1、2012-2013学年广东汕头金山中学高二上期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A 或 B C 或 D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 。 考点：集合的运算。 点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。 如图在长方形 ABCD中， AB= ， BC=1， E为线段 DC 上一动点，现将AED沿 AE折起，使点 D在面 ABC上的射影 K 在直线 AE上，当 E从 D运动到 C，则 K 所形成轨迹的长度为（ ）A B C D 答案： D 试题分析：由题意，将 AED沿 AE折起，使点 D在面 ABC上的射影 K 在直线 AE上，由翻折的特征知，
2、连接 DK，则 DKA=90，故 K 点的轨迹是以AD为直径的圆上一弧，易知此圆半径是 ， 如图当 E与 C重合时， AK= ，取 O 为 AD的中点，则 OAK 是正三角形 故 K0A= ，所以 K0D= ，所以其所对的弧长为 = 。故答案：为：。 考点：多面体与旋转体表面上最短距离问题。 点评：本题主要考查多面体与旋转体表面上的最短距离问题，解题的关键是由题意得出点 K 的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变本题比较抽象，考查了空间想像能力及根据所给的条件及图形位置关系进行推理论证的能力 如图 ,函数 的图象是中心在原点 ,焦点在 轴上的椭圆的两段弧 ,则不等
3、式 的解集为 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由图像知 f（ x）为奇函数，所以 f（ -x） =-f（ x）所以原不等式可化为 f（ x） ， 由图像易知，包含这两段弧的椭圆方程为 ， 与直线 y= 联立得 ， 结合图像知：不等式 的解集为 。 考点：函数的奇偶性； 点评：本题主要考查奇函数的性质和椭圆的标准方程，体现了数形结合及转化的数学思想根据已知条件对不等式进行转化变形是解答本题的关键 下列函数中，在其定义域内既是减函数又是奇函数为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： A 在 都是单调递减的，但不能说在定义域内是单调递减的； B 定义域为 ，所以是非奇非偶函数
4、； C因为 在 R上单调递减， 在 R上单调递减，所以 在 R上单调递减。又 ，所以为奇函数； D 在每个单调区间上都是单调递减的，但不能说在定义域内是单调递减的。 考点：函数的单调性；函数的奇偶性。 点评：此题是易错题，很多同学易错选 A和 D。我们一定要注意这种说法：在每个单调区间上都是单调递减的，但在定义域内不是单调递减的。 已知圆 及直线 当直线 被圆截得的弦长为 ,则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：圆心（ a,2）到直线 的距离 ，所以，解得 . 考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式。 点评：在直线与圆相交的有关问题中，我们经常用到半径、弦心距和弦长的一半 构
5、成的直角三角形来解。 已知函数 其中（ ）则 “ ”是 “是奇函数 ”的 ( ) A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 答案： C 试题分析：由奇函数的定义可知：若 f（ x）为奇函数，则任意 x都有 f（ -x） =-f（ x），取 x=0，可得 f（ 0） =0；若 f（ 0） =0，则，此时 ，很显然为奇函数。因此选 C。 考点：充分、必要、充要条件的判断；函数 的奇偶性。 点评：若函数 为偶函数，则 ； 若函数 为奇函数，则 。 已知双曲线 的渐近线 经过二、四象，直线 过点 且垂直于直线 ，则直线 方程为（ ） A B C D 答案： B 试题分
6、析：因为双曲线 的渐近线 经过二、四象，所以渐近线 的斜率为： ，因为直线 过点 且垂直于直线 ，所以直线 方程为，即 。 考点：抛物线的简单性质；直线垂直的条件；直线方程的点斜式。 点评：双曲线 的渐近线方程为 ；双曲线 的渐近线方程为 。 抛物线 的焦点坐标与准线方程 ( ) A焦点 : ,准线 : B焦点 : ,准线 : C焦点 : , 准线 : D焦点 : , 准线 : 答案： D 试题分析：因为抛物线的焦点在 x的负半轴上且 p=4，所以焦点为焦点 : , 准线 : 。 考点：抛物线的简单性质。 点评：熟记抛物线四种形式的焦点坐标和准线方程。属于基础题型。 填空题 椭圆 的两焦点是
7、,则其焦距长为 ，若点 是椭圆上一点，且 是直角三角形，则 的大小是 . 答案： ， 试题分析：易知 ，所以焦距长为 。 因为 bc，所以要满足 是直角三角形，应该是 是直角，不妨设点 P在第一象限，则点 P的坐标为 ，所以。 考点：椭圆的简单性质。 点评：椭圆 ，点 是椭圆上一点，若 bc,满足 是直角三角形的点 P有四 4；若 b=c，满足 是直角三角形的点 P有 6个；若b g(x),得 x+2x2-x-6,即 (x+2)(x-4)0,则 -3,其中等号当且仅当 x+2=1,即 x=-1时成立 的最小值是 -3. 考点：向量的坐标；一次函数、二次函数的性质；基本不等式。 点评：（ 1）向
8、量的坐标就是其终点的坐标减去起点的坐标。 (2)注意基本不等式应用的条件：一正二定三相等。本题把式子 化为 x+2+ -5的形式，从而达到利用基本不等式的条件。 (本小题满分 14分 )已知等差数列 的前 项和为 ，前 项和为 . 1）求数列 的通项公式 2）设 , 求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） Sn 。 试题分析： (1)设 an的公差为 d ，由已知得 解得 a1 3,d -1 故 an 3-(n-1)(-1) 4-n6 分 (2)由 (1)的解答得， bn n qn-1，于是 Sn 1 q0 2 q1 3 q2 (n-1) qn-1 n qn. 若 q1，将上式两边
9、同乘以 q，得 qSn 1 q1 2 q2 3 q3 (n-1) qn n qn 1. 将上面两式相减得到 (q-1)Sn nqn-(1 q q2 qn-1) nqn- 于是 Sn 若 q 1，则 Sn 1 2 3 n 所以， Sn 14 分 考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式；数列前 n项和的求法。 点评：（ 1）若一个数列是等差数列和等比数列的乘积的形式，求其前 n项和通常用错位相减法。（ 2）注 意等比数列前 n项和的形式 : ，注意对 的讨论。 (本小题满分 14分 )设椭圆 与抛物线 的焦点均在 轴上， 的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中 :
10、 1)求 ， 的标准方程 , 并分别求出它们的离心率 ； 2)设直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 （其中 坐标原点），请问是否存在这样的直线 过抛物线 的焦点 若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） ， ， ， 。（ 2）。 试题分析：（ 1） 焦点在 x 轴上，且椭圆 与抛物线 的中心与顶点在原点，又过点 ， 故点 在椭圆上，点 在抛物线 上 ， 点 在 上， 设 把点 代入得 ， 由抛物线 知 （ 2）由 得 若 l与 x轴垂直，则 l:x=1 由 设 不满足 若存在直线 l不与 x轴垂直，可设为 设 由 所求的直线为 考点：椭圆与抛物线的标准方程及简单性质；
11、直线与椭圆的综合应用。 点评：（ 1）做第一问的关键是确定哪两个点在椭圆上，哪两个点在抛物线上。（ 2）在求直线与圆锥曲线相交的有关问题时，通常采用设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点 联立方程 消元 韦达定理。 (本小题满分 14分 )已知 ， 1)若 ，求方程 的解； 2)若对 在 上有两个零点 ,求 的取值范围 . 答案：（ 1） 或 。（ 2） 。 试题分析：（ 1）当 k 2时， 当 时， 1或 -1时，方程化为 2 解得 ，因为 ，舍去，所以 当 时， -1 1时，方程化为 ，解得 ， 由 得当 k 2时，方程 的解所以 或 (II)解：不妨设 0 x1 x2 2， 因为 所以 在（ 0,1是单调函数，故 0在（ 0,1上至多一个解， 若 1 x1 x2 2，则 x1x2 - 0，故不符题意，因此 0 x11 x2 2 由 得 ， 所以 ； 由 得 ， 所以 ； 故当 时，方程 在 (0， 2)上有两个解 考点：含绝对值的函数性质；一元二次函数的性质；函数的零点。 点评：本题主要考查方程的根与函数的零点的关系，以及分类讨论的数学思想。含绝对值的有关问题，常要分类讨论，在分类讨论时，要做到不重不漏。同时也考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题
