1、2012-2013学年广东省广雅中学高一下学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 若角 的终边经过点 ，则 的值是（ ） A 1 B 2 CD 答案： C 试题分析：利用三角函数的定义，计算 的正弦值，即可求得结论 .解：由题意，|OP|= ， = ,故可知答案：为 C. 考点：三角函数的定义 点评：本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式，属于基础题 如图 , 中 , 、 、 分别是 、 、 上的中线， 它们交于点 ，则下列各等式中不正确的是 ( ) A B ； C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于有三角形的重心分各条中线为 1： 2得解解：由条件可知 G为 ABC的重心，由三角
2、形重心的性质可知 显然成立，故选 B.对于 A， ，以及 C. 和 D. 成立， 故错误的为 B. 考点：三角形的重心 点评：考查三角形中重心的性质属于基础题。 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 答案： D 试题分析：由于函数 ,那么可知只需要把函数 的图像向右平移 个单位，既可以得到，故选 D. 考点：三角函数图像变换 点评：主要是考查了三角函数的图像的变化的运用，属于基础题。 电流强度 （安）随时间 （秒）变化的函数的 图象如右图所示，则当 时，电流强度是（ ） A 安 B 安 C 安 D 安 答
3、案： B 试题分析：通过函数的图象求出满足条件的 A，周期 T，利用周期公式求出 ，根据函数的图象过的特殊点求出 值，代入给出函数的式，然后将 秒代入，求出题目所有的电流强度。解：由函数图象可知函数的最大值为 10，最小值为 -10， 又由 A 0， A=10， I=10sin（ 100t+）， I=10sin(100t+ ),故可知当当 时，电流强度是 2，故选 B. 考点：函数式 点评：已知函数图象求函数 y=Asin（ x+）（ A 0， 0）的式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A，由周期确定 ，由适合式的点的坐标来确定 ，但由图象求得的 y=Asin（ x+
4、）（ A 0， 0）的式一般不唯一，只有限定 的取值范围，才能得出唯一解，否则 的值不确定，式也就不唯一 若 则 =（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于 则,由于 角在第三象限可知正弦值和余弦值都为负数可知结论为 ，故可知选 D。 考点：诱导公式 点评：主要是考查了三角函数关系式的化简和求解，属于基础题。 设 ，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据题意借助于正弦函数的性质可知，那么在锐角范围内，函数递增，结合公式可知，选 A 考点：两角和差的三角公式 点评：主要是考查了三角关系式的运用，属于基础题 函数 是（ ） A奇函数且在 上单调递增 B奇函数且在
5、上单调递增 C偶函数且在 上单调递增 D偶函数且在 上单调递增 答案： C 试题分析：根据题意，由于 ，那么可知函数为偶函数，同时结合余弦函数性质可知，在 上单调递增，故答案：为 C. 考点：三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数性质运用，以及化简变形，属于基础题。 已知向量 表示 “向东航行 1km”，向量 表示 “向南航行 1km”，则向量表示 ( ) A向东南航行 km B向东南航行 2km C向东北航行 km D向东北航行 2km 答案： A 试题分析：本题充分体现向量的大小和方向两个元素，根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向，大小可以用勾股定理做向量 表示 “向东航行1
6、km”，向量 表示 “向南航行 1km”， 由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行 km，故选 A 考点：向量的加法几何意义 点评：本题考查向量的几何意义，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化 化简下列式子：其结果为零向量的个数是（ ） ； ； ； A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：对于 成立，对于 ,对于 = ,对于成立，故答案：为 D. 考点：向量的加减法 点评：主要是考查了向量的加减法法则运用，属于基础题。 已知点 在第三象限 , 则角 的终边在 ( ). A第一象限 B第二象限 C第三
7、象限 D第四象限 答案： B 试题分析：解：因为点 P（ tan， cos）在第三象限，所以， tan 0， cos 0，则角 的终边在第二象限，故答案：为 B 考点：三角函数 点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号 填空题 已知 ，直线 和圆相交所得的弦长为 ，则 . 答案： 试题分析：根据题意，由于 ，直线 和圆相交所得的弦长为 ，利用圆心（ 1， cos ） ,半径为 ，那么点到直线的距离公式可知，圆心到直线的距离为 d=,则 ,故答案：为 。 考点：直线与圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与圆的相交的弦的长度问题的运用，属于基础题。 已知对任意的 有
8、 恒成立， 则 的值等于 _ 答案： 试题分析：根据题意，由于对任意的 有，那么令,则可知，故答案：为 考点：三角恒等变换 点评：主要是考查了三角恒等变换的运用，属于基础题。 如果对于函数 的定义域内任意一个 的值，均有 ，且，对于下列五个函数： ； ； ； ，其中适合题设条件的函数的序号是 . 答案： 试题分析：根据题意，由于 ，且 ，说明是奇函数和，同时关于 对称，那么对于 是偶函数，不成立；对于 ；也是偶函数不成立，对于 ；满足题意，对于 非奇非偶函数，不成立故选 考点：抽象函数的性质 点评：本题考查新定义，考查三角函数的化简，解题的关键是一一验证，属于中档题 由直线 上的点向圆 引切线
9、，则切线长的最小值为 . 答案： 试题分析：要使切线长最小，必须直线 y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（ 4， -2）到直线的距离 m，求出 m，由勾股定理可求切线长的最小值。解：要使切线长最小，必须直线 y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（ 4， -2）到直线的距离 m，由点到直线的距离公式得 m=由勾股定理求得切线长的最小值为 ,故答案：为： 考点：直线和圆的位置关系 点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线 y=x+2上的点到圆心的距离最小 已知 为锐角，且 则 = . 答案： 试题分析
10、：根据题意，由于 为锐角，且 则,由于 为锐角，则可知 代入 上式可知三角函数值为 。 考点：两角和的余弦公式 点评：主要是考查了两角和的余弦公式的运用，属于基础题。 已知扇形的周长为 6 cm ，面积为 2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数为 . 答案：或 4 试题分析：解：设扇形的弧长为： l，半径为 r，所以 2r+l=6，因为 S 扇形 = lr=2，所以解得： r=1， l=4或者 r=2， l=2,所以扇形的圆心角的弧度数是： =4或者 1；故答案：为： 4或者 1 考点：扇形的周长与扇形的面积 点评：本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，此题属于基
11、础题型 解答题 已知 ，求下列各式的值： (1) ； (2) . 答案：（ 1） -5（ 2） 试题分析：解：方法一 .(1) . 4.分 (2) . 8.分 方法二：由 ，即 ，则 . 2.分 (1) . 4分 (2) 由 . 6分 . 8分 考点：同角公式和二倍角公式 点评：主要是考查了三角函数的化简和求解，属于基础题。 在平面直角坐标系 中，已知 ， . （ 1）求以点 为圆心，且经过点 的圆 的标准方程 ； （ 2）若直线 : 与（ 1）中圆 交于 ， 两点 ,且 ，求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 或 试题分析：解：（ 1）方法 1：因为圆 的圆心为 ，可设圆 的标准方程为 因
12、为点 在圆 上，所以 ，即 所以圆 的标准方程为 5分 方法 2：因为点 在圆 上，所以圆 的半径为 因为圆 的圆心为 ，所以圆 的标准方程为 5分 (2)设圆心 到直线的距离为 ， 因为 两点在圆 上，所以 由 知 又因为 ， 所以 即 故 或 10分 考点：圆的方程以及直线与圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的运用，属于中档题。 已知函数 （ 1）将函数 化简成 的形式； （ 2）求 的单调递减区间； （ 3）求函数 在 上的最大值和最小值 . 答案：（ 1） （ 2） （ 3）当 x= 时， f(x)有最小值 ；当 x= 时， f(x)有最大值 .
13、 试题分析：解：（ 1）4分 6 分 （ 2） 令 ， 解得 ， 单调递减区间为 ， . 8分 （ 3）由 得 11分 故当 x= 时， f(x)有最小值 ；当 x= 时， f(x)有最大值 . 12分 考点：三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的性质和二倍角公式的运用，属于中档题。 在申办国家级示范性高中期间，某校拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室 . 如图所示， 是一块边长为 50m的正方形地皮，扇形 是运动场的一部分，其半径为 40m，矩形 就是拟建的健身室，其中 分别在和 上， 在弧 上，设矩形 的面积为 ， . (1) 试将 表示为 的函数； (2) 当点 在弧 的何处时，该
14、健身室的面积最大？最大面积为多少？ 答案：（ 1） . （ 2）当点 在弧 的端点 或 处时，健身室的面积最大，最 大面积为500m2 试题分析：解： (1) 延长 交 于 ， ， . ， , ， 于是 ， 4分 矩形 的面积为 . 6分 (2) . 设 ，则 ， 7分 . 8分 ， . 10分 当 时， 有最大值，且 ， 此时， ，即 ， ， . 答：当点 在弧 的端点 或 处时，健身室的面积最大，最大面积为500m2 . 12分 考点：三角函数的运用 点评：主要是考查了运用三角函数表示面积，以及求解最值的运用，属于中档题。 已知函数 ， ， 的最小正周期是，其图象经过点 （ 1）求函数 的
15、表达式； （ 2）已知 的三个内角分别为 ， ， ，若；求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1） 由 知 ，即 1分 又 知 ,即 ， 2分 因为 ，所以 ，故 即 4分 5分 （ 2）由 得 ，即 7分 又 , ， 8分 由 得 ,即 , 10分 又 , 即 13分 14分 考点：两角和差的公式，以及三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的性质，以及两角和差的三角公式的运用，属于中档题。 已知点 , 的坐标分别是 ， .直线 , 相交于点 ，且它们的斜率之积为 . （ 1）求点 的轨迹 的方程； （ 2）若过点 的两直线 和 与轨迹 都只有一个交点，且 ,求 的值
16、; (3)在 轴上是否存在两个定点 , ,使得点 到点 的距离与到点 的距离的比恒为 ,若存在，求出定点 , ；若不存在，请说明理由 . 答案： （ 1）轨迹 的方程为 （ 2） （ 3）存在定点 ， 或 ， 试题分析：解： （ 1）设点 的坐标为 由题可知 ,即 ， 化简得 ， 所以点 的轨迹 的方程为 4分 （ 2）分四种情况讨论 情况一：当直线 和 都与 相切时，直线 和 与轨迹 都只有一个交点。 设直线 的方程为 ，即 由 可知直线 的方程为 ，即 因为直线 和 都与 相切，所以 解得 。 6分 情况二：当直线 过点 ,直线 过点 时，直线 和 与轨迹 都只有一个交点。 此时直线 的斜率 ，直线 的斜率 由 知 ，解得 。 7分 情况三：当直线 过点 ,直线 与 相切时，直线 和 与轨迹 都只有一个交点。 直线 的斜率 ，由 知直线 的斜率 故直线 的方程为 ，即 因为直线 与 相切，所以 解得 。 情况四：当直线 过点 ,直线 与 相切时，直线 和 与轨迹 都只有一个交点。 直线 的斜率 ，由
