1、2012-2013学年广东省东莞中学高一暑假作业（三）必修 2数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知一空间几何体的三视图如图所示，它的表面积是 ( ) A B C D 3 答案： C 试题分析：该几何体是三棱柱，如下图， ， 其表面积为 。故选 C。 考点：柱体的表面积公式 点评：由几何体的三视图来求出该几何体的表面积或者体积是一个考点，这类题目侧重考察学生的想象能力。 三棱锥 的四个顶点都在体积为 的球的表面上，底面 ABC所在的小圆面积为 16，则该三棱锥的高的最大值为 ( ) A 7 B 7.5 C 8 D 9 答案： C 试题分析：由 求得球的半径为 ，由 求得底面 ABC 所在的小圆
2、的半径 ，则球心 O 到底面 ABC所在小圆的圆心 H的距离 。当点 P在底面 ABC的投影与 C重合时，该三棱锥的高最大，求得最大值为 。故选 C。 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体 点评：本题考查了由球的体积求半径，由圆的面积求半径，以及勾股定理的应用，是基础题 如图所示，某几何体的正 (主 )视图与侧 (左 )视图都是边长为 1的正方形，且体积为 .则该几何体的俯视图可以是 ( ) 答案： C 试题分析：当俯视图是 A时，正方体的体积是 1；当俯视图是 B时，该几何体是圆柱，底面积为 ，高为 1，则其体积为 ；当俯视图为 C项，则该几何体为三棱柱，其体积为 ，符合题意；当俯视图
3、是 D 时，该几何是圆柱切割而成，。故选 C。 其体积是故选 C。 考点：简单空间图形的三视图 点评：本题考查空间图形的三视图，考查根据三视图还原几何体，考查根据几何体的体积想象几何体的形状，本题是一个基础题 如图，正四棱柱 - ， 2， ， ， 分别在 ，上移动，且始终保持 平面 ，设 ， ，则函数的图象大致是 ( ) 答案： C 试题分析：作 ，连接 NH，由于 平面 ，则 。由于 ，求得 。又因为 ， ，所以 ， ，化为 ，其图像是 C。 考点：函数的图象与图象变化；直线与平面平行的性质 点评：本题考查的知识点是线面平行的性质，函数的图象与性质等，根据已知列出函数的式是解答本题的关键 正
4、方体的棱长为 1， 、 、 分别为三条棱的中点， 、 是顶点，那么点 到截面 的距离是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：过 M作 AB的垂线 MN 交 AB于 N，连接 CN。由于，则 ，所以， M到面 ABCD的距离 h是直角三角形 CMN 的斜边 CN上的高。 由于 ，则结合 求得 。故选B。 考点：点到平面的距离 点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算考查了学生对立体几何知识的理解和运用 已知某一几何体的正 (主 )视图与侧 (左 )视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：俯视图为 的几何体的侧视图如下，这
5、与题目不相符，而 符合题意。故选 D。 考点：三视图 点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题 用一些棱长是 1cm的小正方体码放成一个几何体， (1)为其俯视图， (2)为其正 (主 )视图，则这个几何体的体积最大是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由已知中几何体的主视图： 我们可以分析出几何体的体积最大时，俯视图中每摞正方体的个数为： 由于小正方体的棱长为 1cm，则每个小正方体的体积为 ， 所以这个几何体的体积最大是 。故选 B。 考点：几何体的体积 点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，其中根据主视图判断每一摞小正方体的最多个数是解答本题的
6、关键 水平放置的正方体的六个面分别用 “前面、后面、上面、下面、左面、右面 ”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是 ( ) A 0 B 8 C奥 D运 答案： B 试题分析：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，该正方体是以 “8”作为底面。故选 B。 考点：几何体的展开图 点评：本题考查了正方形相对两个面上的文字问题，同时考查空间想象能力注意正方体的空 间图形，从相对面入手，分析及解答问题 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列结论： ， ； ， ， ； ， ， ； ， . 其中正确的有 ( ) A 1个 B 2个 C
7、3个 D 4个 答案： B 试题分析：在 中，可以是 ，则 错误；结合两平面平行的性质知 正确；结合两平面相交的性质知 正确；在 中， a与 b可以异面，则 错误。故选 B。 考点：直线、平面之间的位置关系 点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底长均为 1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：根据斜二侧画法，原图为直角梯形，如下图， 其面积为 。故选 D。 考点：斜二侧画法 点评：本题考察对斜二侧画法的理解和应用。需要注意的是，由斜二侧画法得到的
8、图形的点的纵坐标为原来的一半，横坐标不变。 填空题 已知一个几何体的三视图如图所示 (单位： cm)，其中正 (主 )视图是直角梯形，侧 (左 )视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是 _. 答案： 试题分析：该几何体由一个正方体和三棱柱构成，正方体的体积为 ，三棱柱的体积为 ，则该几何体的体积为 。 考点：柱体的体积公式 点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题 如图，已知正三棱柱 的底面边长为 2cm，高为 5cm，则一质点自点 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 的最短路线的长为_cm. 答案： 试题分析：正三棱柱 的一个侧面 , 由于三个侧面均相等，沿着三棱柱的侧 面绕行两周可
9、以看成六个侧面并排成一平面，所以对角线的长度就是最短路线，求得最短距离 cm。 考点：几何体的展开图 点评：求几何体上两点的最短距离，常将该几何体展开，然后由两点的距离求得。 取棱长为 的正方体的一个顶点，过此顶点出发的三条棱的中点作截面，截去正方体的一个角，对正方体的所有顶点都如此操作，则所剩下的多面体： 有 12个顶点 有 24条棱 表面积 体积 以上结论正确的有 _(填上正确的序号 ) 答案： 试题分析：截掉一个角能得到 3个顶点，而截掉的角的个数为 8个，则有个顶点，故 正确；截掉一个角能得到 3条棱，而截掉的角的个数为8个，则有 条棱，故 正确；一个截面的面积为 ，则 8个截面的面积
10、为 ，另外，还有 6个边长为 的正方形，求得这 6个正方形的面积之和为 ，则该多面体的表面积为 ，故 错误；却去的角为三棱锥，每个三棱锥的体积为 ，则该多面体的体积为 ，故 正确。所以正确的有 。 考点：棱柱的结构特征 点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、多面体的表面积与体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想属于基础题 一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图阴影所示第六个正方形在编号 1到 5的位置，则所有可能位置的编号是 _ _ 答案： 试题分析：若以 B面作为底面，则第六个正方形的编号为 ；若以 D面作为底面，则第六个正方形的编号为 ，则所有可能位置的编号是
11、 。 考点：棱柱的结构特征 点评：本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，是基础题 解答题 如图，在直角梯形 中， ， ， ，为线段 的中点，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到几何体 . (1)若 ， 分别为线段 ， 的中点，求 证： 平面 ； (2)求证： 平面 ； (3) 的值 答案： (1)主要证明 (2)主要证明 (3) 试题分析：解 :(1)证明：依题意，折叠前后 、 位置关系不改变， . 、 分别为线段 、 的中点， 在 中， ， . 又 平面 ， 平面 ， 平面 . (2)证明：将 沿 折起后， 、 位置关系不改变， ， 又平面 平面 ，平面 平面 = ， 平面 ， 平面 .
12、(3)解：由已知得 ， 又由 (2)得 平面 ，即点 到平面 的距离 ， . 考点：平面与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理及面面、线面垂直的判定和性质定理是解题的关键 如图是某直三棱柱 (侧棱与底面垂直 )被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左 )视图、俯视图，在直观图中， 是 的中点，侧 (左 )视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示 (1)求出该几何体的体积； (2)若 是 的中点，求证： 平面 ； (3)求证：平面 平面 . 答案： (1)4 (2)主要证明 (3)主要证明 平面 试题分析
13、：解 :(1)由题意可知，四棱锥 中， 平面 平面 ， ， 所以， 平面 ， 又 ， ， 则四棱锥 的体积为 . (2)连接 ，则 ， ， 又 ，所以四边形 为平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 所以， 平面 . (3) ， 是 的中点， ， 又在直三棱柱中可知，平面 平面 ， 平面 ， 由 (2)知， ， 平面 ， 又 平面 ，所以，平面 平面 . 考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，其中（ 1）的关键是由面面垂直的性质定理可得 AB 平面 ACDE，（ 2）的关键是分析出
14、四边形 ANME为平行四边形，即 AN EM，（ 3）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， 平面 ， ， 、 、 分别为 、 、 的中点，且 . (1)求证：平面 平面 ； (2)求三棱锥 与四棱锥 的体积之比 答案： (1)主要证明 平面 (2) 试题分析：解 :(1)证明： 平面 ， ， 平面 ， 又 平面 ， ， 为正方形， DC. ， 平面 . 在 中，因为 分别为 、 的中点， ， 平面 . 又 平面 ， 平面 平面 . (2)不妨设 ， 为正方形， ， 又 平面 ， 所以 . 由于 平面 ，且 ， 所以 即为点 到
15、平面 的距离， 三棱锥 2 . 所以 . 考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 点评：本题考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力 如图所示，矩形 中， 平面 ， ， 为上的点，且 平面 . (1)求证： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积 答案： (1)只要证明 和 (2) 试题分析：解 :(1) 平面 ， ， 平面 ， ， 又 平面 ， ， 又 ， 平面 . (2)由题意可得， 是 的中点，连接 ， 平面 ， ，又 ， 是 的中点， 在 中， ， ， 平面 ， 平面 . 在 中， ， 1， . 考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 点评：本题主要考查垂直关系，利用线面垂直的定义和判定定理，进行线线垂直与线面垂直 的转化；求三棱锥体积常用的方法：换底法
