1、2012-2013学年江苏省涟水中学高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 三段论推理： “ 正方形是平行四边形， 平行四边形对边相等， 正方形对边相等 ”，其中小前提是 _（写序号） 答案： 试题分析：任何三段论都必须具有大、小前提和结论，缺少任何一部分就无法构成三段论推理。在三段论推理： “ 正方形是平行四边形， 平行四边形对边相等， 正方形对边相等 ”中，平行四边形对边相等，是大前提，正方形是平行四边形，是小前提。故答案：为 。 考点：本题主要考查三段论推理。 点评：简单题，任何三段论都必须具有大、小前提和结论，缺少任何一部分就无法构成三段论推理。在具体的语言表述中，常常
2、把三段论中的某些部分省去不说。 把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大顺序排成一列，得到一个数列 ，若 ，则 _. 1 1 2 3 4 2 4 5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36 . . 图甲 图乙 答案： 试题分析：图乙中第 k行有 k个数，第 k行最后的一个数为
3、 k2，前 k行共有个数， 由 4444=1936， 4545=2025知 an=2013出现在第 45行，第 45行第一个数为1937，第 +1=39个数为 2013，所以 n= +39=1029 考点：本题主要考查归纳推理，等差数列的求和公式。 点评：中档题，归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）解答本题的关键是认识图乙中第 k行有 k个数，第 k行最后的一个数为 k2，前 k行共有 个数。 已知命题： “若数列 是等比数列，且 ，则数列也是等比数列，类比这一性质，等差数列也有类似性质：“若数列 是等差
4、数列，则数列 _也是等差数列 . 答案： 试题分析：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是： 若数列 an是等差数列，则数列 bn= 也是等差数列 证明：设等差数列 an的公差为 d， 则 bn= = =a1+ (n-1)， 所以数列 bn是以 a1为首项， 为公差的等差数列 考点：本题主要考查类比推理，等差数列、等比数列的基础知识。 点评：类比推理的一般步骤是：（ 1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（ 2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）等差数列与等比数列有很多地方相似，因此可以类比等比数列的性质猜想等差数列的性质，因此几何平均数与算术平均数正
5、好与等比数列的二级运算及等差数列的一级运算可以类比，因此我们可以大胆猜想，数列 bn=也是等差 数列 设 是从 -1,0,1这三个整数中取值的数列，若 ，则 中 1的个数为 _ 答案： 试题分析：因为， ， 所以 a12+a22+a 502+2（ a1+a2+a 50） +50=107， a12+a22+a 502=39， 又因为， 是从 1、 0、 -1这三个整数中取值，所以， 50项中 0的个数为 50-39=11；即 中有 11个 1,而由 107-11=96=424， 故 中 1的个数为 24. 考点：本题主要考查数列的前 n项和的概念，两数和的平方公式。 点评：中档题，认真审题，去伪
6、存真，注意分析中个相当数字特征 1,0,4. 考察下列式子： ，得出的一般性结论为 _ 答案： 试题分析：由 1=12=（ 21-1） 2； 2+3+4=32=（ 22-1） 2； 3+4+5+6+7=52=（ 23-1） 2； 4+5+6+7+8+9+10=72=（ 24-1） 2； 由上边的式子可以得出：第 n个等式的左边的第一项为 n，接下来依次加 1，共有 2n-1项，等式右边是 2n-1的平方， 从而我们可以得出的一般性结论为： n+（ n+1） + （ 2n-1） + （ 3n-2） =（ 2n-1） 2（ n N*）。 考点：本题主要考查归纳推理。 点评：归纳推理的一般步骤是：（
7、 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）解题时要注意观察，善于总结 把 5个不同的小球放到 4个不同的盒子中，保证每个盒子都不空，不同的放法有 _种 . 答案： 试题分析：由题意，将 5个不同的小球分为 4组，分法有 C52=10，故总的放法种数有 10A44=240. 考点：本题主要考查简单排列组合应用问题，计数原理。 点评：易错题，解题的关键是理解题意将此问题分为两步求解，先分组，再排列。 5个人排成一行，其中甲不站排头且乙不站排尾的方法有 _种 . 答案： 试题分析： 甲不在排头，乙不在排尾的否定包含三种情况： 甲在头且乙在尾
8、有 A33， 甲在头且乙不在尾 A31 A33， 甲不在头且乙在尾 A31 A33， 由题意得： A55- A33-A31 A33- A31 A33=78，故答案：为 ,78 考点：本题主要考查简单排列应用问题，计数原理。 点评：易错题，对于特殊元素、特殊位置问题，往往首先从特殊元素、特殊位置入手。由 “直接法 ”“间接法 ”两种思路。本题解法采用的是 “间接法 ”。 若 为纯虚数，则 _ 答案： 试题分析：因为， ，而其为纯虚数， 所以， =0， 。 考点：本题主要考查复数的代数运算，纯虚数的概念。 点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 用数学归纳法证
9、明 ，从 k到 k+1，左边需要增乘的代数式为 _ 答案： （ 2(2k+1)也可） 试题分析：当 n=k时，左边等于 （ k+1）（ k+2） （ k+k） =（ k+1）（ k+2） （ 2k）， 当 n=k+1时，左边等于 （ k+2）（ k+3） （ k+k）（ 2k+1）（ 2k+2）， 故从 “k”到 “k+1”的证明，左边需增添的代数式是 =2（ 2k+1）， 故答案：为 或 2（ 2k+1）。 考点：本题主要考查用数学归纳法证明等式的方法步骤。 点评：简单题，注意分析从 “k”到 “k+1”的变化规律，用 n=k+1时左边的式子，除以 n=k时左边的式子，即得所求。 从 4名男
10、生 4名女生中选 3位代表，其中至少两名女生的选法有 _ 种 . 答 案： 试题分析：分两类，一是两名女生， =24种，二是三名女生， =4种，故至少两名女生的选法有 28种 . 考点：本题主要考查组合知识的应用。 点评：简单题，注意利用分类计数原理，结合组合数公式计算。 复数 的共轭复数是 _ 答案： 试题分析：因为， = = ，所以，复数 的共轭复数是。 考点：本题主要考查复数的代数运算，共轭复数概念。 点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 一个正方体的六个面上分别标有 A,B,C,D,E,F，下图是正方体的两种不同放置，则与 D面相对的面上的字母是
11、 _ 答案： F 试题分析：根据两个图形的字母，结合模型，可推断出来， A对面是 C； B对面是 E；则与 D面相对的面上的字母是 F 考点：本题主要考查正方体的几何特征，推理判断能力。 点评：简单题，结合模型作出判断。 命题： “三角形中最多只有一个角是钝角 ”的否定是 _ 答案：三角形中至少有两个角是钝角 试题分析：命题中含有量词 “最多 ”，书写否定是用的量词是 “至少 ”。命题 “三角形中最多只有一个内角是钝角 ”的结论的否定是 “至少有两个内角是钝角 ”，故答案：为三角形中至少有两个角是钝角。 考点：本题主要考查命题及其否定。 点评：简单题，解题的关键是掌握理解命题的否定的书写规则，
12、命题中含有量词最多，书写否定是用的量词是至少。 集合 中任选两个不同元素作为点的坐标，共有 _个不同的点 . 答案： 试题分析：确定点的坐标分两步，即，第一步确定横坐标，由 4种方法；第二步，确定纵坐标，从余下的 3个数字中选取，有 3种方法，故共有 12个不同的点 . 考点：本题主要考查计数原理。 点评：简单题，计数原理包括分步计数原理、分类计数原理，应用是要注意理清题意，正确选用。 解答题 是否存在实数 使得关于 n的等式成立？若存在，求出 的值并证明等式，若不存在，请说明理由 . 答案： a=1,b=2或 a=2,b=1。数学归纳法证明。 试题分析：假设存在满足条件的实数 a,b 2分
13、由 n=1,2等式成立解得 a=1,b=2或 a=2,b=1 6分 数学归纳法证明： n=1时，左边 =1，右边 =1，等式成立 假设 n=k时等式成立，即 当 n=k+1时，左边 = 8分 = 10分 = 12分 时，等式成立 由 1,2可得 时，等式 成立 14分 存在实数 a,b使得等式成立 . 16分 考点：本题主要考查数学归纳法的应用。 点评：中档题，数学归纳法的应用较为广泛，可应用于证明恒等式、整除性问题、几何问题、不等式问题，要注意 “两步一结 ”的规范格式。本题利用 n的特殊取值，确定得到 a,b，再应用数学归纳法加以证明。 有 4男 3女共 7位同学从前到后排成一列 . (1
14、)有多少种不同方法？ (2)甲不站在排头，有多少种不同方法？ (3)三名女生互不相邻，有 多少种不同方法？ (4)3名女生在队伍中按从前到后从高到矮顺序排列，有多少种不同方法？ (5)3名女生必须站在一起，有多少种不同方法？ 答案：（ 1） 5040 ；（ 2） 4320；（ 3） 1440；（ 4） 840 ；（ 5） 720 。 试题分析：（ 1） 7位同学从前到后排成一列，有 =5040种不同方法 ; (2) 甲不站在排头，可以将其安排在其它位置，然后再安排其他人员，有=4320种不同方法； (3)先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中
15、有 种方法，所以共有 =1440种不同方法； （ 4） 3名女生在队伍中按从前到后从高到矮顺序排列，就是将 中的排法再 “去序 ”，有 =840种不同方法 (5)将三名女生 “捆绑 ”视为一个元素，和其他 4人进行全排列， 3人自身又可调换位置，所以一共有 720种 考点：本题主要考查排列组合应用问题。 点评：中档题，本题较全面地考查了排列组合应用问题，对于 “在与不在问题 ”，常常从特殊元素、特殊位置入手；对于不相邻问题，常用 “插空法 ”（特殊元素后考虑）；对于 “相邻问题 ”常常用 “捆绑法 ”，看成一个元素。 已知 为复数， 为实数， 求 . 答案： 。 试题分析： 5分 10分 解得
16、： 15分 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念，复数模的概念。 点评：中档题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。涉及复数的确定，通过建立复数实部、虚部的方程组，达到解题目的。本题对计算能力要求较高。 已知一个圆与正方形的周长都为 1，证明：圆的面积比正方形的面积大 . 答案： ， ， ，圆的面积比正方形面积大。 试题分析：因为 4分 8分 12分 圆的面积比正方形面积大 14分 考点：本题主要考查正方形及圆的面积计算。 点评：简单题，周长确定得到正方形边长及圆的半径，利用面积公式计算，而后比较。 （ 1）求 （ 2）已知 ，求 n. 答案： (1) 165
17、 ；（ 2） 27 。 试题分析：（ 1）利用组合数的性质 2， ， = = =165。 （ 2） 即 n(n-1)(n-2)= ，所以， n=27. 考点：本题主要考查排列数公式、组合数公式的应用，组合数的性质。 点评：简单题，组合数性质有：（ 1） ；（ 2） ，解题过程中要灵活选用。 已知数列 的各项都是正数，且满足： （ 1）求 ； （ 2）证明： 答案：（ 1） ， 。（ 2）利用 “分类讨论 ”“排除法 ”。 试题分析：（ 1） 2分 4分 （ 2） 6分 若 即可由 得 与 矛盾， 分 10分 14分 综上： 16分 考点：本题主要考查数列的递推公式，分类讨论思想，不等式的证明。 点评：中档题，利用数列的递推公式，可以确定数列中的项。通过研究数列的特征，得到 ，然后讨论 的不同取值情况，利用 “排除法 ”证明不等式。
