1、2012-2013学年山西省山大附中高二 3月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 的共轭复数是 （ ）， 是虚数单位，则 的值是（ ） A -7 B -6 C 7 D 6 答案： C 试题分析： 共轭复数 考点：复数运算 点评：复数运算中 ，复数 的共轭复数是 设函数 在区间（ ）的导函数 ， 在区间（ ）的导函数 ，若在区间（ ）上 恒成立，则称函数 在区间（ ）为凸函数，已知 若当实数 满足 时，函数在 上为凸函数，则 最大值 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析： ，函数 在 上为凸函数， 对于 恒成立， 设函数 与 x轴交点横坐标为 ， 的最大值为最
2、大值为 4 考点：信息题及函数图像及性质 点评：本题根据题目中凸函数的定义可知对于函数 满足性质 对于 恒成立，进而结合二次函数性质求得 最大值 如图，用四种不同颜色给图中的 A， B， C， D， E， F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有 ( ) A 264种 B 288种 C 240种 D 168种 答案： A 试题分析：先将 A,D,E三点，共有 种涂法，然后按 B,C,F的顺序涂色，分为两类：一类是 B与 E或 D同色，共有 种涂法；另一类是 B与 E和 D均不同色，共有 种涂法，所以涂色方法共有种 考点：分类计数原理与分步计数
3、原理 点评：关于涂色问题需要注意的是在涂色过程中合理的分类及某一点处的颜色种数对其他相邻处颜色种数的影响 当 时，不等式 恒成立，则实数 取值范围是（ ） A 2,+） B（ 1,2 C（ 1,2） D（ 0,1） 答案： B 试题分析： 时 化为 恒成立，所以函数 在函数 的下方，画出图像由图像可知 为减函数当函数过点 时 取边界值，此时 考点：函数与不等式 点评：将不等式恒成立问题转化为函数问题，本题结合函数图象求得 的边界值，结合单调性可得 的范围 已知函数 （ ）满足 ，且 的导函数 ，则 的解集为（ ） A B CD 答案： D 试题分析：设 在 R上是减函数 当 时 即的解集为 考
4、点：函数单调性解不等式 点评：求解抽象函数构成的不等式需要借助于函数单调性将抽象函数转化为具体函数，其间用到了不等式与函数间的转化，这种思路是不等式题目常用的转化方法 如图是导函数 的图象，则下列命题错误的是（ ） A导函数 在 处有极小值 B导函数 在 处有极大值 C函数 在 处有极小值 D函数 在 处有极小值 答案： C 试题分析：由导函数图像可知导函数 在 处有极小值，在 处有极大值，由图像在 左侧附近导数值为正，右侧附近导数值为负，所以原函数在 左侧递增，右侧递减，在 处有极大值，同理在 处有极小值 考点：函数导数与单调性 点评：在函数的增区间内，函数导数 ，在减区间内 ，在单调区间内
5、可以出现有限个点处导数值为零 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图 1中的 1， 3， 6， 10， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2中的 1， 4， 9， 16， 这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A 289 B 1225 C 1024 D 1378 答案： B 试题分析：三角形数构成数列 ，则通项 ，正方形数构成数列，则通项 ，将 4个选项依次带入两通项公式可知只有 1225符合两数列 考点：数列求通项 点评：求数列前几项猜测数列通项要首先把握前几项的特点，找到项数 n与该项的联系或通过相邻两项的联
6、系找到递推公式，进而得到通项公式 函数 是定义在实数集 R上的奇函数，且当 时，成立，若 ， ，则大小关系（ ） A B C D 答案： A 试题分析：函数 是定义在实数集 R上的奇函数， 整理为 即 是减函数 考点：函数奇偶性单调性 点评：求解本题的入手点在于通过 利用导数确定函数 的单调性，进而通过单调性由自变量的大小得到函数值的大小 设 、 、 是互不相等的正数，现给出下列不等式 ； ； ； ，则其中正确个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： D 试题分析：由 可知 正确；所以 正确 不正确，反例 ， 整理为 显然成立，所以原式成立 正确 考点：不等式性质 点评：常用的不等
7、式关系有： ， 及分式化简用到的分母有理化分子有理化 已知点 在曲线 上 , 为曲线在点 处的切线的倾斜角 ,则 取值范围 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：函数定义域 R，即切线斜率 考点：函数导数及导数的几何意义，倾斜角与斜率的关系 点评：导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，直线的斜率与倾斜角的关系 ，可由斜率范围求出倾斜角范围 如果 为偶函数，且 导数存在，则 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 答案： A 试题分析： 为偶函数，所以 图像关于 y轴对称，当 时，当 时得 考点：函数性质及导数的几何意义 点评：本题由函数是偶函数得到其图像关于 y
8、 轴对称，在结合导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率可知 等于 处的切线斜率为 0 如右图，阴影部分的面积是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：二次函数与 x轴交点坐标为 ，设 x轴上方的面积为 ， x轴下方的面积为 ，考点：定积分求曲边型面积 点评：当阴影部分在 x轴上方时，面积等于定积分值，当阴影部分在 x轴下方时，面积等于定积分的相反数，因此将阴影部分分成 x轴上方和下方两部分分别求解 填空题 对任意 都能被 14整除，则最小的自然数 a 答案： 试题分析： 利用二项式定理展开后前 项都能被 14整除，最后一项为 ，要满足能被 14整除，所以 考点：二项
9、式定理 点评：本题二项式定理解决被 14整除时要使原式转化出 14，因此将 改写为 是求解的关键思路 已知函数 在 时有极值 0，则 = ， 答案： ,9 试题分析： ，由函数在时有极值 0得 代入的 考点：函数及导数的性质 点评：函数在极值点处的导数为零，本题由已知可得函数过点 ，在极值点 处导数为零 定积分 答案： 试题分析： ，由定积分的几何意义可知 的值等于圆 面积的 ，即所以原式等于 考点：定积分 点评：求定积分关键是找到被积函数的原函数，本题中被积函数 的原函数不易求出，因此结合定积分的几何意义（函数图象在 x轴上方时，定积分 值 等于直线 与曲线 围成的图形面积）可求其值 n个连
10、续自然数按规律排成下表： 0 3 4 7 8 11 1 2 5 6 9 10 根据规律，从 2 009到 2 011的箭头方向依次为 _ 答案： 试题分析：四个数为一组， 2009,2010,2011是第 528组第 2,3,4个数相当于第一组中 1,2,3的位置，所以箭头方向与 1,2,3间的箭头方向相同 考点：归纳推理 点评：本题首要的是找到题目中数据及箭头的变化规律，依据规律推测从 2 009到 2 011的箭头方向 解答题 已知 为复数， 为纯虚数， ，且 ，求 答案： 或 试题分析：设 ，则 为纯虚数， （ 3分）且 , 不同时为0 而 （ 5分） 又 ， ， ，即 （ 8分） 当
11、=5时， =15， ；当 =-5时， =-15， （ 10分） 考点：复数的运算 点评：本题求复数 先将其设为 的代数式，将其代入已知条件，采用待定系数法求出 ，进而确定复数 ， 为纯虚数时满足 ，其模为 有 4 名男生、 5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （ 1）甲不在中间也不在两端；（ 2）甲、乙两人必须排在两端； （ 3）男、女生分别排在一起；（ 4）男女相间； （ 5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定 答案：（ 1） 241920（ 2） 10080（ 3） 5760（ 4） 2880（ 5） 60480 试题分析：（ 1） 2分（ 2） 2分（ 3）2分（
12、 4） 2分 （ 5） 2分 考点：排列问题 点评：排列问题一般分析思路是：特殊元素特殊位置优先考虑；相邻的元素捆绑法，不相邻的元素插空法 已知 : ， (1)求证 : ； (2)求 的最小值 . 答案： (1) ，所以 ，所以 ，从而有 2+ ，即 :，所以原不等式成立 (2)8 试题分析： (1)证明 :因为 所以 ，所以 所以 ，从而有 2+ 即 : 即 : ，所以原不等式成立 . （ 2） 2 分 即 当且仅当 时等号成立 即当 时， 的最小值为 8. 2分 考点：均值不等式求最值 点评：由均值不等式 求最值时要满足一正二定三相等，一， 都是正实数，二，当和为定值时，积取最值，当积为定
13、值时，和为定值，三，当且仅当 时等号成立取得最值 某车间有 50名工人，要完成 150件产品的生产任务，每件产品由 3个 A 型零件和 1个 B 型零件配套组成每个工人每小时能加工 5个 A 型零件或者 3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件设加工 A 型零件的工人人数为 x名（ x N*） （ 1）设完成 A 型零件加工所需时间为 小时，写出 的式； （ 2）为了在最短时间内完成全部生产任务， x应取何值？ 答案：（ 1） （ ）（ 2） 32 试题分析： (1)生产 150件产品，需加工 A型零件 450个，则完成 A型零件加工所
14、需时间 （其中 ,且 ） 2 分 （ 2）生产 150件产品，需加工 B型零件 150个，则完成 B型零件加工所需时间 （其中 ,且 ）； 4 分 zxxk 设完成全部生产任务所需时间 小时，则 为 与 中的较大者， 令 ，则 ，解得 所以，当 时， ；当 时， 故 7 分 当 时， ，故 在 上单调递减， 则 在 上的最小值为 （小时）； 9 分 当 时， ，故 在 上单调递增， 则 在 的最小值为 （小时）； 11分 ， 在 上的最小值为 ， 为所求， 所以，为了在最短时间内完成生产任务， 应取 32 12分 考点：函数应用题 点评：本题有一定难度，主要是学生不能很好地理解题意，抓不住关键
15、点：比较两种零件的生产时间的大小，并借此确定函数的最值 在数列 中， ，且 . ( ) 求 ，猜想 的表达式，并加以证明； ( )设 ，求证：对任意的自然数 都有. 答案： ( ) ( ) 所以 所以只需要证明 （显然成立） 所以对任意的自然数 ，都有 试题分析：（ 1）容易求得： ， （ 1分） 故可以猜想 ， 下面利用数学归纳法加以证明： 显然当 时，结论成立， 2分） 假设当 ； 时（也可以 ），结论也成立，即 ， （ 3分） 那么当 时，由题设与归纳假设可知： （ 5分） 即当 时，结论也成立，综上，对 , 成立。 （ 2） 所以 所以只需要证明 （显然成立） 所以对任意的自然数 ，都
16、有 -（ 12分） 考点：数列通项公式的证明及数列求和 点评：本题应用数学归纳法证明通项公式，数学归纳法用来证明与正整数有关的命题，第一步先证明 n取最小值时成立，第二步假设 时命题成立，借此来证明 时命题成立，综上一二两步可得命题成立 已知函数 ，在 时取得极值 （ ）求函数 的式； （ ）若 时 , 恒成立，求实数 m的取值范围； （ ）若 ，是否存在实数 b，使得方程 在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出 b的范围，若不存在说明理由 答案：（ ） （ ） （ ）试题分析：（ ） 2分 依题意得 ，所以 ，从而 4分 （ ） 令 ，得 或 （舍去）， 当 时， 当 由讨论知 在 的极小值为 ；最大值为 或，因为 ，所以最大值为 ，所以8 分 （ ）设 ,即 ， 又 ，令 ，得 ；令 ，得 所以函数 的增区间 ，减区间 要使方程有两个相异实根，则有 ，解得 12分 考点：函数导数求函数单调性最值极值 点评：第一问利用函数在极值点处的导数为零得到系数的值，第二问第三问将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，进而利用函数导数求单调性求极值最值。这种转化思路在函数题目中经常用到，要加强这方面的训练
