1、2012-2013学年江苏省沭阳县高二下学期期中调研测试理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 若集合 ，则实数 答案： 试题分析：根据题意，由于集合 ，那么可知 3是集合 A中的元素，故可知 m=3，因此答案：为 3. 考点：交集 点评：主要是考查了集合的交集的运算，属于基础题。 设不等式 对任意正整数 都成立，则实数 的取值范围是 答案： - p 1+ 试题分析：根据题意，由于不等式 对任意正整数 都成立，可知 结合二次函数图形可知，当 x=0 时，则函数值大于零，同时根据二次函数的最小值大于等于零即可，对于对称轴要讨论正负，分情况得到结论。故可知为 1- p 1+ 。 考点：不等式的恒成立
2、 点评：主要是考查了对于恒成立问题的转换与化归思想的运用，属于基础题。 设二次函数 的值域为 ，则 的最小值为 答案： 试题分析：解： 二次函数 f（ x） =ax2+2x+c（ x R）的值域为 0， +）， a 0， =4-4ac=0， a 0， c 0， ac=1则可知当 最小时，则可知 最小，根据 时，则有的最小值为 。 考点：二次函数的性质 点评：本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题 观察下列等式： ， ， ， ， 由以上等式推测到一个一般的结论： 对于 ， 答案： 试题分析：通过观察类比推理方法结论由二项构成，第二
3、项前有（ -1） n，二项指数分别为 24n-1， 22n-1。 解：结论由二项构成，第二项前有（ -1） n，二项指数分别为 24n-1， 22n-1，因此对于 n N*，故答案：为 考点：类比推理 点评：本题考查观察、类比、归纳的能力 给出下列命题： 在区间 上，函数 , , , 中有三个是增函数； 若 ，则； 若函数 是奇函数，则的图象关于点 对称； 函数 有 2个零点其中正确命题的序号为 答案： 试题分析：根据题意，由于 在区间 上，函数 , , ,中有三个是增函数；显然错误，因为 是减函数，错误，对于 若，则 0mn1；应该是 0nm1,故错误。对于 若函数是奇函数，则 的图象关于点
4、 对称；成立，对于 函数有 2个零点，结合图像法可知成立。故填写 考点：命题的真假 点评：本题考查命题的真假判断和应 用解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化 整数的数对列如下 :(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),(1,5),(2,4),则第 61个数对是 答案： 试题分析：我们可以在平面直角坐标系中，将：（ 1， 1）、（ 1， 2）、（ 2，1）、（ 1， 3）、（ 2， 2），（ 3， 1），（ 1， 4），（ 2， 3），（ 3， 2），（ 4，1）， ，按顺序连线，然后分析这些点的分布
5、规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第 60个数对解：我们在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如下图示： 有（ 1， 1）为第 1项，（ 1， 2）为第 2项，（ 1， 3）为第 4项， （ 1， 11）为第 56项，因此第 60项为（ 5， 7）则可知第 61个数对是（ 6， 6）故答案：为：（ 6， 6） 考点：归纳推理 点评：本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 且 ，则实数 m的值为 答案：或 -3 试题分析：根据题意，令 x=1，可知等式左边为 =，而 =1，
6、可知为 =64，则可知 m的值为 1，或 -3，故答案：为 1或 -3 考点：二项式定理 点评：赋值法的运用是二项式定理在求解系数和中常用的方法，要熟练掌握，属于基础题。 设 ,若函数 在区间 上是增函数，则的取值范围是 答案： 试题分析：根据题意，由于函数 在区间 上是增函数，则说明其导数恒大与等于零，即，故可知 考点：函数单调性 点评：主要是考查了函数的单调性，以及导数于函数单调性关系的 运用，属于基础题。 对于大于 1的自然数 的 n次幂可用奇数进行如图所示的 “分裂 ”，仿此，记的 “分裂 ”中最小的数为 ，而 的 “分裂 ”中最大的数是 ，则 答案： 试题分析：根据所给的数据，不难发
7、现：在 n 中所分解的最大的数是 2n-1；在n 中，所分解的最小数是 n2-n+1根据发现的规律，则 6 中，最大数是 62-1=11； 6 的 “分裂 ”中最小数是 31，最后求 a+b解： 6 =1+3+5+7+9+11， 6 =21+23+25+27+29+31， 6 中，最大数是 62-1=11； 6 的 “分裂 ”中最小数是 31，则则 a=31， b=11 a+b=42，故答案：为： 42 考点：探究题型，数列的知识 点评：此题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解规律为：在 n2中所分解的最大的数是 2n-1；在 n3中，所分解的最小数是n2-n+1 的展开
8、式的常数项是 （用数字作答） 答案： -20 试题分析：根据题意，由于 的展开式令 6-2r=0,r=3，可知第四项是常数项，且为 ，故答案：为 -20. 考点：二项式定理 点评：主要是考查了二项式定理展开式的通项公式的运用，属于基础题。 用反证法证明命题 “若 ，则 或 ”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是 “ ”. 答案：假设 试题分析：根据题意，由于命题 “若 ，则 或 ”时，即假设结论不成立，而结论 或 ”，根据复合命题的否定可知为假设，故答案：为假设 。 考点：反证法 点评：主要是考查了反证法来证明一个命题，首先否定结论，在假设的前提下得到矛盾，来证明，属于基础题。 设在 12 个
9、同类型的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以 表示取出次品的个数 ,则 的期望值 = 答案： 试题分析：由题意，相当于从有 2个次品的 12个同类型的零件中取 3个，取出次品的个数可能为 0、 1、 2套公式即可 , ，则根据期望公式可知其值 的期望值 = ，故答案：为 。 考点：超几何分布 点评：此题是典型的超几何分布，主要考查学生的计算能力 某校开设 9门课程供学生选修，其中 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修 4门，共有 种不同选修方案。（用数值作答） 答案： 试题分析：解： A， B， C三门由于上课时间相同，至多选一门，
10、第一类 A，B， C三门课都不选，有 C73=35种方案；，第二类 A， B， C中选一门，剩余 7门课中选两门，有 C31C72=63种方案， 根据分类计数原理知共有 35+63=98种方案，故答案：为 75. 考点：分类计数问题 点评：本题考查分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果 已知 “凡是 9的倍数的自然数都是 3的倍数 ”和 “自然数 是 9的倍数 ”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是 答案：自然数 是 3的倍数 试题分析：根据题意，大前提是 “凡是 9的倍数的自然数都是 3的倍数 ”，小
11、前提是 “自然数 是 9的倍数 ”，那么可知结论为自然数 是 3的倍数。 考点：三段论的运用 点评：主要是考查了演绎推理的三段论形式的理解和运用，属于基础题。 解答题 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律。下图是一个 11阶杨辉三角： （ 1）求第 20行中从左到右的第 4个数； （ 2）若第 n行中从左到右第 14个数与第 15个数的比为 ，求 n的值； （ 3）求 n阶（包括 0阶）杨辉三角的所有数的和； （ 4）在第 3斜列中，前 5个数依次为 1， 3， 6， 10， 15；第
12、 4斜列中， 第 5个数为 35。显然， 1+3+6+10+15=35。事实上，一般地有这样的结论：第 m斜列中（从右上到左下）前 k个数之和，一定等于第 m+1斜列中第 k个数。试用含有 m、 k 的数学公式表示上述结论，并给予证明。答案：（ 1） 1140（ 2） 34（ 3） （ 4）根据组合数的性质一和二来推理论证得到结论。 试题分析：解：（ 1） 4分 （ 2）由 8分 （ 3） 12分 （ 4） 14分 证明： 16分 考点：组合数的运用 点评：主要是考查了组合数公式以及其性质的运用，证明等式成立，属于基础题。 经市场调查：生产 某产品需投入年固定成本为 3万元，每生产 万件，需另
13、投入流动成本为 万元，在年产量不足 8 万件时， （万元），在年产量不小于 8万件时， （万元） . 通过市场分析，每件产品售价为 5元时，生产的商品能当年全部售完 . （ 1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数式； （注：年利润 =年销售收入 固定成本 流动成本） （ 2）年产量为多少万件时 ,在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ ） 6分 当 时 10分 当 当且仅当 14分 16分 考点：函数的模型的运用 点评：主要是考查了运用代数的关系式来研究实际生活中的利润函数的最值问题，属于基础题。 设关于正整数 的函数 （ 1）
14、求 ； （ 2）是否存在常数 使得 对一切自然数 都成立？并证明你的结论 答案：（ 1） ， ， （ 2）根据数学归纳法思想，先利用特殊值来得到参数的 a,b,c的值，然后对于解题的结果运用数学归纳法加以证明。 试题分析：解：（ 1） ， ， 3分 （ 2）假设存在 a,b,c使题设的等式成立，这时， n=1,2,3得 6分 于是，对 n=1,2,3下面等式成立： 8分 记 假设 n=k时上式成立，即 10分 那么 也就是说，等式对 n=k+1也成立 3分 综上所述，当 a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数 n成立 14分 考点：数学归纳法的运用 点评：主要是考查了运用数学归纳
15、法证明与自然数相关的命题，以及归纳猜想思想的运用。属于中档题。 某学生在上学路上要经过 4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟 . 设这名学生在路上遇到红灯的个数为变量 、停留的总时间为变量 ， （ 1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （ 2）这名学生在上学路上遇到红灯的个数至多是 2个的概率 . （ 3）求 的标准差 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：解（ 1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件 A等于事件 “这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口
16、遇到红灯 ”，所以事件 A的概率为 4分 （ 2）设这名学生在上学路遇到红灯的个数至多是 2个为事件 B，这名学生在上学路上遇到红灯的个数 . 则由题意： 这名学生在上学路遇到红灯的个数至 多是 2个的概率为 . 10分 （ 3） ， ， 12分 ， ， 14分 考点：二项分布 点评：主要是考查了独立事件的概率以及二项分布的期望值和方差的求解运用，属于中档题。 已知复数 ，其中 ， ， 为虚数单位，且 是方程 的一个根 （ 1）求 与 的值； （ 2）若 （ 为实数），求满足 的点 表示的图形的面积 答案：（ 1） = ， a= （ 2） 试题分析：解：（ 1）由方程 x +2x+2=0得 x
17、=-1i 2分 z=-1+I 4分 又 z=(a -4 )+2( +1)i 6分 a （ 0， + ）， = ， a= 8分 （ 2） 10分 ，表示以 为圆心， 为半径的圆， 12分 面积为 14分 考点：复数的概念和几何意义的运用 点评：解决的关键是利用复数的概念和相等得到求解，同时根据两点的距离公式来得到轨迹方程进而求解面积，属于中档题。 设函数 . （ 1）讨论 的奇偶性； （ 2）当 时，求 的单调区间； （ 3）若 对 恒成立，求实数 的取值范围 答案： (1)当 a=0是偶函数；当 a 0时函数 f(x)为非奇非偶函数 (2) 原函数的减区间为（ - ， ），增区间为（ ， +
18、）； (3) 试题分析：解：（ 1） i)当 a=0时： f(x)=x + f(-x)=(-x)+ =x + =f(x) 函数 f(x)为偶函数 3分 ii)当 a 0时： f(1)=1+ ,f(-1)=1+ 若 f(1)=f(-1)，则 1+ =1+ 从而 a=0,舍去； 若 f(1)=-f(-1)，则 + =-2从而 a f(1) f(-1)， 函数 f(x)为非奇非偶函数 6分 （ 2）当 a=2时： f(x)=x + = 原函数的减区间为（ - ， ），增区间为（ ， + ）； 10分 （ 3） x (-1,3) f(x)10可变为 x -10a-x 10-x 即 对（ *）：令 g(x)= x +x-10,其对称轴为 对 令 由 、 知： 16分 考点：函数性质的综合运用 点评：主要是考查了函数奇偶性和单调性以及函数的最值的运用，属于基础题。
