1、2012-2013学年安徽省马鞍山市第二中学高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数 的实部是 2，虚部是 ，若 为虚数单位，则 A B C D 答案： B 试题分析：因为，复数 的实部是 2，虚部是 ， 所以， ，故选 B。 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念。 点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 给出下面结论： （ 1）命题 的否定为 ； （ 2）若 是 的必要不充分条件，则 是 的充分不必要条件； （ 3） “ ”是 “ ”成立的充分不必要条件 ; (4) 若 是 的三个内角，则 “ ”是 “ ”成立的充要条件。
2、 其中正确结论的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 答案： B 试题分析：（ 1）命题 的否定为；符合要求，正确。 若 是 q的必要不充分条件则有 推不出 q， q推出 ，其逆否命题为 p ， 推不出 p，故 p是 的必要不充分条件，（ 2）正确； （ 3） “ ”是 “ ”成立的充分不必要条件 ;不正确，因为，要求对数的真数大于零，故不正确； (4) 若 是 的三个内角，则 “ ”是 “ ”成立的充要条件。正确。故选 B。 考点：本题主要考查命题及其关系，充要条件的概念，对数函数、三角函数的性质。 点评：小综合题，这类问题综合性强，解决问题的基本方法是对各个命题逐一进行辨析。 若方程 有
3、实数根，则所有实数根的和可能为 A -2， -4， -6 B -4， -5， -6 C -3， -4， -5 D -4， -6， -8 答案： D 试题分析：因为，函数 的图象关于 对称，且位于 x轴上方，所以，方程 有实数根的情况是，有两个根 0， -4；三个根；四个根；所有实数根的和可能为 -4， -6， -8。 考点：不本题主要考查二次函数图象和性质，图象的对称性，函数的零点。 点评：典型题，二次函数是重要的函数之一，本题充分利用函数图像的对称性，确定实数根的和可能取值。 若 则 是 成立的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：取
4、 可知，由 无法推出 ；反之，时，由均值定理得， ，故选 B。 考点：本题主要考查充要条件的概念。 点评：简单题，充要条件的判断，涉及知识面较广，从方法来讲有三种思路：定义法，等价关系法，集合关系法。 函数 的最大值为 A B C D 答案： A 试题分析：函数 的定义域为（ 0， ）。 由 =0得， x=e,此为唯一驻点，所以，函数的最大值为 ，故选 A。 考点：本题主要考查应用导数研究函数的最值。 点评：简单题，应用导数求函数的最值，可遵循 “求导数，求驻点，计算驻点函数值及区间端点函数值 ”。 与 是定义在 R上的两个可导函数，若 , 满足 ,则 与 满足 A B C 为常数函数 D 为
5、常数函数 答案： C 试题分析： 即 ，所以， 为常数函数，故选 C。 考点：本题主要考查导数的计算，导数的运算法则。 点评：简单题，注意常数的导数为 0.函数和差的导数等于函数导数的和差。 若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是 答案： A 试题分析：因为，函数 的图象的顶点在第四象限，所以， 即， ， 。 ，故直线的斜率为正、纵截距小于 0，选 A。 考点：本题主要考查导数的计算，二次函数的图象和性质，直线方程。 点评：小综合题，利用二次函数的图象顶点在第四象限，确定 b的正负，进一步确定 的图象的斜率、截距。 如果 为各项都大于零的等差数列，公差 ，则 A B C D 答案：
6、C 试题分析： 1+8=4+5， a1+a8=a4+a5， 排除 D； 若令 an=n，则 a1a8=1 8 20=4 5=a4a5， 排除 A,B 故选 C. 考点：本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的性质。 点评：简单题，在等差数列中， 则 。本题通过特取数列 an=n，利用 “排除法 ”，使问题得解。 一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 秒末的瞬时速度是 A 米 /秒 B 米 /秒 C 米 /秒 D 米 /秒 答案： A 试题分析：运动方程对时间的导数就是物体运动的瞬时速度。因为，所以， ，物体在 秒末的瞬时速度是 米 /秒，故选 A。 考点：本题主要
7、考查瞬时速度的概念，导数的概念及其计算。 点评：简单题，运动方程对时间的导数就是物体运动的瞬时速度。 数列 中的 一个值等于 A B C D 答案： C 试题分析：观察可知，从第二项起，后项与前一项的差依次为 3， 5， 7，所以， =26，故选 C。 考点：本题主要考查数列的概念 点评：简单题，注意考察数列的相邻项之间的关系，发现规律。 填空题 对正整数 ，设曲线 在 处的切线与 轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前 项和的公式是 答案： 试题分析：因为 y|x=2=-2n-1（ n+2），所以，切线方程为： y+2n=-2n-1（ n+2）（ x-2）， 令 x=0，求出切线与 y轴交点的纵坐
8、标为 y0=（ n+1） 2n， 所以 ，则数列 的前 n项和 Sn= 。 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程，等比数列的求和公式。 点评：中档题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。最终转化成等比数列的求和问题。 定义在 R上的函数 满足 若 则 的大小关系是 答案： 试题分析：因为函数 满足 所以函数在区间（ -3， ），函数是减函数，而 ,所以， 。 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性，指数函数、对数函数的性质。 点评：小综合题，在某区间，导函数值非负，则函数为增函数；导函数值非正，则函数为减函数。 若复数 满足 : 则 答案： 试题分析：设 ，因为， 所以， ，由复数相
9、等，得， ，解得， 故 -4+3i。 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的相等。 点评：中档题，此类问题的一般解法，是设出复数的代数形式，利用复数相等，建立方程组。 从 中得出的一般性结论是 答案： 试题分析：由 1=12=（ 21-1） 2； 2+3+4=32=（ 22-1） 2； 3+4+5+6+7=52=（ 23-1） 2； 4+5+6+7+8+9+10=72=（ 24-1） 2； 由上边的式子可以得出：第 n个等式的左边的第一项为 n，接下来依次加 1，共有 2n-1项，等式右边是 2n-1的平方， 从而我们可以得出的一般性结论为： n+（ n+1） + （ 2n-1） + （ 3
10、n-2） =（ 2n-1） 2（ n N*）。 考点：本题主要考查归纳推理。 点评：归纳推理的一般步骤是： （ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）解题时要注意观察，善于总结 计算 答案： 试题分析： = 。 考点：本题主要考查定积分的计算。 点评：简单题，计算定积分，首先应准确求得原函数。 解答题 已知 求证： 答案：利用综合法、分析法。 试题分析：【综合法】： ， 12分 【分析法】只要证 成立 成立。（其它方法略） 12分 考点：本题主要考查不懂事的证明方法。 点评：中档题，不等式的证明方法较多，常用的有分析法、综合法、放缩
11、法等，应根据题目特点，灵活选用方法。 如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大，并求出此最大值？ 答案：小正方形边长为 1时，盒子体积最大为 18。 试题分析：设小正方形的边长为 厘米，则盒子底面长为 ，宽为 （ ） . 6分 ， （舍去） ，在定义域内仅有一个极大值， 故，小正方形边长为 1时，盒子体积最大为 18 . 12分 考点：本题主要 考查长方体体积公式，函数模型，应用导数研究函数的最值。 点评：中档题，利用长方体体积公式，构建函数模型，再利用导数研究函数的最值，从而解决实际问题。属于
12、常见题目。当函数的驻点只有一个是，这既是极值点，也是最值点。 在数列 中， =1， ，其中实数 . （ I） 求 ； （ ）猜想 的通项公式 , 并证明你的猜想 . 答案：（ ）( ） 猜想： 应用数学归纳法证明。 试题分析：（ ）由 6分 ( ） 猜想： 当 时， ，猜想成立； 假设 时，猜想成立，即 : ， 则 时， = 猜想成立 . 综合 可得对 ， 成立 . 12分 考点：本题主要考查归纳法及数学归纳法。 点评：中档题， “归纳，猜想，证明 ”是创造发明的良好方法。利用数学归纳法证明命题的正确性，要注意遵循 “两步一结 ”。 已知 的图象经过点 ，且在 处的切线方程是. （ I）求 的
13、式； （ ）求 的单调递增区间 . 答案：（ I） ；（ ）单调递增区间为。 试题分析：（ I） 的图象经过点 ，则 ， 切点为 ，则 的图象经过点 得 综上 故， 6分 （ ） 单调递增区间为 12分 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性。 点评：中档题，心理问题属于导数应用的基本问题，往往将单调性、极值、式等综合在一起进行考查，应掌握好基本解题方法和步骤。切线的斜率等于函数在切点的导函数值。 已知数列 中， . （ ）设 ，求数列 的通项公式； （ ）设 求证： 是递增数列的充分必要条件是 . 答案：（ ） ； （ ）证明： “必要性 ”数列 递增 “充分性
14、 ”用 “数学归纳法 ”证明。 试题分析：（ ） 是公差为 的等差数列， 又 6分 （ ）证明： “必要性 ” 数列 递增 9分 “充分性 ” 以下用 “数学归纳法 ”证明， 时， 成立 时， 成立； 假设 成立， 则 那么 即 时， 成立 综合 得 成立。 即 时， 递增， 故，充分性得证。 13分 考点：本题主要考查等差数列的定义，充要条件证明问题，数学归纳法。 点评：确定数列的特征，一般要利用 “定义法 ”或通过确定数列的通项公式，使问题得解。证明充要性问题，要证明 “充分性 ”“必要性 ”两个方面，顺序上可根据难易调整。利用数学归纳法证明不等式，要注意遵循 “两步一结 ”。 已知函数
15、（ ）求 的单调区间； ( ) 若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围 答案：（ ） 的单调递减区间是 ，单调递增区间是. ( ) ( ). 试题分析：（ ） （ ）当 时 , 的单调递增区间是 ( ). () 当 时 ,令 得 当 时， 当 时， 的单调递减区间是 ， 的单调递增区间是 . 6分 ( )由 , 由 得 . 设 ，若存在实数 ,使得 成立 , 则 10分 由 得 , 当 时 , 当 时 , 在 上是减函数 ,在 上是增函数 . 的取值范围是 ( ). 14分 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极（最）值，研究函数的图象和性质，不等式恒成立问题。 点评：难题，不等式恒成立问题，常常转化成求函数的最值问题。（ II）小题，通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），进一步确定得到参数的范围。
