1、2012-2013学年广西柳州铁路一中高二上学期第一次月考数学试卷与答案（带解析） 选择题 抛物线 的焦点到准线的距离是（ ） A 1 B 2 C D 答案： C 试题分析：转化为标准形式： ，所以焦点到准线的距离为 。 考点：本题考查本题考查抛物线的性质。 点评：在求抛物线的有关问题时，一定要把方程转化为标准形式。 定义在 R上的函数 满足 ，且若当 时不等式 成立，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意易知函数 是定义在 R上的奇函数且单调递增。因为时不等式 成立，即，所以 ，画出可行域，得 的取值范围是 。 考点：本题考查函数的奇偶性、单调性、有关抽象函数的
2、不等式的解法和线性规划的有关问题。 点评：本题以函数的单调性为载体，求解不等式恒成立时参数的取值范围，着重考查了函数单调性、二元二次不等式表示的平面区域等知识，较为综合，属于中档题 已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，过点的直线与抛物线交于 两点，若 ，则 的值（ ） A B C D 3 答案： B 试题分析：易知抛物线方程为 ，所以 A点坐标为 ，又点 A、 P求出直线 AB的方程为： ，联立方程组： 解得 B的横坐标为 ，由抛物线的定义知 ， ，所以的值为 。 考点：本题考查直线与抛物线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的标准方程。 点评：本题考查直线和抛物线的性质的灵活应用，属于中
3、档题。解题时要认真审题，仔细计算，注意合理地进行等价转化 设点 在直线 上，则当 取得最小值时，函数的图象大致为（ ）答案： B 试题分析： 点 在直线 上， a+3b=2，则 =，当且仅当 时取等号，即 ，所以，根据图像的变换得答案：为 B。 考点：本题考查基本不等式、指数函数的图像及函数的图像变换。 点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题 已知 分别为椭圆 的左、右顶点，点 ，直线 ：与 轴交于点 D，与直线 AC交于点 P若 ，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：在 PBD中，因为 ，所以 PD= ；在
4、PAD中，,即 ，所以 ，又 ，所以 e= 。 考点：本题考查椭圆的基本性质。 点评：解题的关键是利用数形结合的思想分析出 a与 b的关系。求圆锥曲 线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式：（椭圆）和 （双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 已知抛物线 ，点 P在此抛物线上，则 P到直线 和 轴的距离之和的最小值 是（ ） A B C 2 D 答案： D 试题分析：如图由抛物线的定义知：点 P到准线的距离等于点 P到焦点 F的距离，从而 P到 y轴的距离等于 PF-1，过焦点 F作直线 y=2x+3的垂线，此时
5、P到直线 和 轴的距离之和为 |PF|-1最小， F（ 1， 0）， 有点到直线的距离公式最小值为得 。 考点：本题考查抛物线的定义和点到直线的距离公式。 点评：解此题的关键是应用抛物线的定义对抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行灵活转化，解此题最好先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题 已知双曲线 的离心率是 ，其焦点为 ， P是双曲线上一点， 且 ，若 的面积等于 9，则 （ ） A 5 B 6 C 7 D 8 答案： C 试题分析：有题意易知： , ；又在 中，有余弦定理得： ,即，与 联立解得 所以 7. 考点：本题考查双曲线的定义、双曲线的基本性质 与余弦定理。 点评：此题
6、是个中档题。关键是利用余弦定理解双曲线的焦点三角形，解题过程注意整体代换的方法，简化计算 已知直线： 的斜率等于 2，在 轴上的截距为 1，则（ ） A B C 1 D 答案： C 试题分析：由直线： 的斜率等于 2 得， ；由直线：在 轴上的截距为 1，得 ；由两角和的正切公式得1。 考点：本题考查直线方程的基本性质和两角和的正切公式。 点评：直接考查一些基本性质，属于基础题目。 设直线 ： ，圆 ： ，则（ ） A对任意实数 ，直线 恒过定点 B存在实数 ，使直线 与圆 无公共点 C若圆 上存在两点关于直线 对称，则 D若直线 与圆 相交于 两点，则 的最小值是 答案： D 试题分析：由
7、： 得： ，所以过定点，选项 A错。又定点 与圆心的距离为 1小于半径 2，所以定点在圆内，所以选项 B错。若圆 上存在两点关于直线 对称，则直线过圆心，求得m=1,所以选项 C错。当定点为 AB中点时，线段 AB最短，求得 的最小值是 ，所以选项 D对。 考点：本题考查直线系方程、圆的一般式方程以及直线与圆的位置关系。 点评：直线系过定点的求法要当心，一般转化为这种形式，联立 求解即为定点。 已知 为椭圆 的左右焦点， P是椭圆上一点，且 P到椭圆左准线的距离为 10，若 为线段 的中点，则 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： A 试题分析：由椭圆的第二定义知： ，所以 .又由椭
8、圆的第一定义得： 。 在 中， OQ为中位线，所以 1. 考点：本题考查椭圆的定义：第二定义和第一定义以及椭圆的简单性。 点评：注意两种定义的联合应用。 不等式 的解集是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 得： ，解，得。 考点：本题考查对数函数的单调性和对数不等式的解法。 点评：解有关对数不等式一定要注意真数大于 0这个条件。 直线 按向量 平移后与圆 相切，则 的值等于（ ） A 8或 B 6或 C 4或 D 2或 答案： A 试题分析：直线 2x-y+c=0 按向量 平移后所得直线的方程为： 2（ x-1）-（ y+1） +c=0，即 2x-y+c-3=0，若 2x-y+c
9、-3=0与圆 x2+y2=5相切，则圆心（ 0，0）到直线 2x-y+c-3=0的距离等于圆半径，即 ，解得 C=-2，或 C=8故答案：为： -2或 8。 考点：本题考查向 量在几何中的应用、曲线的平移变换法则，直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式。 点评：根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，进而构造关于 x的方程是解答本题的关键 填空题 有下列命题： 若四边形的四边相等 ,则这个四边形一定菱形； 在正方体中，分别是棱 的中点，则直线 与 一定相交，且交点在直线上； 若点 , ，则 的最大值是 ； 若的顶点 A、 B分别是椭圆 两个焦点，且满足 ，则顶点 C的轨迹方程是双曲线 其
10、中所有正确命题的序号是 答案： 试题分析： 四边形有可能是空间四边形； 根据公理 3可知正确； ，所以最大值为 ； 因为 ，所以由正弦定理，容易得到： CB - CA AB。 因为 A、 B分别是椭圆 的左、右焦点，所以 AB为定值，即 AB为定值， 所以点 C的轨迹是以 A、 B为焦点， AB为实轴长的双曲线右半支。 考点：本题考查空间四边形、公理 3、两点间的距离公式、三角函数的最值问题以及双曲线的定义。 点评：如 如果放在同一平面内，则为真命题，在空间中则为假命题，是本题的易忽略点。一般的，在平面上经常见到的说法正确到空 间中不一定成立；在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件：差的
11、绝对值。弄清是指整条双曲线还是双曲线的一支以及是哪一支。 设 为双曲线 的左右焦点，点 P在双曲线的左支上，且的最小值为 ，则双曲线的离心率的取值范围是 答案： 试题分析： 双曲线 (a 0， b 0)的左右焦点分别为 F1， F2， P为双曲线左支上的任意一点， |PF2|-|PF1|=2a， |PF2|=2a+|PF1|， (当且仅当 时取等号 )，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a， |PF2|-|PF1|=2a 2c， |PF1|+|PF2|=6a2c，所以 e （ 1， 3。 考点：本题考查双曲线的简单性质和基本不等式。 点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵
12、活应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。 已知曲线 ： 和曲线 ： 关于直线 对称，直线 经过点 且与直线 平行，则直线 的方程是 答案： 试题分析：把曲线 ： 转化为 ，因为两圆关于直线对称，所以直线 与两圆心的连线垂直，即直线 的斜率为 ，因为直线与直线 平行，所以直线 的方程是 。 考点：本题考查圆的参数方程，直线方程的点斜式及 两直线平行的充要条件。 点评： 若实数 满足 ，则 的最小值为 答案： 试题分析：画出可行域，找出满足条件的点，即可得 的最小值为 -3. 考点：本题考查本题考查线性规划的一些基础知识。 点评：对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标
13、函数除了我们常见的 这种形式外，还有常见的两种： ，第一种的几何意义为：过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点 与点 (a,b)的距离。 解答题 已知直线 ： ，直线 ： 若 ，求的取值范围 答案： 。 试题分析：由 ， ， ， 当 时， ，当 时， ，即 的取值范围是 考点：本题考查两直线垂直的充要条件和基本不等式。 点评：应用基本不等式时，要注意前提条件：一正二定三相等。本题中没有告诉 ，因此要想着讨论 a的取值。 （ ）已知双曲线 C与双曲线 有相同的渐近线，且一条准线为，求双曲线 C的方程； （ ）已知圆截 轴所得弦长为 6，圆心在直线 上，并与 轴相切，求该圆的方程
14、 答案：（ ） ；（ ） 或 试题分析：（ ）由题设双曲线 C的方程为 ，则， 双曲线 C的方程为 ； （ ）由题设圆的方程为 ，则 ， 圆的方程为 或 考点：本题考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质以及圆的方程。 点评：已知渐近线方程为 ，则可设渐近线方程为；与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为：。 已知抛物线 的准线与 x轴交于点 Q （ ）若过点 Q的直线 与抛物线有公共点，求直线 的斜率的取值范围； （ ）若过点 Q的直线 与抛物线交于不同的两点 A、 B，求 AB中点 P的轨迹方程 答案：（ ） ；（ ） （夹在抛物线 内的部分）。 试题分析：（ ）由已知 ，直线 斜率存在，设其方
15、程为 ， 由 ，故： 或 ； （ ）设 ，则由 ， ， 即点 P的轨迹方程是 （夹在抛物线 内的部分）。 考点：本题考查直线与抛物线的位置关系。 点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题常需设出直线方程与抛物线方程联立，利用判别式求得问题的答案：，但别忘记讨论二次项系数。 已知函数 ，其中 为非零常数 （ ）解关于 的不等式 ； （ ）若当 时，函数 的最小值为 3，求实数 的值 答案：（ ）当 时， ；当 时， 。（ ）。 试题分析：（ ）不等式 即为 当 时，不等式为 ，不等式的解集为 当 时，不等式为 ，不等式的解集为 （ ） ， ，当且仅当 时取等号， 即 考点
16、：本题考查分式不等式的解法、含参不等式的解法以及对号函数的最值问题。 点评：解含参数的不等式，常用的数学思想是分类讨论。分类讨论的主要依据是： 二次项系数的正负； 两根的大小； 判别式 的正负。 已知 为双曲线 的左、右焦点 （ ）若点 为双曲线与圆 的一个交点，且满足 ，求此双曲线的离心率； （ ）设双曲线的渐近线方程为 ， 到渐近线的距离是 ，过 的直线交双曲线于 A， B两点，且以 AB为直径的圆与 轴相切，求线段 AB的 长 答案：（ ） ； （ ） 。 试题分析：（ ）由题设得： ，又, ，故离心率 （ ） 双曲线的渐近线方程为 ， 到渐近线的距离是 ， ，双曲线方程为 ， ，离心率
17、 ， 设 ， ，同理 ， 以 AB为直径的圆与 轴相切， ， 考点：本题考查双曲线的基本性质、双曲线方程的求法以及直线与双曲线的综合问题。 点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法 已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点 B恰好是抛物线的焦点，且离心率等于 ，直线 与椭圆 C交于 M， N两点 （ ）求椭圆 C的方程； （ ）椭圆 C的右焦点 F是否可以为 的垂心？若可以，求出直线 的方程；若不行，请说明理由 答案：（ ）
18、 ；（ ） 。 试题分析：（ ）设椭圆 C的方程： ， 由题意 知 ， 椭圆 C的方程为： （ ）假设存在这样的直线 ，使得 是 的垂心，直线 BF的斜率为， 从而直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 ， 由 ，设 则 ，且 ， ，解得 或 当 时点 B为直线 与椭圆的一个交点，不合题意舍去； 当 时，直线 与椭圆相交两点，且满足题意； 综上可知直线 的方程为 时，椭圆 C的右焦点 F是可以为 的垂心 。 考点：本题考查椭圆的基本性质、椭圆方程的求法以及直线与圆锥曲线的综合问题。 点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及存在性问题的做法，为圆锥曲线的常规题，应当掌握。考查了学生综合分析问题的能力，知识的迁移能力以及运算能力。解题时要认真审题，仔细分析。
