1、2012-2013学年江苏省苏州五中高一下学期期初考试数学试卷与答案（带解析） 填空题 集合 ， ，那么 . 答案： 试题分析：根据并集的运算可知， . 考点：本小题主要考查并集的运算 . 点评：求解并集时，要借助韦恩图或数轴，注意集合元素的互异性 . 已知直线 与函数 和函数 的图象分别交于 两点，若 ，则 . 答案： 试题分析：由题意知 所以 . 考点：本小题主要考查三角函数的化简和求值 . 点评：解决此小题的关键是将问题转化为求 的值，进而利用三角函数公式求解 . 已知 是定义在 上的偶函数， 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为 . 答案： 试题分析：因为 是定义在 上的偶函数，所
2、以 的图象关于 y轴对称，而 在 上为增函数，且 ，所以 在 上为减函数，且，根据图象可知，要使 ，需要 ，或 ，解得不等式 的解集为 . 考点：本小题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用 . 点评：函数的单调性和奇偶性是函数的两个比较重要的性质，经常结合在一起出题，要灵活应用它 们的性质 . 函数 的值域是 . 答案： 试题分析：要使函数 有意义，需要 ，而 ，所以 考点：本小题主要考查复合函数的值域 . 点评：求解值域，不要忘记先看定义域，而且复合函数的单调性遵循 “同增异减 ”的原则 . 已知 ，则 . 答案： 试题分析：根据诱导公式有 考点：本小题主要考查诱导公式的应用 . 点评：诱导公
3、式的应用十分广泛，要准确记忆并灵活应用，还要注意尽量用已知角表示未知角 . 在边长为 1的正 ，若 ， ， ，则 = . 答案： 试题分析：依题意有 考点：本小题主要考查平面向量的数量积运算 . 点评：解决本小题时要注意两个向量的夹角是 不是 为了得到函数 图象，只需将函数 的图象向左平移个单位，则正数 的最小值为 . 答案： 试题分析：将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数，所以 考点：本小题主要考查三角函数图象的平移 . 点评：解决此类问题时要注意三角函数图象的左右平移是相对于 x说的，所以平移时要先把 x的系 数提取出来 . 已知函数 （ ）的图象恒过定点 A，若点 A也在函数 的图象
4、上，则 = . 答案： 试题分析：根据对数函数的性质知函数 （ ）的图象恒过定点 ，因为点 A在函数 的图象上， 所以 考点：本小题主要考查对数过定点和指数、对数的运算 . 点评：指数函数和对数函数都恒过顶点，解题时要首先考虑是否能用这条性质简化运算 . 是两个不共线向量，已知 若三点共线，则实数 的值为 . 答案： 试题分析：由题意可知 ，因为 三点共线，所以 共线，所以 ，代入数据可得实数 的值为 5. 考点：本小题主要考查共线向量定理的应用 . 点评：三点共线通常转化为两个向量共线，进而再用共线向量定理求解 . 函数 是 函数（填 “奇 ”、 “偶 ”或 “非奇非偶 ”） . 答案：偶
5、试题分析：显然函数的定义域为 R，关于原点对称，又，所以该函数是偶函数 . 考点：本小题主要考查函数的奇偶 性 . 点评：判断函数的奇偶性，要先看函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非 偶的函数 . 已知函数 ，则 的值是 . 答案： 试题分析：根据已知的分段函数知， ，所以考点：本小题主要考查分段函数的求值 . 点评：求分段函数的函数值时，只要看清自变量属于那段，根据式代入即可，注意不论分段函 数分几段，依然是一个函数 . 已知幂函数 为实常数）的图象过点 (2， )，则 = . 答案： 试题分析：因为幂函数 为实常数）的图象过点 (2， )， 所以 ，所以 考点：本小题主
6、要考查幂函数的定义和求解 . 点评：幂函数是形式定义， 的系数为 1，经常用这条性质解题 . 函数 的定义域为 . 答案： 试题分析：要使函数有意义，需要 ，所以函数的定义域为. 考点：本小题主要考查对数函数的定义域 . 点评：函数的定义域和值域必须写成集合或区间的形式 . 函数 的最小正周期为 . 答案： 试题分析：根据周期的运算公式可知 . 考点：本小题主要考查三角函数的周期 . 点评：运用三角函数周期公式解题时，要注意 的系数的正负 . 解答题 设 为两个不共线向量 . （ 1）试确定实数 k，使 共线； （ 2） ，求使 三个向量的终点在同一条直线上的 的值 答案：（ 1） （ 2）
7、试题分析： (1) 设 ， 则有 ， 因为 不共线，所以 ， 解得： ，所以 共线 . 8 分 （ 2）设终点为 ， 终点为 ， 即 ， 则题即要求 三点共线时的 t的值。 设 ， ， ， 解得： ， 即使 三个向量的终点在同一条直线上的 t的值为. 14 分 考点：本小题主要考查共线向量定理的应用 . 点评：共线向量定理的应用十分广泛，要灵活应用，并且要恰当转化问题，还要注意共线向量定理的限制条件 . 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少 .把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件 300元 .现在这种羊毛衫的成本价是 100元
8、/ 件，商场以高于成本价的价格（标价）出售 . 问： （ 1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？ （ 2）通常情况下，获取最大利润只是一种 “理想结果 ”，如果商场要获得最大利润的 75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？ 答案：（ 1）标价应定为每件 200元（ 2）每件标价为 250元或 150元 试题分析：（ 1）设购买人数为 n人， 羊毛衫的标价为每件 x元，利润为 y元，则 ， ， ，即 ， ， (x (100， 300)， k 0， x = 200时， ymax =-10 000k， 即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件 200元 8 分 (2)由题意得， k
9、(x-100)(x-300) =-10 000k 75% 解得 x = 250或 x = 150， 所以，商场要获取最大利润的 75%，每件标价为 250元或 150元 . 14 分 考点：本小题主要考二次函数在实际问题中的应用 . 点评：用函数解决实际问题时，首先要根据 题意选择合适的函数模型，将实际问题转化为数学问题 解决，并且要注意实际问题中的定义域 . 已知 ,设 . (1)求函数 的最小正周期，并写出 的减区间； (2)当 时 ,求函数 的最大值及最小值 答案：（ 1） 的最小正周期为 ，减区间为： （ 2） ， 试题分析：由题意，得 ， 4 分 （ 1）显然 ， 6 分 令 ， 解
10、得 ， 的减区间为： . 8 分 （ 2）当 时， ， ， 故 ， . 14 分 考点：本小题主要考查向量的运算和三角函数的化简、求值及性质的应用 . 点评：要求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值等，一定要先将函数化成 或 的形式 . 如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ，它们的终边分别交单位圆于 两点已知 两点的横坐标分别是 ， （ 1）求 的值；（ 2）求 的值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：由题意，得 ， （ 1）根据三角函数的定义可得 ， （ 2）由（ 1）得 ， 又 则 ， . 考点：本小题主要考查三角函数的定义和两角和的正切公式的应用 . 点评：三角函数的
11、定义是求解三角函数问题的基础，一定要准确掌握，另外，三角函数中公式比较 多，要灵活应用 . 已知集合 ， ， . （ 1）求 ， ； （ 2）若 ，求 的取值范围 答案：（ 1） = （ 2） 试题分析： (1)由题意可知 ， 3 分 而 ， 6 分 所以 = . 9 分 (2) 因为 ，借助数轴可知 . 14 分 考点：本小题主要考查结合的运算 . 点评：解决有关集合的运算的题目时，要借助数轴辅助解决 . 已知定义在 的函数 ,对任意的 、 ，都有，且当 时， . （ 1）证明：当 时， ； （ 2）判断函数 的单调性并加以证明； （ 3）如果对任意的 、 ， 恒成立，求实数的取值范围 . 答案：（ 1）先证明 ，进而证明当 时， ； （ 2）严格按照单调函数的定义证明即可； （ 3） 试题分析： (1)证明 :取 , 又 ,即 , 所以当 时， ； . (2) 在 上是减函数 ,证明如下 : 设 , 在 上是减函数 . (3) ， 而 ，所以实数 的取值范围为 . 考点：本小题主要考查抽象函数的性质 . 点评：解决抽象函数问题的主要方法是 “赋值法 ”，而且抽象函数的单调性的证明知能用定义，利 用基本不等式求最值时，要注意 “一正二定三相等 ”三个条件缺一不可 .
