1、2012-2013学年广东汕头四中高一上期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 ，则角 的终边落在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 试题分析： 弧度，大约是 ，所以角 的终边落在第一象限 . 考点：本小题主要考查角度和弧度的换算与角的终边所在象限的判断 . 点评：要判断角的终边的位置，要先大约换算成角度再进行判断 . 已知 是以 为周期的偶函数，且 时， ，则当时， 等于 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 是以 为周期的偶函数，所以当 时，所以 . 考点：本小题主要考查函数的奇偶性、周期性等性质的应用和函数式的求法，考查学生应用函数
2、性质解决问题的能力 . 点评：解决此类问题，要注意 “求谁设谁 ”的原则 . 将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），所得图像的函数式是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，得到函数 ，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数式为 . 考点：本小题主要考查函数的平移变换和伸缩变换，考查学生对三角函数图象的掌握能力和变换能力 . 点评：函数的平移变换是相对于 说的，而函数图象的伸缩变换只变 的系数，其余不变 . 平面上有四个互异的点 、 、 、 ，已知则 的
3、形状是 ( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 答案： B 试题分析：根据向量的运算性质可知，所以,所以 是等腰三角形 . 考点：本小题主要考查向量的运算和三角形形状的判断，考查学生的运算能力和转化能力 . 点评：向量的运算要注意利用向量的运算法则，必要时还要借助向量加法的平行四边形法则和三角形法则 . 为得到函数 的图象，只需将函数 的图象 ( ) A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 C向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位 答案： C 试题分析：根据诱导公式可得 ，所以向左平移 个长度单位即可得到函数 的图象 . 考点：本小题主要考查函数图象的
4、平移和诱导公式的应用，考查学生的运算能力和推理能力 . 点评：函数图象的平移遵循 “左加右减 ”的原则，如果两个函数不同名，则首先要利用诱导公式将函数化成同名的三角函数 . 设 ， ，且 、 夹角为 ，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ， ，且 、 夹角为 ，所以 ，所以 所以 考点：本小题主要考查向量的数量积的计算和向量的模的求解，考查学生的运算求解能力 . 点评：求向量的模，要先求向量的模的平方 . 函数 图象的一条对称轴是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：令 当 时， 为其中的一条对称轴 . 考点：本小题主要考查三角函数对称轴的求法 . 点评：求三
5、角函数的对称轴和对称区间时，不要漏掉 已知 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以考点：本小题主要考查三角函数的给值求值问题，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：对于此类问题，要尽量用已知角表示未知角，而不是直接计算 . 已知 , ,若 ,则 的值为 （ ） A B C 或 D 或 答案： C 试题分析：由题意可知 ，因为 ，所以解得 的值为 或 . 考点：本小题主要考查向量垂直的坐标运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：向量垂直和平行的坐标运算比较简单，仔细运算即可 . 已知 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，根据同角
6、三角函数的基本关系式可得，根据诱导公式可得 考点：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：利用同角三角函数的基本关系式时要注意判断角的范围，进而确定角的函数值的符号 . 填空题 对于函数 ,下列命题 : 函数图象关于直线 对称 ; 函数图象关于 点 对称 ; 函数图象可看作是把 的图象向左平移个 单位而得到 ; 函数图象可看作是把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变 )而得到 ;其中正确命题的序号是 . 答案： 试题分析：将 代入函数式，得 ，而正弦函数的对称轴应该过函数的最值点，所以 错误；将 代入函数式，可得 ，所以 正确；
7、把 的图象向左平移个 单位可以得到函数，所以 不正确；把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变 )可以得到函数 的图象，所以 正确 . 考点：本小题主要考查三角函数图象的性质和应用，考查学生根据函数图象研究函数性质的能力和对三角函数图象的变换的掌握 . 点评：三角函数图象的平移变换很容易出错，要注意到平移的单位是什么 . 若函数 具有性质： 为偶函数， 对任意 都有，所以则函数 的式可以是： （只需写出满足条件的一个式即可） 答案： 试题分析：由题意可知函数 为偶函数而且 为函数的一条对称轴， 等都符合要求，写出一个即可 . 考点：本小题主要考查函数的奇偶性和对称性的应用，考查
8、学生对函数性质的掌握和应用能力 . 点评：函数的奇偶性、单调性 和周期性、对称性等是函数的重要的几何性质，要牢固掌握，灵活应用解题 . 已知函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是 答案： 试题分析：如果 ，则 满足要求；如果 ，则对称轴；如果 ，则对称轴 ，综上可知，实数 的取值范围是 . 考点：本小题主要考查含参数的二次函数的单调性，考查学生分类讨论和数形结合思想的应用 . 点评：解决此类问题时，一定不要漏掉 ;另外，讨论二次函数的单调性时，要借助二次函数的图象进行 . 已知 中， 为 边上一点，若 答案： 试题分析：根据向量加法的几何意义知考点：本小题主要考查用已知向量表示未知向量和向
9、量的线性表示，考查学生数形结合思想的应用 . 点评：遇到向量的加法，尽量找首尾相接的向量，遇到向量的减法，尽量找共起点的向量 . 解答题 （本小题满分 分） （ 1）化简 （ 2）求函数 的最大值及相应的 的值 . 答案：（ 1） （ 2） （ ）时， 试题分析：（ 1）根据诱导公式可得 原式 . 6 分 （ 2） ， 8 分 令 ,则 ， ， ， 10 分 当 ，即 ，即 （ ）时， . 12 分 考点：本小题主要考查三角函数的化简、求值以及换元法解决二次函数的最值问题，考查学生的运算求解能力 . 点评：用换元法解决问题时，要特别注意换元前后变量的范围是否发生了变化 . （本题满分 分）已知
10、函数 (1)求 与 , 与 ; (2)由（ 1）中求得结果，你能发现 与 有什么关系？并证明你的结论 ; (3)求 的值 答案：（ 1） ， ， ， （ 2），代入 和 化简即可证明（ 3） 试题分析： (1)因为函数 ， 分别代入求值可得 ， ， 1 分 ， . 2 分 （ 2）由（ 1）中结果可以发现 , 5分 证： . 8 分 (3)利用（ 2）证明的结论可以求出. 12 分 考点：本小题主要考查由函数式求函数值，考查学生的运算求解能力和归纳推理论证能力 . 点评：在解题时要善于观察，善于总结，要及时准确的发现规律，不过发现的规律还需要进行论证才可以使用 . （本小题满分 分）已知 ，
11、; (1) 若 ，求 的值； （ 2）若 ， ，求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） ， ， 1 分 ； 3 分 . 7 分 （ 2） ， 8 分 ，两边平方得 ， 10 分 ，且 ， ， 12 分 . 分 考点：本小题主要考查向量的坐标运算和三角函数的化简和求值，考查学生对三角函数公式的掌握和利用能力，考查学生的运算求解能力 . 点评：三角函数中公式众多，利用三角函数公式解决问题时，要注意各个公式的适用条件，准确应用 . （本小题满分 分）设函数 的最高点 的坐标为（ ），由最高点 运动到相邻最低点时，函数图形与 的交点的坐标为（ ） . （ 1）求函数 的式 . （
12、2）当 时，求函数 的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时 相应的自变量 的值 . （ 3）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 的单调减区间 . 答案：（ 1） （ 2） 时，函数 取得最小值 ； 时，函数 取得最大值 （ 3） 的单调减区间为 试题分析：（ 1） 由最高点 D（ ）运动到相邻最低点时，函数图形与 的交点的坐标 为（ ）， ， 2 分 从而 ， ， ， 4 分 函数式为 . 5 分 （ 2）由（ 1）得函数 ， 当 时， . 6 分 当 ，即 时，函数 取得最小值 . 8 分 当 ，即 时，函数 取得最大值 . 10 分 （ 3）由题意得， ，即 ，
13、 12分 由 , 得 , 13 分 即 的单调减区间为 . 14 分 考点：本小题主要考查由三角函数的图象求函数的式以及对函数性质如最值、单调区间等的研究，考查学生数形结合思想的应用 . 点评：一般来说，由三角函数图象确定式时，由最值确定 ，由周期确定 ，由特殊值确定 ，知道了函数式，求函数的最值和单调区间时要借助三角函数的图象解决问题 . （本小题满分 分） 若函数 在定义域 内某区间 上是增函数，而 在 上是减函数， 则称 在 上是 “弱增函数 ” （ 1）请分别判断 = ， 在 是否是 “弱增函数 ”， 并简要说明理由 ; （ 2）证明函数 ( 是常数且 )在 上是 “弱增函数 ” 答案
14、：（ 1） = 在 上是 “弱增函数 ”； 在上不是 “弱增函数 ”（ 2）易证 在 上是增函数，再利用定义证明 在 上是减函数 试题分析：（ 1） = 在 上是 “弱增函数 ”； 在 上不是 “弱增函数 ”； 2 分 理由如下： 显然， = 在 上是增函数， 在 上是减函数， = 在 上是 “弱增函数 ”。 4 分 是开口向上的抛物线，对称轴方程为 ， 在 上是增函数， 而 在 上是增函数， 在 上不是 “弱增函数 ”。 6 分 （ 2）证明： 函数 是开口向上的抛物线，对称轴方程为， 函数 ( 是常数且 )在 上是增函数； 8 分 令 ，则 ， 对任意 ，得 ， ， 9 分 ， 12 分
15、，从而 在 上是减函数， 13 分 函数 ( 是常数且 )在 上是 “弱增函数 ”. 14 分 考点：本小题主要考查新定义下函数的单调性的研究和证明，考查学生的推理能力和论证能力 . 点评：判断函数的单调性一是可以借助初等函数的单调性，再就是利用函数的单调性的定义来证明，利用定义证明函数的单调性时，要化到最简 . （本小题满分 分）已知函数 （ ， 是不同时为零的常数） . （ 1）当 时，若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （ 2）求证：函数 在 内至少存在一个零点 答案：（ 1） （ 2） 时易证结论； 时，利用函数的零点存在定理可以证明结论成立 . 试题分析：（ 1）当 时， ， 由不等式 即 对任意 恒成立， 得 ，解得 . 5 分 （ 2）证明：当 时，因为 ， 不同时为零，所以 ， 所以 的零点为 ， 6 分 当 时，二次函数 的对称轴方程为 ， 7分 若 即 时， ， 函数 在 内至少存在一个零点 10分 若 即 时， ， 函数 在 内至少存在一个零点 13 分 综上得：函数 在 内至少存在一个零点 14 分 考点：本小题主要考查二次函数恒成立问题和函数零点存在定理的应用，考查学生的转化能力和运算求解能力以及分类讨论思想的应用 . 点评：恒成立问题，一般转化为最值问题解决，而函数的零点存在定理能确定一定存在零点，但是确定不了存在几个零点 .
