三角形内角和定理矛盾，故平面 PDE 平面 ABC是错误的，得 A不正确； 对于 B，因为正 ABC中，中线 AE BC，同理 PE BC，结合线面垂直的判定定理， 得 BC 平面 P
14、AE，又因为 ABC的中位线 DF BC，所以 DF 平面 PAE，故 B正确； 对于 C，因为 DF BC， DF 平面 PDF， BC 平面 PDF，故 BC 平面 PDF，得 C正确； 对于 D，根据 B项的证明得 BC 平面 PAE，结合 BC 平面 ABC，可得平面 PAE 平面 ABC，故 D正确 考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 点评：本题给出六条棱长都相等的四面体，要我们找出其中不正确的位置关系，着重考查了正四面体的性质和空间线面、面面位置关系的判断与证明等知识，属于基础题 填空题 如右图已知每条棱长都为 3的四棱柱 ABCD-A B C D 中，
15、底面是菱形，BAD=60， D B 平面 ABCD,长为 2的线段 MN的一个端点 M在 DD 上运动，另一个端点 N在底面 ABCD上运动，则 MN中点 P的轨迹与此四棱柱的面所围成的几何体的体积为 _ 答案： 试题分析： 取 AB的中点 E连接 DE，由题意知 DE AB， DE CD 以 DE所在直线为 x轴，以 DC所在直线为 y轴，以 所在直线为 z轴建立如图空间直角坐标系 设 M（ 0， 0， z）， N（ x， y， 0），则 P , 即 OP=1 点 P的轨迹是以原点 D为球心，以 1为半径的球的一部分 又 BAD=60 ADC=120 点 P的轨迹是球的 , 几何体的体积为
16、考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征 点评：本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可 ,属中档题 . 设 OA是球 O的半径， M是 OA的中点，过 M且与 OA成 角的平面截球 O的表面得到圆 C。若圆 C的面积等于 ，则球 O的表面积等于 答案： 试题分析：设球半径为 R，圆 C的半径为 r， 由 ，得 因为 由 ,得 故球 的表面积等于 8 考点：球的体积和表面积 点评：本题考查学生的空间想象能力，以及球的面积体积公式的应用，是基础题 . 正方体 的棱线长为 1，线段 上有两个动点 E， F，且 ，则三棱锥 的体积为 答案： 试题分析： 因为 ，又
17、 E E、在直线 上运动， EF 平面 ABCD 点 B到直线 的距离不变，故 BEF的面积为 点 A到平面 BEF的距离为 ， 考点：棱柱 棱锥 棱台的体积 点评：本题考查几何体的体积的求法，考查计算能力，是基础题 . 已知六棱锥 的底面是正六边形， ，则直线所成的角为 答案： 试题分析：连接 ,则 为所求的角，设六边形边长为 ，所以 ， 又 ,所以 .所以 所成的角为 . 考点：棱锥的结构特征 点评：本题考查的知识点是正六边形的几何特征，线面平行和线面垂直的判定，其中要判断线面角，关键是作出角，属基础题 . 解答题 已知四棱柱 的底面是边长为 1的正方形，侧棱垂直底边 ABCD四棱柱， ，
18、 E是侧棱 AA1的中点，求 （ 1）求异面直线 与 B1E所成角的大小； （ 2）求四面体 的体积 . 答案：（ 1）异面直线 BD与 B1E成 600角 （ 2） 试题分析：（ 1）连接 B1D1 ED1 四棱柱中 BD/ B1D1，所以 EB1D1或其补角为所求 因为 AA1=2 AB=1 所以 B1D1=ED1=B1E= EB1D1=600 因此异面直线 BD与 B1E成 600角 . （ 2）因为 所以 . 考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积 点评：本题在正四棱柱中求异面直线所成角，并求四面体的体积，着重考查了正棱柱的性质、异面直线所成 角和体积的求法等知识，属于基础
19、题 . 如图梯形 ABCD， AD BC, A=900，过点 C作 CE AB， AD=2BC， AB=BC,，现将梯形沿 CE 折成直二面角 D-EC-AB. （ 1）求直线 BD与平面 ABCE所成角的正切值； （ 2）设线段 AB的中点为 ，在直线 DE上是否存在一点 ，使得 面 BCD？若存在，请指出点 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； 答案：（ 1） （ 2）当 为线段 DE的中点时， PM 平面 BCD 试题分析：（ 1）解：连接 BE，因为梯形 ABCD， A=900， CE AB,所以 DE EC 又 面 DEC 面 ABCE且交于 EC , ， 所以 DBE为所
20、求 设 BC=1，有 AB=1 AD=2，所以 DE=1 EB= ,所以 （ 2）存在点 ,当 为线段 DE的中点时， PM 平面 BCD 取 CD的中点 N，连接 BN,MN，则 MN PB 所以 PMNB为平行四边形，所以 PM BN 因为 BN在平面 BCD内， PM不在平面 BCD内，所以 PM 平面 BCD 考点：用空间向量求直线与平面的夹角 ；直线与平面平行的性质 点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法， 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 如图 ,平面 ABCD 平面 ABEF,又 ABCD是正方形 ,ABEF是矩形
21、 ,且 G是 EF的中 点 . （ 1）求证：平面 AGC 平面 BGC; （ 2）求 GB与平面 AGC所成角的正弦值 . 答案：（ 1）先证 AG 平面 CBG （ 2） 试题分析： (1)证 .正方形 ABCD , 面 ABCD 面 ABEF且交于 AB, CB面 ABEF AG,GB 面 ABEF, CB AG,CB BG.又 AD=2a,AF= a, ABEF是矩形 ,G是 EF的中点 . AG=BG= ,AB=2a, AB2=AG2+BG2, AG BG, BCBG=B, AG 平面CBG,而 AG 面 AGC,故平 面 AGC 平面 BGC. (2)解 .如图 ,由 (1)知面
22、AGC 面 BGC,且交于 GC,在平面 BGC内作 BH GC,垂足为 H,则BH 平面 AGC, BGH是 GB与平面 AGC所成的角 . 在 R tCBG中 又 BG= ， 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 点评：本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，体现转化的思想 如图 ,S是正方形 ABCD所在平面外一点，且 SD 面 ABCD ,AB=1， SB= . (1)求证： BC SC; (2) 设 M为棱 SA中点 ,求异面直线 DM与 SB所成角的大小 (3) 求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小 ; 答案： (1) 先证 BC 平面 SDC (2) 异
23、面直线 DM与 SB所成的角为 90(3) 面 ASD与面BSC所成 的二面角为 45 试题分析： (1) 底面 ABCD是正方形 , BC DC. SD 底面 ABCD， SD BC，又 DCSD=D, BC 平面 SDC， BC SC. （ 2）取 AB中点 P，连结 MP， DP. 在 ABS中 ,由中位线定理得 MP/SB, 或其补角为所求 . ,又 在 DMP中，有 DP2=MP2+DM2， 即异面直线 DM与 SB所成的角为 90. (3). SD 底面 ABCD，且 ABCD为正方形， 可把四棱锥 S ABCD补形为长方体 A1B1C1S ABCD， 如图 2,面 ASD与面 B
24、SC所成的二面角就是面 ADSA1与面 BCSA1所成的二面角， SC BC， BC/A1S， SC A1S， 又 SD A1S， CSD为所求二面角的平面角 . 在 R tSCB中，由勾股 定理得 SC= ，在 R tSDC中 , 由勾股定理得 SD=1. CSD=45.即面 ASD与面 BSC所成的二面角为 45. 考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角 点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解题 时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化 在四棱锥 中， 平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， ， . （ 1）求证： 平面
25、 PAC； （ 2）若 ，求 PB与 AC所成角的余弦值； （ 3）若 PA= ，求证：平面 PBC 平面 PDC 答案：（ 1）由线线平行证得 （ 2） （ 3）求得 从而证明 . 试题分析：（ 1）证：因为四边形 ABCD是菱形， 所以 AC BD.又因为 PA 平面 ABCD. 所以 PA BD，又 ACPA=A 所以 BD 平面 PAC. （ 2）解：过 B作 BM/AC交 DA延长线于 M，连接 PM PBM或其补角为所求 因为 BM/AC AM/BC 所以四边形 MACB为平行四边形 所以 BM=AC=2 ，PB=PM= ,所以 . (3) 作 BH PC,连接 HD PA 平面
26、ABCD,AD=AB PB=PD,又 CD=CB PC=PC PBC PDC BH PC HD PC 因此 BHD为二面角 B-PC-D的平面角 因为 AP= BC=2 有 BH= 所以 面 PBC 面 PDC. 考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离 点评：本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的 夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算 求解能力 . 已知三棱锥 S ABC的底面是正三角形， A点在侧面 SBC上的射影 H是 SBC的垂心 . (
27、1)求证： BC SA (2)若 S在底面 ABC内的射影为 O，证明： O为底面 ABC的中心； (3)若二面角 H AB C的平面角等于 30， SA= ，求三棱锥 S ABC的体积 . 答案： (1)先证明 (2) 先证 O为底面 ABC的垂心 (3) 试题分析：证明： (1) AH 面 SBC， BC在面 SBC内 AH BC ,同理 ,因此 O为底面 ABC的垂心，而三棱锥 S ABC的底面是正三角形，故 O为底面ABC的中心 (3)由（ 1）有 SA=SB=SC= ，设 CO交 AB于 F，则 CF AB， CF是 EF在面 ABC内的射影， EF AB， EFC为二面角 H AB C的平面角， EFC=30， ECF=60， OC= ， SO=3， AB=3， 考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积 点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三角形中心的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，合理地化空间问题为平面问题
