1、2012-2013学年广东省执信中学高二上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， , 则 A B C D 答案： A 试题分析： ， ，所以。 考点：集合的运算；一元二次不等式的解法；含绝对值不等式的解法。 点评：此题以集合的运算为背景，考查不等式的解法，属于基础题型。 已知点 , ，若点 在函数 的图象上，则使得 的面积为 2的点 的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案： A 试题分析：因为 ，所以 AB所在的直线方程为 x+y-2=0，设过点 C与 AB平行且距离为 2 的直线为 x+y+c=0，则直线 x+y+c=0与抛物线的交点即为满足条件的点 C，又由
2、两平行线间的距离公式得： ，则满足条件的直线有两条，经验证有四个交点，因此选 A。 考点：两平行线间的距离公式；两直线平行的条件；斜率公式。 点评：做此题的关键是分析出点 C满足的条件。此题相对来说难度较大。考查了学生分析问题和解决问题的能力。 已知 ,则 之间的大小关系是 A B C D 答案： B 试题分析：。所以 。 考点：基本不等式；指数函数的单调性。 点评：做本题的关键是利用基本不等式分析出 ，利用指数函数的单调性分析出 ，从而比较出 m与 n的大小。 设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A B C D 答案： D
3、 试题分析：不妨设 F（ -c,0），又 B(0.b),所以 ，又双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，即 ，所以 ，两边同除以得： ，所以 e= . 考点：双曲线的简单性质；斜率公式。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆 ）和（双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 在平面直角坐标系中，已知 若目标函数 的最大值是 10，则实数 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：由线性约束条件 画出可行域，由可行域知：若目标函数 的最大值是 10，则目标函数经过点 ，代入目标函数
4、得 t=2。 考点：线性规划的一些基础知识。 点评：对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的 这种形式外，还有常见的两种： ，第一种的几何意义为：过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点 与点 (a,b)的距离。 对于方程 （ ）的曲线 C，下列说法错误的是 A 时，曲线 C是焦点在 y轴上的椭圆 B 时，曲线 C是圆 C 时，曲线 C是双曲线 D 时，曲线 C是椭圆 答案： D 试题分析： A 时， ，所以曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆，正确；B 时，曲线 C为 ，因此曲线 C表示圆，正确；C 时， ，所以曲线 C是双曲线 ，正确； D
5、 时，曲线 C是椭圆，错误，因为当 时，曲线 C是圆。 考点：椭圆的标准方程；双曲线的标准方程；圆的标准方程。 点评：熟练掌握判断椭圆、双曲线以及圆的方程的特点。方程 ，当且 时表示椭圆；（当 时，表示焦点在 x轴上的椭圆；当时表示焦点在 y 轴上的椭圆。）当 时，表示双曲线；当 时，表示圆。 在 中， ， ， ，在线段 上任取一点 ，使 为钝角三角形的概率为 A B C D 答案： B 试题分析：在 ABC中，从点 A引 BC的垂线，垂足为 E，当点 D在线段 BE上时， 为钝角三角形。 在 ABE中，因为 ，所以 BE=1，所以使 为钝角三角形的概率P= 。 考点：几何概型。 点评：在利用
6、几何概型的概 率公式来求其概率时，几何 “度量 ”可以是长度、面积、体积、角度等。其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任何都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的。 已知等比数列 中，各项都是正数，且 3 ， 成等差数列，则A 1 B C 3 D 答案： C 试题分析：因为 3 ， 成等差数列，所以，所以。 考点：等比数列的性质；等差数列的性质；等差中项的性质。 点评：此题是等差数列的性质和等比数列的性质的综合应用，要注意区分两种数列的性质。 直线 与双曲线 仅有一个公共点，则实数 的值为 A 1 B
7、-1 C 1或 -1 D 1或 -1或 0 答案： C 试题分析：由 得： ， 当 ，此时方程 只有一根，所以直线与双曲线仅有一个公共点； 当 时，要满足题意需 ，此时无解。 所以直线 与双曲线 仅有一个公共点，则实数 的值为1或 -1。 考点：直线与双曲线的位置关系。 点评：在判断直线与双曲线的位置关系时，一般的方法是联立，组成方程组，消元，判断方程解的个数。一定要注意讨论二次项系数是否为 0的情况。 如图，四面体 ABCD中，点 E是 CD的中点，记 ， ， ，则 = A + B + + C + D + + 答案： B 试题分析：因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以+ + . 考点：向量的运
8、算：向量的加法、向量的减法。 点评：灵活应用向量加法的平行四边形法则，属于基础题型。 填空题 对于实数 和 ,定义运算 “”: ,设 ,且关于 的方程 恰有一个实数根，则实数 的取值范围是_. 答案： 试题分析：由题意易知： ，画出 f(x)的图像，由图像可知实数 的取值范围是 。 考点：分段函数；分段函数图像的画法； 点评：熟练画出分段函数的图像，利用数形结合来做，是做本题的最简且最好的方法。属于中档题。 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5次试验 根据收集到的数据（见下表），由最小二乘法求得回归方程 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 答
9、案： 试题分析：由表可知： ，所以 ，设模糊数据为，则 。 考点：回归直线方程的有关知识。 点评：切记： 回归直线方程一定过样本点的中心。在计算过程中一定要仔细认真，避免出现计算错误。 已知 “ ”， “直线 与圆 相切 ”则 是 的_条件 （填 “充分非必要 ”、 “必要非充分 ”、 “充要 ”或 “既非充分也非必要 ”） 答案：充分非必要 试题分析：要使直线 与圆 相切，则 ，所以 是 的充分非必要条件。 考点：直线与圆的位置关系；充分、必要、充要条件的判断。 点评：以充分、必要、充要条件的判断为背景考查了 直线与圆的位置关系，属于基础题型。 求值： _ 答案： 试题分析：由二倍角公式得：
10、 。 考点：二倍角公式。 点评：直接考查二倍角公式，熟记二倍角公式是关键。属于基础题型。 解答题 （本小题满分 12分） 已知函数 ， （ 1）求 的最大值； （ 2）设 中，角 、 的对边分别为 、 ，若 且 ， 求角 的大小 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1） 2 分 （注：也可以化为 ） 4分 的最大值为 6 分 （ 2）因为 ，由（ 1）和正弦定理，得 7 分 又 ，所以 ，即 ， 8分 而 是三角形的内角，所以 ，故 ， 10 分 又 ，所以 ， ， 12 分 考点：和差公式；三角函数最值的求法；正弦定理；同角三角函数关系式；三角形内的隐含条件。 点评：对于式子 “
11、”容易出错，本题已给出 A为三角形的内角，所以这里可以约掉 sinA.若没有告诉角 A的范围，就不能约掉 sinA了。其解决问题的方法应该是：由 得。 （本小题满分 12分） 第 8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了 12名男志愿者和 18名女志愿者将这 30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位： cm）： 男 女 15 7 7 8 9 9 9 9 8 16 0 0 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 5 6 7 4 2 1 18 0 1 0 19 若男生身高在 180cm以上（包括 180cm）定义为 “高个子 ”， 在 180cm以下（不包括 1
12、80cm）定义为 “非高个子 ”， 女生身高在 170cm以上（包括 170cm）定义为 “高个子 ”，在 170cm以下（不包括 170cm）定义为 “非高个子 ” （ 1）如果用分层抽样的方法从 “高个子 ”和 “非高个子 ”中抽取 6人，则应分别抽取 “高个子 ”、 “非高个子 ”各几人？ （ 2）从（ 1）中抽出的 6人中选 2人担任领座员，那么至少有一人是 “高个子 ”的概率是多少？ 答案：（ 1） “高个子 ”应抽取 2人， “非高个子 ” 应抽取 4人；（ 2） 。 试题分析：（ 1）由茎叶图数据可知， “高个子 ”男生和女生分别有 6人和 4人，所以 “高个子 ”和 “非高个子
13、 ”分别是 10人和 20人， 3 分 所以 “高个子 ”应抽取 人， “非高个子 ” 应抽取人 ； 5 分 （ 2）记 “至少有一人是 高个子 ”为事件 A， 6 分 设抽出的 6人为 a,b,c,d,m,n（其中 m,n为 “高个子 ”） 记 “从 a,b,c,d,m,n中选 2位 ”为一个基本事件， 7 分 则共有 15 个基本事件： a,b ,a,c ,a,d,a,m,a,n； b,c,b,d,b,m,b,n；c,d,c,m,c,n； d,m,d,n； m,n. 其中事件 A包括 9个基本事件 : a,m,a,n； b,m,b,n； c,m,c,n； d,m,d,n； m,n. 9 分
14、 由古典概型的概率计算公式知， 11 分 答：从抽出的 6人中选 2人担任领座员，至少有一人是 “高个子 ”的概率是.12 分 考点：茎叶图；分层抽样；随机事件的概率；基本事件。 点评：在列举基本事件是时候，一定要注意不要重复，也不要遗漏，最好按一定的规律一一列出。属于基础题型。 （本小题满分 14分） 如图所示，四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， ， 分别为 、 、 的中点 （ 1）求证： ； （ 2）求平面 EFG与平面 ABCD所成锐二面角的余弦值 答案：（ 1）要证 ，只需证 ，只需证 平面 ； （ 2） 。 试题分析：（ 1） 平面 ， 平面 ， 又 为正方形， 又 ， 3
15、分 平面 平面 ， 5 分 中，中位线 ， 6 分 （ 2）记 AD中点为 H，连结 FH、 HG，易知 GH/DC， ， 又 中 EF/DC， EF/GH所以 E、 F、 H、 G四点共面 7 分 平面 EFG与平面 ABCD交于 GH，所求锐二面角为 F-GH-D.8 分 由（ 1） 平面 ， EF/DC/GH 平面 即 平面 FHD， 平面 FHD， 所以 FH， DH， 二面角 F-GH-D的平面角是 11 分 FH是等腰直角 的中位线， = 13 分 所求锐二面角的余弦值为 14 分 证法 2： DA、 DC、 DP两两垂直，以 为原点建立空间直角坐标系 1分 则 ， ， ， ， G
16、(1,2,0)， 3 分 （ 1） ， 4 分 6 分 7 分 （ 2） 平面 ， 是平面 的一个法向量 9 分 设平面 EFG的法向量为 ， 令 ,得 是平面 的一个法向量 . 11 分 13 分 所求锐二面角的余弦值为 14 分 考点：线面垂直的性质定理；线面垂直的判定定理；二面角。 点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种： 综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。 向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。 （本小题满分 14分） 执行下面框图（图 3）所描述的算法程序， 记输
17、出的一列数依次为 ， ， ， ， ， （注：框图中的赋值符号 “ ”也可以写成 “ ”或 “： ”） （ 1）若输入 ，直接写出输出结果； （ 2）若输入 ，证明数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式 答案：（ 1） 0， （ 2） 。 试题分析：（ 1）输出结果是： 5 分 （ 2）由程序框图可知， ， ， ， 6分 所以，当 时， ， 7 分 ，而 中的任意一项均不为 1， 8 分 （否则的话，由 可以得到 ， ，与 矛盾）， 所以， ， （常数）， ， 故 是首项为 ，公差为 的等差数列， 10 分 所以， ， 12 分， 所以数列 的通项公式为 ， ， 14 分 考点：程序框图；等差
18、数列的定义及性质；数列通项公式的求法。 点评：构造新数列是求数列通项公式的常用方法。本题已知 ，构造出数列 是解题的关键。属于中档题。 （本题满分 14分） 已知椭圆 过点 ，且离心率为 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2） 为椭圆 的左右顶点，点 是椭圆 上异于 的动点，直线分别交直线 于 两点 . 证明：以线段 为直径的圆恒过 轴上的定点 . 答案：（ 1） ； （ 2） 试题分析：（ 1）由题意可知， ， 1 分 而， 2 分 且 . 3 分 解得 ， 4 分 所以，椭圆的方程为 . 5 分 （ 2）由题可得 .设 ， 6 分 直线 的方程为 ， 7 分 令 ，则 ，即 ； 8 分 直
19、线 的方程为 ， 9 分 令 ，则 ，即 ； 10 分 证法 1：设点 在以线段 为直径的圆上，则 ， 即 ， 11 分 ，而 ，即 ， ，或 . 13 分 故以线段 为直径的圆必过 轴上的定点 、 . 14 分 证法 2：以线段 为直径的圆为 即 11 分 令 ，得 ， 12 分 而 ，即 ， ， 或13 分 故以线段 为直径的圆必过 轴上的定点 、 . 14 分 证法 3：令 ，则 ，令 ，得 ，同理得. 以 为直径的圆为 ，令 解得 圆过 11 分 由前，对任意点 ,可得 , 相关试题 2012-2013学年广东省执信中学高二上学期期末考试理科数学试卷（带） （本小题满分 14分） 二次
20、函数 . （ 1）若对任意 有 恒成立，求实数 的取值范围； （ 2）讨论函数 在区间 上的单调性； （ 3）若对任意的 ， 有 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） 当 即 时， 在区间 上单调递增； 当 即 时， 在区间 上单 调递减，在区间 上单调递增； 当 即 时， 在区间 上单调递增 .（ 3） 。 试题分析：（ 1） 对任意 恒成立 1 分 2 分 解得 的范围是 3 分 （ 2） ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为， 4 分 讨论： 当 即 时， 在区间 上单调递增； 当 即 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 当 即 时， 在区间 上单调递增 . 8 分 （ 3）由题知， 9 分 ， ， 由（ 2）， 或 或 12 分 解得 14 分 考点：二次函数的性质。 点评：若 恒成立 ；若 恒成立 。此题中没有限制二次项系数不为零，所以不要忘记讨论。
