1、2012-2013学年四川省绵阳市南山中学高二 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 A,B是任意事件，下列哪一个关系式正确的（ ） A A+B=A B AB A C A+AB=A D A 答案： C 试题分析：因为题目中给定了 A,B是任意事件，那么利用集合的并集思想来分析，两个事件的和事件不一定等于其中的事件 A.可能大于事件 A 选项 B， AB表示的为 AB的积事件，那么利用集合的思想，和交集类似，不一定包含 A事件。 选项 C，由于利用集合的交集和并集的思想可知， A+AB=A表示的等式成立。 选项 D中，利用补集的思想和交集的概念可知， 表示的事件 A不发生了，同时事
2、件 B发生，则必然有事件 A发生，显然不成立。 考点：本试题考查了事件的关系。 点评：对于事件之间的关系的理解，可以运用集合中的交集，并集和补集的思想分别对应到事件中的和事件，积事件，非事件上来分析得到，属于基础题。 已知等腰三角形腰上的中线长为 ,则该三角形的面积的最大值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：根据已知条件设腰长为 2x，底边的长为 a，则根据底角相等，结合余弦定理了建立等式关系，即为 故选 B. 考点：本试题主要考查了三角形面积的最值的求解。 点评：要求解面积的最大值，先表示出面积，由于腰长不定，因此设出变量，结合底角相等得到关系式，进而表示面积求解最值。中档题。
3、 设两圆 C1、 C2都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1)，则两圆心的距离|C1C2|=( ) A 4 B 4 C 8 D 8 答案： C 试题分析：设圆的方程分别为 和 ，将点（ 4， 1）代入可知 和 ，两式分别解得 ，那么两圆心的距离为 |C1C2|= ，故选 C 考点：本试题考查了圆与圆的位置关系的运用。 点评：设出圆的方程，利用过公共点（ 4， 1），且都与坐标轴相切说明了都在第一象限，求出圆心的坐标即可得到结论。属于中档题。 已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为函数 ，那么根据题意，要使得函数值相等，且有 ，且 ，因此可知
4、01,，且有 -lga=lgb,则lga+lgb=1,ab=1. 则 a+2b= ,因为 0f(1)=3,故答案：为 C 考点：本试题考查了函数与方程的运用。 点评：解决该试题的关键是利用对数函数的图像，利用对称变换作图，然后结合函数值相等可知 a,b的关系式，进而得到范围。 已知集合 A ，集合 B (x， y)|x2 (y-a)21， 若 AB B，则 a的取值范围是 ( ) A 2， ) B (-， -2 C -2,2 D (-， -2 2， ) 答案： B 试题分析：因为分析题意可知， 集合 A表示的为直线的一侧的区域，而集合 B表示的为圆心为（ 0， a），半径为 1的圆的内部，包括
5、圆周，那么要使得 AB B，则说明 B是 A的子集，那么可知圆心到直线的距离大于等于圆的半径即可。可知 (舍 )，同时要注意，圆心在 x轴的下方，那么可知选 B. 考点：本试题考查了集合的交集运算，以及不等式的求解。 点评：解决该试题的关键是理解集合 A,B表示的含义，利用直线与圆的几何意义，分析满足 AB B，的集合 B，得到参数 a的范围。属于中档题。 一个样本 a,3,5,7的平均数是 b，且 a、 b是方程 x2-5x 4 0的两根，则这个样本的方差是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案： C 试题分析：根据平均数和方差的公式可知， 由于一个样本 a,3,5,7的平均数是 b
6、，那么可知 a+3+5+7=4b 同时 a、 b是方程 x2-5x 4 0的两根，则可知 a+b=5,ab=4,那么解方程可知a=1,b=4，那么可知样本的方差为 ，故选 C. 考点：本试题考查了数字的平均值和方差的求解。 点评：解决该试题的关键是理解平均值的公式和方差的公式，运用表达式准确的表示和求解，需要细心点。属于基础题。 已知点 在圆 上运动，则 的最大值与最小值为（ ） A ， B C D 答案： A 试题分析：根据动点 P在圆上运动，可知 表示的最大值和最小值为定点（ 2， 1）与圆上点的斜率的取值范围。 设过点（ 2， 1）的直线的斜率为 k ，那么可知直线方程为 y-1=k(x
7、-2) 那么利用圆心到直线的距离为圆的半径，可知 那么结合倾斜角和斜率的关系可知，最大值和最小值分别是 ， ，选 A. 考点：本试题考查了斜率几何意义的运用。 点评：解决该试题的关键是理解分式表示的意义是圆上的动点与定点（ 2， 1）的两点的斜率 范围。然后结合圆的方程，结合数形结合思想得到结论，属于中档题。 采用系统抽样方法从 960人中抽取 32人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2， ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32人中，编号落入区间 的人做问卷 ，编号落入间 的人做问卷 ，其余的人做问卷 .则抽到的人中，做问卷 的人数为 ( ) A 7
8、 B 9 C 10 D 15 答案： C 试题分析：因为由已知可知，共有 960人，抽取 32人作为调查，那么间隔为960： 32=30，那么第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，那么第二组的号码为 39，依次为 69， 99， 构成了等差数列，公差为 30，首项为 9，那么可知其号码的规律为 30n-21。因此当 451 30n-21 750，解得 n的范围 16n 25，共有 10人，那么选 C. 考点：本试题考查了系统抽样方法的运用。 点评：解决该试题的关键是理解系统抽样的规则是等间隔抽取，间隔 =总体：样本容量 然后运用数列的知识来求解各个区间的人数即可，属于基础题。 阅读下图
9、所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i值等于 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案： C 试题分析：因为结合题意可知，起始量 s=0,i=1,那么可知第一次循环得到 a=, ,i=2; 第二次循环得到 a= , ， i=3; 第三次循环得到 a= , ， i=4; 此时输出 i，得到为 4，选 C. 考点：本试题主要是考查了框图的运用。 点评：解决该试题的关键是理解程序框图中的变量和起始量，以及循环结构的理解，最要关注的是循环的规律和终止的条件，属于基础题。 函数 的最大值为（ ） A B C D 1 答案： B 试题分析：可以利用单调性求解最值，也可以利用不等式的思想来求解最值。
10、 因为 当 x=1时取得等号。故选 B. 考点：本试题考查了函数的最值运用。 点评：解决函数的最值问题，可以结合函数的单调性的性质来得到，也可以结合均 值不等式的思想来求解得到，注意等号成立的条件即可，属于基础题。 已知 , ,则下列不等式中恒成立的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：对于 A,由于 , ，那么利用同向不等式相加得到： a+cb+d，故错误 对于 B，由于 ab,只有当 c,d是同正时，两边同乘以正数不等号不变，如果 c=-1-2=d,不成立。 对于 C， a=0-1=b,c=2-1=d,但是代入不成立，举出反例也行。 对于 D，由于 ，则 -a1的情况下的点的个数
11、，属于难度题。 若设变量 x， y满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 答案： 试题分析：首先根据已知的不等式组作出可行域，如下图 围成了封闭的三角形区域，那么目标函数的斜率为 ，当平行直线平移到点 C处时，目标函数最大，且点 C的坐标满足 y=x+1,y=-x+4,解得 C ,代入式中可知 的最大值为 3+10=13.故答案：为 13. 考点：本试题考查了线性规划的最优解的运用。 点评：解决这类问题的关键是准确作图，然后表示出平面区域，结合直线的截距变换的情况来分析最值问题。属于基础题。 点 （ ）在圆 的内部，则 的取值范围是 答案： 试题分析：因为已知中点（ ）在圆 的内部，则可知将点
12、的坐标代入可知 解得 ,故答案：为 考点：本试题考查了点与圆的位置关系。 点评：解决该试题的关键是利用点在圆上，则满足方程，如果点在圆内，则点代入式中，必然会小于零，可知参数的范围。属于基础题。 解答题 驾驶员血液酒精浓度在 20 80 mg/100 mL(不含 80)之间，属酒后驾车，血液酒精浓度在 80 mg/100 mL(含 80)以上时，属醉酒驾车市交警一队对过往的车辆进行抽查共查出喝过酒的驾车者 60名，下图是这 60名驾车者血液中酒精浓度的频率分布直方图 (1) 求这 60名驾车者中属醉酒驾车的人数； (图中每组包括左端点，不包括右端点 ) (2) 求这 60名驾车者血液的酒精浓度
13、的平均值； (3) 将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组， ，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为 x，y(单位： mg/100 ml)，则事件 |x-y|10的概率是多少？答案： (1)3(2)47.7(3) 试题分析：（ 1）醉酒的概率为 0.005 10=0.05 醉酒 人数为 60 0.05=3人 .3分 （ 2）.7分 （ 3）由直方图知 ;第五组的人数为 人 第 7组由（ 1）知 3人。 令第五组的 6人分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6.第 7组 3人分别为 a,b,c. 共有（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4
14、），（ 1， 5），（ 1， 6），（ 1,a），（ 1,b），（ 1,c），（ 2,3），（ 2,4），（ 2,5），（ 2,6），（ 2,a），（ 2,b），（ 2,c），（ 3,4），（ 3,5），（ 3,6）， ( 3,a),(3,b )， ( 3,c),(4,5)，（ 4， 6）， (4,a ),(4,b )，( 4,c),（ 5， 6）， (5,a )， (5,b),(5,c )，（ 6， a）（ 6,b）（ 6,c） ,(a,b ),(a,c )， (b,c )共 36种 满足题意的得都在第五组或者第七组（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1，5），（ 1， 6）
15、，（ 2,3），（ 2,4），（ 2,5），（ 2,6），（ 3,4），（ 3,5），（ 3,6）， (4,5)， (4,6),(5,6),(a,b ),(a,c )， (b,c )共 18种。 .9分 概率 .10分 考点：本试题考查了直方图的运用。 点评：解决该试题的关键是利用直方图中的方形的面积表示频率，然后利用频率得到频数，进而结合和列举法得到试验的基本事件数，结合古典概型求解概率的值。属于中档题。 在线段 上取两点 ，在 处折断而得三个线段，求 “这三个线段能构成三角形 ”的概率。 答案： 试题分析：解：设线段 的长为 ，折断后的第一条线段长为 ，第二条线段长为 ，第三条线段长为 .
16、2分 于是样本空间 。 .4分 记 为事件 “这三个线段能构成三角形 ”，则 = .6分 因为 的面积 ， 的面积 。 .8分 故 。 .10分 考点：本试题考查了几何概型的运用。 点评： 利用不等式的组表示的规划区域，表示事件表示的平面区域，与总的试验区域的面积的比值，即为概率值。属于基础题。 答案： (1)1(2) 19.试题分析：（ 1）由 得， ，即 。 .4分 （ 2）由（ 1）知 ，令 ， 则 .7分 的最小值为 4，故实数 m的取值范围是 .10分 考点：本试题考查了含有绝对值的不等式的求解，以及分段函数的最值。 点评：解决该是的关键是理解一元二次不等式的解集是不等式成立的充要条
17、件。同时对于含有绝对值的函数，利用分段函数的思想得到其最值，这也是在选修部分中常考的知识点之一，属于基础题。 已知圆 的方程为 ,直线 过点 ,且与圆 相切 . (1)求直线 的方程 ; (2)设圆 与 轴交于 两点 , 是圆 上异于 的任意一点 ,过点 且与轴垂直的直线为 ,直线 交直线 于点 ,直线 交直线 于点 .求证 :的外接圆总过定点 ,并求出定点坐标 . 答案： (1) 或 (2)过定点 和 试题分析： (1)设直线 的方程为 ,即 . 直线 与圆 相切 , 圆心 到直线 的距离 . 解得 . 直线 的方程为 , 即 或 4 分 (2)设直线 , ,故直线 令 ,可得 . 6 分
18、,故 的外接圆即以 为直径的圆 . 该圆的方程为 即 8 分 由此可知 ,无论 为何值 ,当 时 ,总有 故该圆必过定点 和 10 分 考点：本试题考查了直线方程的求解，以及直线与圆的位置关系。 点评：解决该试题的关键是利用线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，得到直线方程，同时利用线线的垂直关系，得到点的坐标，来分析定点。体 现了几何中运用代数的思想解决几何的本质，属于中档题。 如图 ,在平面直角坐标系 中 , 是半圆 的直径 ,是半圆 (除端点 )上的任意一点 .在线段 的延长线上取点 ，使,试求动点 的轨迹方程 答案：点 的轨迹方程为 试题分析： 解法一 连结 ,由已知可得 , 点
19、在以 为弦 ,所对圆周角为 的圆上 设该圆的圆心为 ,则点 在弦 的中垂线上 ,即 轴上 ,且 , , .圆 的方程为 . 当点 趋近于点 时 ,点 趋近于点 ；当点 趋近于点 时 ,点 趋近于点. 所以点 的轨迹方程为 解法二 连结 ，由已知可得 , 设 ,则 故若设直线 的斜率为 时 ,直线 的斜率为 . 故 为两直线 及 的交点 ,消去 得 ,当 时 , 也在该圆上 . 结合 可知 ,点 的轨迹方程为 考点：本试题考查了点的轨迹方程的求解。 点评：解决该试题的关键是建立动点满足的关系式，设出点的坐标，建立关系式，将关系式坐标化，然后化简得到其轨迹方程，一般来说，先考虑运用定义法求解轨迹，再考虑运用直接法来求解，中档题。
