1、2012-2013学年江苏省东台市唐洋中学高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 曲线 在点（ 0,1）处的切线方程为 。 答案： 试题分析：因为 ，所以， ，曲线 在点（ 0,1）处的切线的斜率为 3，故曲线 在点（ 0,1）处的切线方程为 。 考点：不本题主要考查导数的几何意义，直线方程的点斜式。 点评：解答题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。 设 ，函数 ，若对任意的 ，都有成立，则实数 的取值范围为 . 答案： 试题分析： g（ x） =x-lnx g（ x） =1- ， x 1， e， g（ x） 0 函数 g（ x）单调递增， g（ x）的最大值为 g（ e）
2、=e-1； f（ x） =x+ ， f（ x） = ，令 f（ x） =0 a 0 x=a， 当 0 a 1 f（ x）在 1， e上单调增 f（ 1） 最小 =1+a2e-1 1 ， 当 1ae 列表可知 f（ a） 最小 =2ae-1 恒成立 当 a e时 f（ x）在 1， e上单调减 f（ e） 最小 = e-1 恒成立，综上。 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值。 点评：中档题，在某区间，导函数值非负，则函数为增函数；导函数值非正，则函数为减函数。不等式恒成立问题，常常转化成求函数的最值问题。 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如
3、图为一组蜂巢的截面图 . 其中第一个图有 1个蜂巢，第二个图有 7个蜂巢，第三个图有 19个蜂巢，按此规律，以 表示第 幅图的蜂巢总数 .则 =_; =_. 答案：， 试题分析：由于 f（ 2） -f（ 1） =7-1=6， f（ 3） -f（ 2） =19-7=26， f（ 4） -f（ 3） =37-19=36， f（ 5） -f（ 4） =61-37=46， 因此，当 n2时，有 f（ n） -f（ n-1） =6（ n-1）， 所以 f（ n） =f（ n） -f（ n-1） +f（ n-1） -f（ n-2） +f （ 2） -f（ 1） +f（ 1）=6（ n-1） +（ n-2）
4、 +2+1+1=3n 2-3n+1 又 f（ 1） =1=312-31+1，所以 f（ n） =3n2-3n+1 当 n=4时， f（ 4） =342-34+1=37 故答案：为： 37； 3n2-3n+1 考点：本题主要考查归纳推理。 点评：中档题，归纳推 理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。 已知复数 ，它们在复平面上所对应的点分别为 A， B， C，若 ，则 的值是 。 答案： 试题分析：依题意三点的坐标分别为 A（ -1， 2）， B（ 1， -1）， C（ 3， -4） 则由 得（ 3， -4） =（ -1
5、， 2） +（ 1， -1）， 因此 ，解得， ，所以 +=1 考点：本题主要考查复数的几何意义，平面向量的坐标运算，向量相等的条件。 点评：典型题，本题具有一定综合性，从复数对应的点，得到向量的坐标，利用向量相等的条件，建立 的方程组。 对大于或等于 的自然数 的 次方幂有如下分解方式： 根据上述分解规律，则 , 若 的分解中最小的数是73，则 的值为 . 答案： 试题分析：根据 23=3+5， 33=7+9+11， 43=13+15+17+19， 从 23起， m3的分解规律恰为数列 3， 5， 7， 9，若干连续项之和， 23为前两项和，33为接下来三项和， 故 m3的首数为 m2-m+
6、1。 m3（ m N*）的分解中最小的数是 73， m2-m+1=73， m=9故答案：为 9 考点：本题主要考查归纳推理，等差数列通项公式。 点评：中档题，归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。 在复平面内，复数 对应的点到直线 的距离是 答案： 试题分析：因为， = ，所以其对应的点为（ 1,1），到直线的距离是 。 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的几何意义，点到直线的距离公式。 点评：小综合题，难度不大，思路明确。复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 已知函数 的定义域为
7、，部分对应值如表 , -1 0 2 4 5 1 2 1 2 1 的导函数 的图象如图所示 . 下列关于 的命题： 函数 的极大值点为 ， ； 函数 在 上是减函数； 当 时，函数 有 个零点； 函数 的零点个数可能为 0、 1、 2、 3、 4个 其中正确命题的序号是 答案： 试题分析：从图中可以看出，驻点有 0， 2， 4，随 x 增大，导函数值由正变负，则函数取到极大值，导函数值由负变正，则函数取得极小值，故 函数 的极大值点为 ， ；正确。 在 0,2导函数值为负数，所以， 函数 在 上是减函数；正确。 根据以上分析，函数的极大值有两个均为 2，极小值为 1，这样将有四个交点，所以 当
8、时，函数 有 个零点；正确。 函数 的零点个数可能为 0、 1、 2、 3、 4 个不正确。综上知，答案：为 。 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值，函数的图象和性质。 点评：中档题，本题主要考查函数的图象和性质，应用导数研究函数的单调性、极值，难度不大，但考查知识点多，突出了对基础知识、基本方法的考查。 已知 ， 是 的共轭复数，则 答案： 试题分析：因为， =-i,所以， =i，。 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念。 点评：简单题， 等结论，在复数的运算中要注意灵活应用。 已知函数 ( )，当 时函数 的极值为 ，则 答案： 试题分析： ， f（ x） =x2+2
9、 x+a， 又 函数 ，在 x=-1处有极值为 , f（ -1） =1-2 +a=0， f（ -1） = -a +a2+b= 注意到 解得： a=1,b= f（ x） = x3+x2+x+ ,故 考点：本题主要考查应用导数研究函数的极值，待定系数法。 点评：中档题，本题综合考查导数计算，应用导数研究函数的极值，利用待定系数法求函数式。突出了对基础知识的考查，不偏不怪。 若 是等比数列， 是互不相等的正整数，则有正确的结论： 类比上述性质，相应地，若 是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论： . 答案： 试题分析：等差数列中的 bn和 可以类比等比数列中的 bn和 am， 等差数列中的
10、可以类比等比数列中的 ， 等差数列中的 “差 ”可以类比等比数列中的 “商 ” 猜想 m（ ap-an） +n（ am-ap） +p（ an-am） =0， 故答案：为 m（ ap-an） +n（ am-ap） +p（ an-am） =0 考点：本题主要考查类比推理。 点评：简单题，等差数列类比等比数列的类比推理，类比推理一般步骤： 找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性 用等比数列的性质去推测物等差数列的性质，得出命题（或猜想）。 设 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为 . 答案： (7, ) 试题分析：欲使当 时， 恒成立，只需 成立。 因为， ，所以，令 =0得，。计算得，
11、，故实数的取值范围为 (7, )。 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值，不等式成立问题。 点评：中档题，不等式的恒成立问题，往往转化成函数的最值问题。恒成立，须 成立。 若 上是减函数，则 的取值范围是 _. 答案： 试题分析： f(x)=-x+ f（ x）在区间（ -1， +）上是减函数， f(x)=-x+ 0在区间（ -1， +）上恒成立 bx2+2x在区间（ 1， +）上恒成立 x2+2x= -1 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及最值。 点评：典型题，此类题目属于导数的基本应用问题，本题将函数在某区间是减函数，转化成不等式恒成立问题，通过求函数的最值，达到解题目
12、的，是一般解法。 复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于第 象限 答案： 试题分析：因为， ，所以， ，在复平面内对应的点位于第一象限 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的几何意义。 点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 观察下列等式： , , , , 照此 规律， 计算 （ ） . 答案： 试题分析：观察下列等式： , , 可知，右端是乘积式，共四个因子 ， n， n+1，n+2.故 。 考点：本题主要考查归纳推理。 点评：归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，归纳推理的前提是其结论的必要条件。 解答题 已知向量 = ，变换 T的矩阵为
13、A= ，平面上的点 P（ 1， 1）在变换 T作用下得到点 P（ 3， 3），求 A-1 . 答案： 试题分析：由 = ，所以 1+b=3， c+1=1，所以， b=2,c=0, A=, ， A-1 = 考点：本题主要考查矩阵的计算，矩阵变换， 点评：简单题，矩阵属于选考内容，难度一般不大，注意掌握基本都是运算方法及矩阵变换方法。 观察数表 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 求：（ 1）这个表的第 行里的最后一个数字是多少？ （ 2）第 行各数字之和是多少？ 答案：（ 1）第 行的最后一个数字是 （ 2） 试题分析：（ 1）每行的最后一个数字构成等差数列 ，故第
14、 行的最后一个数字是 （ 2）第 行的第 1个数字为 ，第 行的各数字构成等差数列，共 个数，其和为 考点：本题主要考查归纳推理，等差数列的求和公式。 点评：中档题，归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。归纳推理问题，往往与数列知识相结合，需要综合应用数列的通项公式、求和公式等求解。 设 f(n) 1 (n N*) 求证： f(1) f(2) f(n-1) n f(n)-1(n2， n N*) 答案：应用数学归纳法 试题分析： 当 n 2时，左边 f(1) 1， 右边 21 -1 1， 左边右边，等 式成立 假设
15、 n k时，结论成立，即 f(1) f(2) f(k-1) kf(k)-1， 那么，当 n k 1时， f(1) f(2) f(k-1) f(k) kf(k)-1 f(k) (k 1)f(k)-k (k 1)f(k 1)- -k (k 1)f(k 1)-(k 1) (k 1)f(k 1)-1， 所以当 n k 1时结论仍然成立 所以 f(1) f(2) f(n-1) nf(n)-1(n2， n N*) 考点：本题主要考查数学归纳法。 点评：中档题，利用数学归纳法，注意遵循 “两步一结 ”。对数学式子变形能力要求较高。 已知复数 是纯虚数。 （ 1）求 的值； （ 2）若复数 ，满足 ，求 的最
16、大值。 答案：（ 1） ；（ 2） 的最大值是 3。 试题分析：（ 1）方法一： 3分 7分 方法二： 即 3分 解得 7分 （ 2）由（ 1）知， 设 由 ，得： 即 （） 10分 所以 ， 12分 由（）得： ，即 ， 所以 ，所以 的最大值为 3。 14分 或 直接由式子 得复数 的几何意义是以（ 0， 2）为圆心， 1为半径的圆， 此圆上的点到原点的距离的最大值是 3，所以 的最大值是 3。 14分 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念，复数模的几何意义。 点评：中档题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。复数模的几何意义，往往与圆有关，故与圆一起综合
17、考查。 二阶矩阵 M对应的变换将点 与 分别变换成点 与 . ( )求矩阵 M的逆矩阵 ； ( )设直线 在变换 M作用下得到了直线 ： ，求直线 的方程 答案： ( ) = ； ( ) . 试题分析：（ ）设 ，则有 = ， = ， 所以 ，且 ，解得 所以 M= ，从而|M|=-2， 从而 M-1= 。 （ ）因为 = ，且 m： 2x-y=4，所以 2（ x+2y） -（ 3x+4y） =4，即 x+4=0为直线 l的方程。 考点：本题主要考查逆矩阵与投影变换，直线方程等。 点评：中档题，由已知二阶矩阵 M对应的变换将点（ 1， -1）与（ -2， 1）分别变换成点（ -1， -1）与（
18、 0， -2）可构造关于 a， b， c， d的四元一次方程组，解方程组可得矩阵 M，进而得到矩阵 M的逆矩阵 M-1。 已知函数 （ 1）若对任意的 恒成立，求实数 的最小值 . （ 2）若 且关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； （ 3）设各项为正的数列 满足： 求证： 答案：（ 1） ； （ 2） ； （ 3） 试题分析：（ I）依题意，对任意的 恒成立，即在 x 1恒成立则 a . 而 0，所以， 在 是减函数， 最大值为 1，所以， ，实数 的最小值。 （ II）因为 ，且 在 上恰有两个不相等的实数根， 即 在 上恰有两个不相等的实数根， 设 g（ x）
19、 = ，则 g（ x） =列表： X (0, )( ,2) 2 (2,4) + 0 - 0 + 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以， g（ x）极大值 =g（ ） = -ln2-b， g（ x）极大值 =g（ 2） =ln2-b-2， g（ 4） =2ln2-b-1 因为，方程 g（ x） =0在 1， 4上恰有两个不相等的实数根 则 ，解得 （ III）设 h（ x） =lnx-x+1， x 1， +），则 h（ x） = -10 h（ x）在 1， +）为减函数，且 h（ x） max=h（ 1） =0，故当 x1时有lnxx-1 a1=1，假设 ak1（ k N*），则 ak+1=lnak+ak+2 1，故 an1（ n N*） 从而 an+1=lnan+an+22an+1 1+an+12（ 1+an） 2 n（ 1+a1） 即 1+an2n， an2n-1 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极（最）值，研究函数的图象和性质，数列不等式的证明。 点评：难题，不等式恒成立问题，常常转化成求函数的最值问题。（ II）（ III）两小题，均是通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），认识函数图象的变化形态等，寻求得到解题途径。有一定技巧性，对学生要求较高。
