1、2012-2013学年广东汕头达濠中学高二上期末理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 双曲线 的焦点坐标是 （ ） A（ 2， 0），（ 2， 0） B（ 0， 2），（ 0， 2） C（ 0， 4），（ 0， 4） D（ 4， 0），（ 4， 0） 答案： D 试题分析：因为双曲线焦点在 x轴上，且 =10+6=16，所以 c=4，双曲线 的焦点坐标是（ 4， 0），（ 4， 0），选 D。 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。 点评：简单题，明确双曲线中 a,b,c的关系。 已知 是以 为焦点的椭圆 上的一点，若，则此椭圆的离心率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设
2、 ，而 即 ， 所以在三角形 中，有 ，消去 m得， ，所以 此椭圆的离心率为 ，选 B. 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，向量、三角基础知识。 点评：典型题，注意运用椭圆定义及直角三角形中的边角关系。 如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若， ， 则下列向量中与 相等的向量是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： = = ，故选 A。 考点：本题主要考查空间向量的线性运算。 点评：简单题，在几何体中，选定一组基向量，将研究对象用基向量表示。 已知 ，则向量 的夹角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案： C 试题分析：因为 ，所以 (0， 3， 3)，
3、 (-1， 1， 0),所以 cos= = = ， 又 ，故向量 的夹角为 60，选 C。 考点：本题主要考查空间向量的坐标运算，计算数量积、求夹角。 点评：基础题，计算向量 的夹角，要注意夹角的范围。 方程 所表示的曲线是（ ） A双曲线 B椭圆 C双曲线的一部分 D椭圆的一部分 答案： C 试题分析：由 知 ，所以方程 所表示的曲线是双曲线的一部分，故选 C。 考点：本题主要考查双曲线方程。 点评：简单题，通过变换方程的形式，明确曲线特征，要注意变量的范围。 已知 m、 n是两条不重合的直线， 、 、 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： 若 m ， m ，则 ； 若 ， ，则 ；
4、若 m ， n ， m n，则 ； 若 m、 n是异面直线， m ， m ， n ， n ，则 其中真命题是（ ） A 和 B 和 C 和 D 和 答案： D 试题分析：垂直于同一直线的两个平面平行，所以 “ 若 m ， m ，则 ”正确； 结合 “墙角结构 ”可知 “ 若 ， ，则 ”不正确； 由平面平行的判定定理知 “ 若 m ， n ， m n，则 ”不正确；至此可以选 D。 考点：本题主要考查立体几何中线面平行、垂直关系。 点评：容易题，结合命题条件，对照定理、公理加以判断。 若直线 3x y a 0过圆 x2 y2 2x-4y 0的圆心，则 a的值为 ( ) A -1 B 1 C 3
5、 D -3 答案： B 试题分析：因为直线 3x y a 0过圆 x2 y2 2x-4y 0的圆心，所以圆心坐标适合直线方程。将圆心坐标（ -1,2）代入 3x y a 0得， a=1,故选 B. 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：简单题，直线 3x y a 0过圆 x2 y2 2x-4y 0的圆心，圆心坐标适合直线方程。 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4，那么圆柱的体积等于（ ） A B 2 C 4 D 8 答案： B 试题分析：因为圆柱轴截面为正方形，所以直径 2r=高 h，由圆柱的侧面积是4 得 2rh=4，所以 r= =1,h=2,圆柱的体积为 2，选 B。 考点：本
6、题主要考查圆柱体的几何特征，几何体面积、体积计算。 点评：容易题，从已知出发，求圆柱的地面半径及其高。 填空题 平面直角坐标系中，已知 顶点 A 和 C ,顶点 B在椭圆上，则 _ 答案： 试题分析：所求式根据正弦定理得， ， A， C两点都是椭圆的焦点，根据椭圆的定义 a+c就是动点到两定点的距离之和，所以 a+c=25=10，b就是焦距， 所以 b=8，所以 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程、几何性质，正弦定理。 点评：基础题，通过 ，运用椭圆定义确定 a,b,c的关系，是解题的关键。 如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是 答案： 试题分析：观察三视图可知，几何体是一
7、个组合体，由一个棱长为 4的正方体与一个底面边长为 4，高为 2的正四棱锥组成，所以此几何体的表面积是 5 +4 = 。 考点：本题主要考查三视图及几何体表面积计算。 点评：简单题，也是高考必考题型，从三视图还原成直观图是具体地关键。 已方程 表示焦点在 x轴上的双曲线，则 m的取值范围是 . 答案： (-3,2 ) 试题分析： 即 。 因为焦点在 x轴上的双曲线标准方程满足 系数为正， 的 系数为负。 所以 2（ m+3） 0且 2（ 2-m） 0，解得 -3的值； （ 3）求证： A1B C1M. 答案：（ 1） | |= . （ 2） cos= . （ 3）计算 =0，推出 A1B C1
8、M。 试题分析：如图，建立空间直角坐标系 Oxyz. （ 1）依题意得 B（ 0， 1， 0）、 N（ 1， 0， 1） | |= .。 4分 （ 2）依题意得 A1（ 1， 0， 2）、 B（ 0， 1， 0）、 C（ 0， 0， 0）、 B1（ 0， 1， 2） =(1， -1， 2)， =(0， 1， 2， )， =3， | |= | |= cos= .。 8分 （ 3）证：依题意，得 C1（ 0， 0， 2）、 M（ ， 2）， =(-1， 1， -2)，= ,0. =- +0=0， ， A1B C1M.。 12分 考点：本题主要考查立体几何中线线垂直，距离及角的计算，空间向量的应用
9、点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明，距离及角的计算问题是高考中的必考题，通过建立适当的坐标系，可使问题简化，向量的坐标运算要准确。 （本题满分 12分）如图，直线 l： y x b与抛物线 C： x2 4y相切于点 A. (1)求实数 b的值； (2)求以点 A为圆心，且与抛物线 C的准线相切的圆的方程 答案： (1) b -1.(2) (x-2)2 (y-1)2 4. 试题分析： (1)由 得 x2-4x-4b 0， (*) 因为直线 l与抛物线 C相切， 所以 (-4)2-4(-4b) 0，解得 b -1. 5 分 (2)由 (1)可知 b -1，故方程 (*)为 x2-4x 4
10、 0. 解得 x 2，代入 x2 4y，得 y 1，故点 A(2,1) 因为圆 A与抛物线 C的准线相切，所以圆 A的半径 r就等于圆心 A到抛物线的准线 y -1的距离，即 r |1-(-1)| 2， 10 分 所以圆 A的方程为 (x-2)2 (y-1)2 4. 12 分 考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系。 点评：容易题，研究直线与抛物线只有一个公共点，除判别式为 0，还要考虑直线与抛物线轴平行的情况，以免失解。 （本小题满分 16分） 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， 以 的中点 为球心、 为直径的球面切 于点 （ 1）求证： PD 平面 ； （
11、2）求直线 与平面 所成的角的正弦值； （ 3）求点 到平面 的距离 答案：（ 1）先证 ，推出 ，证明 ； （ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）证：依题设， 在以 为直径的球面上，则,2 分 因为 ，则 ，又 ， 所以 ，则 ， 4 分 因此有 ， 5 分 （ 2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， 8 分 设平面 的一个法向量 ，由 可得： ， 令 ，则 ，即 . 10 分 设所求角为 ，则 ， 12 分 （ 3）设所求距离为 ，由 ，得： 16分 考点：本题主要考查立体几何中线面平行、垂直、角和距离的计算，空间向量的应用 点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的
12、证明及角的计算问题是高考中的必考题，通过建立适当的坐标系，应用空间向量，可使问题简化。 （本小题 16分）设双曲线： 的焦点为 F1,F2.离心率为 2。 （ 1）求此双曲线渐近线 L1,L2的方程； （ 2）若 A,B分别为 L1,L2上的动点，且 2 ,求线段 AB中点 M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 答案：（ 1）由已知双曲线的离心率为 2得： 解得 a2=1, 2 分 所以双曲线的方程为 ， 4 分 所以渐近线 L1,L2的方程为 和 0 6 分 （ 2） c2 a2 b2 4，得 c 2 ，所以 ， 又 2 所以 =10 8 分 设 A在 L1上， B在 L2上，设 A（ x1
13、， ， B(x2， - 所以 即 10 分 设 AB的中点 M的坐标为（ x， y），则 x ， y 所以 x1 x2 2x ， x1-x2 2 y 所以 整理得： 14 分 所以线段 AB中点 M的轨迹方程为： ，轨迹是椭圆。 16 分 试题分析：（ 1）由已知双曲线的离心率为 2得： 解得 a2=1, 2 分 所以双曲线的方程为 ， 4 分 所以渐近线 L1,L2的方程为 和 0 6 分 （ 2） c2 a2 b2 4，得 c 2 ，所以 ， 又 2 所以 =10 8 分 设 A在 L1上， B在 L2上，设 A（ x1， ， B(x2， - 所以 即 10 分 设 AB的中点 M的坐标为（ x， y），则 x ， y 所以 x1 x2 2x ， x1-x2 2 y 所以 整理得： 14 分 所以线段 AB中点 M的轨迹方程为： ，轨迹是椭圆。 16 分 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，轨迹方程的求法。 点评：点评：求曲线的轨迹方程是几何的基本问题，本题利用相关点法求轨迹方程，相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程中档题。
