1、2012-2013学年广东省揭阳一中南区学校高一上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列四个集合中，空集是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： A.因为方程 无解，所以 = ； B. 中含有一个元素 0，所以不是空集； C. 含有很多元素，所以不是空集； D. 含有一个元素 ，所以不是空集。 考点：集合的表示方法；空集的定义。 点评：空集就是不含任何元素的集合。属于基础题型。 设偶函数 在 上是增函数，则 与 的 大小关系是（ ） A B C D不能确定 答案： B 试题分析：易知 在 单调递减，在 单调递增。又因为偶函数在 上是增函数，所以 ，所以在 上是增函数，在 上
2、是单调递减的，又因为 ，所以 。 考点：函数的奇偶性；对数函数的图像；对数函数的单调性；复合函数的单调性。 点评：本题考查的较为综合，属于中档题。做此题的关键是熟练掌握复合函数单调性的判断方法：同增异减。 函数 与 在同一坐标系中的图像只可能是答案： A 试题分析： 考点：指数函数的图像；对数函数的图像；图像的变换。 点评：函数 的图像关于 y轴对称；函数的图像关于 x轴对称；函数 的图像关于原点对称； 函数 （ 为自然对数的底数）对任意实数 、 ，都有（ ） A B C D 答案： A 试题分析：经验证易知函数 （ 为自然对数的底数）对任意实数 、 ，都有 。 考点：指数函数。 点评：指数函
3、数 满足 ；对数函数满足 。 已知函数 ，则 （ ） A 16 B 8 C -8 D 8或 -8 答案： B 试题分析：因为 ，所以 。 考点：分段函数。 点评：分段函数求值，分段代入，适合那段代那段。 已知集合 A= ， B= . 定义集合 A， B之间的运算 A*B= ，则集合 A*B等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为集合 A， B之间的运算 A*B= ，又 A= ，B= ，所以 A*B= 。 考点：集合的运算；集合的表示方法。 点评：做此类题的关键是快速理解新定义，然后根据新定义做题。 给定映射 f： ，在映射 f下，（ 3， 1）的原像为（ ） A（ 1， 3） B
4、（ 5， 5） C（ 3， 1） D（ 1， 1） 答案： D 试题分析：令 ，所以在映射 f下，（ 3， 1）的原像为（ 1， 1）。 考点：映射的定义；象与原像的定义。 点评：映射可以是一对一，也可以是多对一，但绝不可能是一对多。 函数 的零点所在的大致区间是（ ） A B C 和 D 答案： D 试题分析：因为 ， ，所以函数的零点所在的大致区间是 。 考点：零点存在性定理。 点评：注意 e的值：约为 2.71828.因此 。属于基础题型。 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： A. ，因此不是同一个函数； B.，定义域不同，所以不是同一个函
5、数； C. ，定义域、值域、对应法则都相同，所以是同一个函数。 D. ，所以不是同一个函数。 考点：函数的三要素：定义域、值域、和对应法则。 点评：判断两函数是否为同一函数，关键看三要素，只有三要素：定义域、值域、和对应法则完全相同，才是同一函数，缺一不可。 已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4， M=0， 1， 2， N=2， 3，则（ CM） N= A B C D 答案： B 试题分析：因为全集 U=0， 1， 2， 3， 4， M=0， 1， 2，所以 ,又因为 N=2， 3，所以（ ） N= 。 考点：集合的运算。 点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。 填空题 给出下列四个命题
6、： 函数 与函数 表示同一个函数； 奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点； 函数 的图像可由 的图像向上平移 1个单位得到； 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ； 设函数 是在区间 上图象连续的函数，且 ，则方程在区间 上至少有一实根； 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号） 答案： 试题分析： 因为函数 的定义域为 R，函数 的定义域为 ，所以函数 与函数 不表示同一个函数； 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点，此命题错误，若奇函数在 x=0处没定义，则奇函数的图像就不过原点； 函数 的图像可由 的图像向上平移 1个单位得到；，正确。 因为函数 的定义域为 ，所以 ，所以
7、函数 的定义域为 ； 设函数 是在区间 上图象连续的函数，且 ，则方程在区间 上至少有一实根，正确。 考点：函数的定义；奇函数的性质；图像的变换；抽象函数的定义域；函数零点存在性定理。 点评：此题考查的知识点较多，较为综合，属于中档题。抽象函数的有关问题对同学们来说具有一定的难度，特别是求函数的定义域，很 多同学解答起来总感棘手，鉴于此，我们在学习时要善于总结。 已知 的定义域求 的定义域，其解法是：若 的定义域为 ，则在 中， ，从中解得 x的取值范围即为 的定义域； 已知 的定义域，求的定义域， 其解法是：若 的定义域为 ，则由 确定的 的范围即为 的定义域。 函数 f(x) 2x-5的零
8、点所在区间为 m， m 1（ m N），则 m 答案： 试题分析：因为 f(2) 22-5=-10, f(2) f(3)0,所以函数 f(x) 2x-5在区间 2,3上存在零点，所以 m=2. 考点：函数的零点；零点存在性定理。 点评：零点存在性定理只能判断函数是否存在零点，而不能判断函数零点的个数。要想判断零点的个数，还需要判断函数的单调性。 二次函数 在区间 上是减函数，则实数 k 的取值范围为 答案： 试题分析：当 时， 要满足题意需 ； 当 时， 要满足题意需 ，又 ，所以 。 综上知：实数 k的取值范围为 。 考点：二次函数的单调性。 点评：当二次项的系数不确定时，要想着讨论二次项系
9、数是为 0和为正、为负的情况。本题已经告诉是二次函数了，所以不用讨论 。此题是易错题，容易画蛇添足，讨论 的情况。 计算： 答案： 试题分析： 。 考点：对数的运算法则；换底公式。 点评：一定要记准对数的运算法则，这是做此题的前提条件。属于基础题型。 解答题 （本题满分 12分）计算： （ 1）集合 （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析： (1) .3分 .6分 (2) .10分 .12分 考点：集合的运算；指数幂的运算。 点评：直接考查集合的运算和指数幂的运算，熟练掌握指数幂的运算法则是做此题的前提条件，属于基础题型。 （本题满分 12分）已知函数 . （ 1）设 的定义域为
10、A，求集合 A； （ 2）判断函数 在（ 1， + ）上单调性，并用定义加以证明 . 答案：（ 1） ；（ 2）用定义证明函数单调性的步骤；一设二作差三变形四判断符号五得出结论。 试题分析：（ 1）由 ，得 ， 所以，函数 的定义域为 4 分 （ 2）函数 在 上单调递减 . 6 分 证明：任取 ，设 ， 则 8 分 又 ，所以 故 因此，函数 在 上单调递减 . 12 分 考点：函数定义域的求法；用定义证明函数的单调性。 点评：用定义证明函数单调性的步骤；一设二作差三变形四判断符号五得出结论。尤其是其中的三变形的步骤特别重要，最好变成几个因式乘积的形式。 （本小题满分 14分） 某商店如果将
11、进价为 8元的商品按每件 10元售出，每天可销售 200件，现在提高售价以赚取更多利润已知每涨价 0.5元，该商店的销售量会减少 10件，问将售价定为多少时，才能使每天的利润最大？其最大利润为多少？ 答案：售价定为 每件 14元时，可获最大利润，其最大利润为 720元 试题分析：设每件售价定为 10 0.5x元，则销售件数减少了 10x件 5分 每天所获利润为： ， 故当 x 8时，有 ymax 720 答：售价定为每件 14元时，可获最大利润，其最大利润为 720元 考点：函数的实际应用。 点评：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分
12、重要的建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知 识，确定等量关系； (3) 写出 的式并指明定义域。 （本题满分 14分） 已知函数 （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ， ；（ 2） 8a11。 试题分析：（ 1）由原题条件，可得到 .3分 .6分 （ 2） .9分 函数在定义域上位增函数，即有 3a-249, .12分 解得 a的取值范围为 8a11.14分 考点：有关抽象函数的问题；函数的单调性。 点评：本题主要考查抽象函数的赋值及单调性的灵活应用，要解决抽象函数的有关问题需要牢牢把握所给已知条件及关系式，对式子
13、中的字母准确灵活的赋值，变形构造。 （本小题满分 14分） 已知 ，设 ：函数 在 R上单调递减； ：函数的图象与 x轴至少有一个交点如果 P与 Q 有且只有一个正确，求 的取值范围 答案： 试题分析：函数 在 R上单调递减 ； 函数 的图象与 x轴至少有一个交点， 即 0，解之得 （ 1）若 P正确， Q 不 正确，则 即 6 分 （ 2）若 P不正确， Q 正确，则 即 12 分 综上可知，所求 的取值范围是 14 分 考点：指数函数的单调性；二次函数的性质与图像。 点评：此题主要考查二次函数的性质和指数函数的性质，考查了分类讨论的思想，是一道基础题。 （本题满分 14分）集合 A是由适合
14、以下性质的函数 f(x)构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数 ，都有 . （ 1）试判断 f(x)= x2及 g(x)=log2x是否在集合 A中，并说明理由； （ 2）设 f(x) A且定义域为 (0， +￥ )，值域为 (0， 1)， ，试求出一个满足以上条件的函数 f (x)的式 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） 。 试题分析：（ 1） ， . 2 分 对于 的证明 . 任意 且 ， 即 . 4 分 对于 ，举反例：当 ， 时， ， ， 不满足 . . 6 分 函数 ，当 时，值域为 且 . 8 分 任取 且 ，则 即 . . 14 分 考点：二次函数的性质；对数函数的性质；函数的定义域、值域； 点评：本题中 构造类型 或 为常见，也是做此题的关键，此题难度相对较高。
