1、2012-2013学年江西省南昌二中高二下学期第二次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在 15个村庄中 ,有 7个村庄交通不太方便 ,现从中任意选 10个村庄 ,用 X表示10个村庄中交通不太方便的村庄数 ,下列概率中等于 的是 ( ) A P(X=2) B C P(X=4) D 答案： C 试题分析：由题意 ，故选 C。 考点：超几何分布。 点评：简单题，关键是能归纳出本题的概率模型以及概率的计算公式。 荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去 (每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶 )，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示 .假设现在青蛙在 A叶上，则跳四
2、次之后停在 A叶上的概率是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：现在青蛙在 A叶上，跳四次之后停在 A叶上的跳法有：ACACA,ACBCA, ABCBA,ABABA, 且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，所以，跳四次之后停在 A叶上的概率是 + + + = ，故选 C。 考点：等可能事件的概率计算。 点评：中档题，解题的关键是列举青蛙跳跃的各种情况。 甲罐中有 5个红球， 2个白球和 3个黑球，乙罐中有 4个红球， 3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B表示由乙罐取出的球是
3、红球的事件，则下列四个结论： ； ； 事件 B与事件 相互独立； 是两两互斥的事件；正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意 A1， A2， A3 是两两互斥的事件， P（ A1） = ， P（ A2） = ，P（ A3） = ， P（ B|A1） = = ，由此知， 正确； P（ B|A2） = ， P（ B|A3） = ， 而 P（ B） =P（ B|A1） +P（ B|A2） +P（ B|A3） = 由此知 不正确， 不正确； A1， A2， A3是两两互斥的事件，由此知 正确；对照四个命题知 正确，故选 B。 考点：相互独立事件的概率计算，条件概率的计算。 点评：中
4、档题，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率计算公式、条件概率的求法。 某市有 7条南北向街道 ,5条东西向街道 .图中共有 m个矩形 ,从 A点走到 B点最短路线的走法有 n种，则 m， n的值分别为（ ） A m=90,n=210 B m=210,n=210 C m=210,n=792 D m=90,n=792 答案： B 试题分析：每个矩形需要两条横向、两条纵向的线段，所以，图中共有矩形 m= =210个； 每条东西向的街道被分成 6段，每条南北向的街道被分成 4段从 A到 B最短的走法，无论怎样走，一定包括 10段，其中 6段相同方向，另 4段也相同方向从而，
5、不同的走法有 = =210，故选 B。 考点：简单的组合应用问题。 点评：中档题，注意将问题转化成简单组合问题，利用组合数公式求解。 从 5双不同的手套中任取 4只，恰有两只是同一双的概率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：从 10只手套中任取 4只，共有 C104种不同的取法， 恰好有两只成一双的取法是先从 5双只有颜色不同的手套中任取一种颜色的一双手套，有 C51种取法， 再从剩余 4双只有颜色不同的手套中任取两种颜色的手套各一只，有 C42C21C21种取法， 恰好有两只成一双的不同取法有 C51C42C21C21种取法， 恰好有两只成一双的概率为 p= = 故选 B 考点：
6、等可能事件的概率。 点评：中档题，等可能事件的概率计算，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用。 设随机变量 的分布列如下： -1 0 1 P a b c 其中 a， b， c成等差数列，若 E()= ，则 D(3-1)=( ) A、 4 B、 C、 D、 5 答案： D 试题分析： a， b， c成等差数列， 2b=a+c， 又 a+b+c=1， E=-1a+1c=c-a= 联立三式得 a= ， b= ， c= ， D=(-1- )2 +( )2 +( )2 = D(3-1)= D=5，故选 D。 考点：设随机变量 的分布列及其数学期望、方差，等差数列的概念。 点评：小综合题，注意利用
7、分布列的性质及数学期望的计算公式，建立 a,b,c的方程组，进一步利用方差的计算公式及性质。 两个变量 x， y与其线性相关系数 r有下列说法 （ 1）若 r0，则 x增大时， y也相应增大； （ 2）若 |r|越趋近于 1，则 x， y线性相关程度越强； （ 3）若 r 1或 r -1，则 x与 y的关系完全对应 (有函数关系 )，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数 r进行判断： 当 r为正数时，表示变量 x， y正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；当 r为负数时，表示
8、两个变量 x， y负相关， |r|越接近于 1，相关程度越强； |r|越接近于 0，相关程度越弱，故可知 正确 故选 D 考点：线性相关、相关系数。 点评：简单题，当 r为正数时，表示变量 x， y正相关；当 r为负数时，表示两个变量 x， y负相关； 的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性相关性越强； 的绝对值接近于 0时，表明两个 变量之间几乎不存在线性相关关系 随机变量 服从二项分布 ，且 则 等于（ ） A 4 B 12 C 4或 12 D 3 答案： C 试题分析： 随机变量 X服从二项分布 ，且， D（ ） =3， 由 D=np（ 1-p） =3，得， p= 或 ， E=np= 4
9、或 12，选 C。 考点：二项分布。 点评：简单题，关键是理解 的意义，掌握 E=np ， D=np（ 1-p）。 设 的展开式的各项系数的和为 P，所有二项式系数的和为 S，若P+S=272，则 n为（ ） A 4 B 5 C 6 D 8 答案： A 试题分析：令 x=1，得， P= ，而 ，所以， ， 解得， （舍去），所以 n=4，选 A。 考点：二项式系数的性质，赋值法。 点评：小综合题，利用 “赋值法 ”可得各项系数，从而建立 n的方程求解。 公务员考试分笔试和面试，笔试的通过率为 20%，最后的录取率为 4%，已知某人已经通过笔试，则他最后被录取的概率为（ ） A 20% B 24
10、% C 16% D 4% 答案： A 试题分析： A表示事件：通过笔试； B表示事件：通过面试； C表示事件：应聘者被录取； 则有 P（ C） =P（ A B） =P（ A） P（ B） ,即 4%=20% P（ B），所以， P（ B）=20%，因为，该考生已通过笔试，所以，其通过面试即被录取，所以，他最后被录取的概率为 20%，选 A。 考点：独立事件的概率计算。 点评：简单题，注意理解题意，转化成求面试合格的概率。 填空题 某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了 3 000人，计算发现 K2=6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望
11、有关系的可信程度是 _。 P(K2k) 0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 k 1.323 2.072 2.706 5.024 6.635 7.879 答案： .5% 试题分析： 计算发现 K2=6.023， 6.023 5.024， 市民收入培养与旅游欲望有关系的可信程度是 1-0.025=97.5%。 考点：独立性检验的应用。 点评：简单题，本题不用自己运算，只须把所给的 K2与所给的表格进行对比即可。注意临界值表中得到的概率与可信度之间的关系 若 则 _。 答案： -1 试题分析：令 x=1得， =2，令 x=2，得， + =0，所以，=-1. 考点：二项式
12、定理的应用，赋值法。 点评：简单题，关于二项式定理的应用问题，往往不太难，其中 “赋值法 ”的应用较为广泛。 有八名志愿者，四名只懂英语，两名只懂法语，两名既懂英语又懂法语，现在从中选四人参与接待英国和法国代表团，每个团两名，共有 _种不同的安排。（数字作答） 答案： 试题分析：结合下面的韦恩图，选派方案有 + + =13. 考点：组合应用问题。 点评：中档题，此类问题可利用集合分类法求解。 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则= 。 答案： .34 试题分析： 随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2）， =2，得对称轴是 x=2 P（ 4） =0.84， P（ 4） =P（ 0） =0.16
13、， P（ 0 2） =0.5-0.16=0.34 考点：正态分布。 点评：简单题，注意利用正态曲线的对称性及概率分布的性质。 某单位为了了解用电量 y度与气温 x 之间的关系 ,随机统计了某 4天的用电量与当天气温 ,并制作了对照表 : x 18 13 10 -1 y 25 34 39 62 由表中数据得线性回归方程 y=-2x+a,预测当气温为 -4 时 ,用电量的度数约为 . 答案： 试题分析：由表知 ，代入线性回归方程 y=-2x+a,得， a=60，所以，当气温为 -4 时 ,用电量的度数约为 -2（ -4） +60=68. 考点：线性回归直线方程。 点评：简单题，利用 适合线性回归直
14、线方程，求得 a，进一步求用电量的估计值。 解答题 某班有 6名班干部，其中男生 4人，女生 2人，任选选 3人参加学校的义务劳动。 （ 1）求男生甲或女生乙被选中的概率 （ 2）设 “男生甲被选中 ”为事件 A， “女生乙被选中 ”为事件 B，求 P（ A）和 P（ BA）。 答案：（ 1） P=1- （ 2） P(A)= , P(AB)= , P(BA)= 试题分析：（ 1） P=1- （ 2） P(A)= , P(AB)= , P(BA)= 考点：独立事件的概率计算，条件概率。 点评：中档题，熟记有关概率的计算公式，注意排列组合知识的应用。 在 1， 2， 3， ， 9这 9个自然数中，
15、任取 3个数， (1)记 Y表示 “任取的 3个数中偶数的个数 ”，求随机变量 Y的分布列及其期望； (2)记 X为 3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为 1， 2， 3，则有这两组相邻的数 1， 2和 2， 3，此时 X的值为 2，求随机变量 X的分布列及其数学期望E(X). 答案： (1) 随机变量 Y的分布列 Y 0 1 2 3 P Y的期望： E（ Y） = (2) X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 . 试题分析： (1) Y服从 N=9， M=4， n=3的超几何分布， . Y 0 1 2 3 P Y的期望： E（ Y） = (2)X的取值为 0， 1， 2， X的分布列
16、为 X 0 1 2 P 数学期望 . 考点：超几何分布，随机变量的分布列及数学期望。 点评：中档题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及随机变量的分布列、数学期望计算问题，是高考必考内容及题型。概率的计算问题，要注意借助于排列组合知识，准确计算。 为考查某种药物预防疾病的效果 ,进行动物试验 ,得到如下丢失数据的列联表 : 药物效果试验列联表 患病 未患病 总计 没服用药 20 30 50 服用药 x y 50 总计 M N 100 设从没服用药的动物中任取两只 ,未患病数为 X;从服用药物的动物中任取两只 ,未患病数为 Y,工作人员曾计算过 P(X=0)= P(Y=0). (1)求出列联
17、表中数据 x,y,M,N 的值 ; (2)能够有多大的把握认为药物有效 (3)现在从该 100头动物中 ,采用随机抽样方法每次抽取 1头 ,抽后返回，抽取 5次 , 若每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的 5头中为服了药还患病的数量为.,求 的期望 E( )和方差 D( ). 参考公式： （其中 ） P(K2k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 k 1.323 2.072 2.706 3.845 6.635 7.879 答案： (1)x=10,y=40,M=30,N= 70 (2)有 95%的把握认为药物有效。 （ 3） ， =100 试题分析： (1)x=1
18、0,y=40,M=30,N= 70 (2) ，所以有 95%的把握认为药物有效。 （ 3）从该 100头动物中 ,任抽 1头为服了药还患病的概率为 p=0.1 ， =100 考点：独立性检验的应用，二项分布。 点评：中档题，独立性检验问题，要注意把所得 K2 与所给的表格数据进行对比。注意临界值表中得到的概率与可信度之间的关系概率分布的计算，关键是理解 的意义，掌握 E=np ， D=np（ 1-p）。 已知 的展开式前三项中的 的系数成等差数列 . （ 1）展开式中所有的 的有理项为第几项？ （ 2）求展开式中系数最大的项 . 答案：（ 1） 的有理项为第 1， 5， 9项。（ 2）所求项分
19、别为 和. 试题分析：（ 1）展开式前三项的系数分别为 . 由题设可知： ，解得： 8或 1（舍去） . 当 8时， . 据题意， 4- 必为整数，从而可知 必为 4的倍数， 而 0 8， 0,4， 8. 故 的有理项为第 1， 5， 9项。 （ 2）设第 1项的系数 最大，显然 0， 故有 1且 1. ，由 1，得 3. ，由 1，得 2. 2或 3，所求项分别为 和 . 考点：二项展开式的通项公式，等差数列的概念，简单不等式解法。 点评：中档题，本题主要考查二项展开式的通项公式，等差数列的概念，简单不等式解法。解答思路比较明确，对计算能力要求较高。 如图所示，在三棱锥 PABC 中，已知
20、PC 平面 ABC，点 C在平面 PBA内的射影 D在直线 PB上 (1)求证： AB 平面 PBC； (2)设 AB BC，直线 PA与平面 ABC所成的角为 45，求异面直线 AP 与 BC 所成的角； (3)在 (2)的条件下 ，求二面角 C-PA-B的余弦值 答案： (1)由 PC 平面 ABC，得 AB PC.由点 C在平面 PBA内的射影 D在直线 PB上， 得到 CD 平面 PAB.进一步推出 AB 平面 PBC. (2)异面直线 AP 与 BC 所成的角为 60. (3)所求二面角的余弦值为 . 试题分析： (1) PC 平面 ABC， AB 平面 ABC， AB PC. 点
21、C在平面 PBA内的射影 D在直线 PB上， CD 平面 PAB. 又 AB 平面 PBA， AB CD. 又 CDPC C， AB 平面 PBC. (2) PC 平面 ABC， PAC为直线 PA与平面 ABC所成的角 于是 PAC 45，设 AB BC 1，则 PC AC ，以 B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,0， 0)， A(0,1,0)， C(1,0,0)， P(1,0， )， (1， -1， )， (1,0,0)， cos ， ， 异面直线 AP 与 BC 所成的角为 60. (3)取 AC 的中点 E，连接 BE，则 （ ， ， 0）， AB BC， BE AC.
22、又 平面 PCA 平面 ABC， BE 平面 PAC. 是平面 PAC 的法向量设平面 PAB 的法向量为 n (x，y， z)，则由 得 取 z 1，得 n (- ， 0,1) 于是 cos n， - . 又 二面角 C-PA-B为锐角， 所求二面角的余弦值为 . 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想
23、，将空间问题转化成平面问题。 如图是一个从 的 ”闯关 ”游戏 . 规则规定 :每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有 1,2,3,4 的均匀的正四面体 .在过第 n(n=1,2,3)关时 ,需要抛掷 n次正四面体 ,如果这 n次面朝下的数字之和大于 则闯关成功 . (1)求闯第一关成功的概率 ; (2)记闯关成功的关数为随机变量 X,求 X的分布列和期望。 答案： (1) P= . (2) X的分布列为 EX= 试题分析： (1)抛一次正四面体面朝下的数字有 1,2,3,4四种情况 ,大于 2的有两种情况 ,故闯第一关成功的概率为 P= . (2)记事件 ”抛掷 n次正四面体 ,这 n次面朝
24、下的数字之和大于 ”为事件 则抛掷两次正四面体面朝下的数字之和的情况如图所示 ,易知. 设抛掷三次正四面体面朝下的数字依次记为 :x,y,z, 考虑 x+y+z8的情况 ,当 x=1时 ,y+z7有 1种情况 ; 当 x=2时 ,y+z6有 3种情况 ;当 x=3时 ,y+z5有 6种情况 ; 当 x=4时 ,y+z4有 10种情况 . 故 . 由题意知 ,X的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X P(X P(X P(X . X的分布列为 EX= 考点：古典概型概率的计算，独立事件同时发生的 概率公式，随机变量的分布列及其期望。 点评：中档题，本题综合性较强，综合考查了古典概型概率的计算，独立事件同时发生的概率公式，随机变量的分布列及其期望。在（ II）小题的解答中，注意就 x+y+z的不同取值情况加以分析，易错易漏，应高度注意。此类问题比较典型，对计算能力、分析问题解决问题的能力要求较高。是高考题中的 “应用问题 ”。
