1、2012-2013学年河南省安阳一中高二上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 P 1,2,3,4， Q x|0 x 5， x R，则 ( ) A “x P”是 “x Q”的充分条件但不是必要条件 B “x P”是 “x Q”的必要条件但不是充分条件 C “x P”是 “x Q”的充要条件 D “x P”既不是 “x Q”的充分条件也不是 “x Q”的必要条件 答案： A 试题分析：显然 P Q，但 Q P，所以 “x P”是 “x Q”的充分条件但不是必要条件，故选 A。 考点：本题主要考查集合的概念，充要条件的概念。 点评：小综合题，判断充要条件，可利用定义法、等价命题
2、法、集合关系法。 过点 P(x,y)的直线分别与 x轴和 y轴的正半轴交于 A,B两点 ,点 Q 与点 P关于 y轴对称， O 为坐标原点，若 且 =1，则点 P的轨迹方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：设 A（ a， 0） ,B（ 0， b）（ a0,b0） , 由向量 =2 ,得， x= ,y= , 由 =1得 (-x,y) (-a,b)=1, 所以 xa+yb=1, 把 代入上式得 ，故选 D。 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量的数量积，求轨迹方程的 “相关点法 ”。 点评：中档题，本题将直线、向量、求轨迹方程综合考查，对考生灵活应用数学知识的能力有较好的考查。
3、另外，求轨迹方程的基本方法的基本方法之一 “相关点法 ”，常常考到。 在三棱锥 P-ABC中， PA 平面 ABC， BAC 90， D、 E、 F分别是棱AB、 BC、 CP的中点， AB AC 1， PA 2，则直线 PA与平面 DEF所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 答案： C 试题分析：以 A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 易知： A（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， P（ 0， 0， 2）， ， ， 设 是平面 DEF的一个法向量， 则 即 ，取 x 1, 则 ， 设 PA与平面 DEF所成的角为 ， 则 sin 。 考点：本题主要考查立体几何中的垂
4、直关系，角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用向量则简化了证明过程。 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如：他们研究过图 1中的 1,3,6,10， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2中的 1,4,9,16， 这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( ) A 289 B 1024 C 1225 D 1378 答案： C 试题分析：观察数字排放构成规律，发现三角形数第 n
5、个数为 ；正方形数第 n个数是 。所以既是三角形数又是正方形数应同时是 =m, =m的解。验证知应选 C。 考点：本题主要考查归纳推理的概念。 点评：简单题，观察数字排放构成规律，发现三角形数第 n个数为 ；正方形数第 n个数是 . 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ） A 4个 B 个 C 个 D 1个 答案： B 试题分析：确定极小值点，应满足 “在极值点左侧导数为负、右侧导数值为正 ”，所以极小值点有两个。选 B. 考点：本题主要考查导数的应用，求函数的极值。 点评：基础题，在函数的极值点处，导数值为 0，在极值点左侧导数为正、右侧
6、导数值为负，为极大值点；在极值点左侧导数为负、右侧导数值为正，为极小值点； 已知 F1,F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B两点，若 ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 F1,F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B两点，且 ABF2是正三角形，所以由椭圆的对称性可知， AB垂直于 x轴，将 x=c代入椭圆方程，可得 |AB|=2 ，从而在直角三角形中 ，即 ，解得 e= ，故选 A。 考点：本题主要考查椭圆的定义，椭圆的几何性质。 点评：简单题，涉及椭圆的焦点三角形问题，往往要
7、利用椭圆的定义。本题同时关注三角形的特征。 函数 在点 处的切线方程是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ，切线的斜率为 -2，切线方程为，故选 D。 考点：本题主要考查的几何意义。 点评：简单题，过曲线上点的切线斜率，就是该点处的导数值。 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， M、 N 分别为棱 AA1和 BB1的中点，则 sin ， 的值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：设正方体棱长为 2.建立如图空间直角坐标系，则 C(2， 2，0),M(0,0,1),N(2,0,1), 所以 (-2， -2， 1)， =(0， -2， 1)， sin ，
8、= = = ，故选 B。 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算，空间向量的应用。 点评：基础题，直方图中平行关系、垂直关系十分明确，因此，通过建立空间直角坐标系，利用向量知识，可较方便地解题。 已知函数 ，若函数 的图像在点 P（ 1， m）处的切线方程为 ，则 m的值为 ( ) A B C - D - 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，由“过曲线上点的切线斜率，就是该点处的导数值 ”，得 -1-4a=3,a=-1,f(1)=m= ,故选 C。 考点：本题主要考查的几何意义。 点评：简单题，过曲线上点的切线斜率，就是该点处的导数值。 =( ) A B 2 C D 答案
9、： D 试题分析： = =2 = ，故选 D。 考点：本题主要考查定积分的计算。 点评：简单题，计算得积分，一是直接运用公式计算，二是利用几何意义计算。 当 a为任意实数时，直线 恒过定点 P，则过点 P的抛物线的标准方程是（ ） A 或 B 或 C 或 D 或 答案： C 试题分析： 即 a（ 2x-4） +3x+y+2=0，所以直线过 2x-4=0与 3x+y+2=0的交点（ 2， -8），代入选项验证知过点 P的抛物线的标准方程是 或 ，故选 C。 考点：本题主要考查直线过定点，抛物线的标准方程。 点评：小综合题，本题首先根据直线过定点，确定 a、点 P坐标，然后利用待定系数法写出抛物线
10、标准方程。 函数 在闭区间 -3， 0 上的最大值、最小值分别是 ( ) A 1， 1 B 1， 17 C 3， 17 D 9， 197 答案： C 试题分析：因为 ，所以由 =0得， x=1或 -1，计算f(-3)=-17， f(-1)=3， f(0)=1，函数 在闭区间 -3， 0 上的最大值、最小值分别是 3， ,17.故选 C。 考点：本题主要考查导数的应用，求函数的最值。 点评：简单题，函数的最值在区间端点、极值点处取到。 填空题 已知 是抛物线 的焦点，过 且斜率为 的直线交 于两点设 ，则 的值等于 答案： 试题分析： F（ 1,0），设 A（ x1， y1） B（ x2， y2
11、） 由 整理得 3x2-10x+3=0，所以 x1=3， x2= ，（ x1 x2） 由抛物线的定义知 = = ， 故答案：为 3。 考点：本题主要考查抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系。 点评：中档题，涉及直线与抛物线的位置关系，由于曲线方程已确定，所以通过解方程组，得到点的坐标，利用抛物线的定义，得到线段长度得解。 已知正三棱柱 ABCA 1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于 _ 答案： 试题分析：在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，取 A1C1的中点 E，则连 B1E， B1E垂直于 A1C1，所以 B1E垂直于平面 ACC1
12、A1，连 AE，则角 B1AE就是 AB1与侧面ACC1A1所成角。由正三棱柱 ABCA 1B1C1的侧棱长与底面边长相等，不难得到， AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦等于 。 考点：本题主要考查正三棱柱的几何特征，垂直关系，角的计算。 点评：基础题，本题主要运用了正三棱柱的几何特征，正三角形的几何特征，直角三角形的边角关系。一般的，在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤。 曲线 在 处切线的斜率是 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，曲线 在 处切线的斜率是 1. 考点：本题主要考查导数的计算，导数的几何意义。 点评：简单题
13、，过曲线上点的切线斜率，就是该点处的导数值。 两不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 (1,0， -1)， (-2， 0,2)，则 l1与 l2的位置关系是 _ 答案：平行 试题分析：因为两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 (1,0， -1)， (-2，0,2)，且 ，即 共线，所以 l1与 l2的位置关系是平行。 考点：本题主要考查直线的方向向量，直线的位置关系。 点评：简单题，空间两条直线的位置关系，可由它们的方向向量来确定。方向向 量共线，不重和直线平行。 解答题 （本题满分 10分） 如图，已知正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，底面边长 AB 2，侧棱 BB1的长
14、为4，过点 B作 B1C的垂线交侧棱 CC1于点 E，交 B1C于点 F， 求证： A1C 平面 BDE； 求 A1B与平面 BDE所成角的正弦值。 答案： 由三垂线定理可得， A1C BD， A1C BE A1C 平面 BDE 试题分析： 由三垂线定理可得， A1C BD， A1C BE A1C 平面 BDE 以 DA、 DC、 DD1分别为 x、 y、 z轴，建立坐标系，则 ， ， ， 设 A1C 平面 BDE K，由 可知， A1BK 为 A1B与平面 BDE所成角， 考点：本题主要考查三垂线定理的应用，角的计算，空间向量的应用。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关
15、系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。本题解法利用了向量，简化了证明过程。 （本题满分 12分） 已知函数 在点 处的切线方程为 求函数 的式； 若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最小值； 答案： 的最小值为 4 试题分析： 根据题意，得 即 解得 所以 令 ，即 得 因为 ， ，所以当 时， ， 则对于区间 上任意两个自变量的值 ，都有 ，所以 所以 的最小值为 4 考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像 “ 恒成立 ”这类问题，往往要转化成求函数的最值问题，
16、然后解不等式。 （本题满分 12分） 如图，四边形 ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD， PD QA， QA AB PD. (1)证明：平面 PQC 平面 DCQ； (2)求二面角 Q-BP-C的余弦值 答案：（ I）建立空间直角坐标系后，计算 证得PQ DQ， PQ DC.PQ 平面 DCQ. 再据 PQ 平面 PQC，得到平面 PQC 平面 DCQ. （ II） 试题分析：如图，以 D为坐标原点，线段 DA的长为单位长，射线 DA为 x轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz. （ I）依题意有 Q（ 1， 1， 0）， C（ 0， 0， 1）， P（ 0， 2， 0） . 则 所以
17、 即 PQ DQ， PQ DC. 故 PQ 平面 DCQ. 又 PQ 平面 PQC，所以平面 PQC 平面 DCQ. 6 分 （ II）依题意有 B（ 1， 0， 1）， 设 是平面 PBC的法向量，则 因此可取 设 m是平面 PBQ 的法向量，则 可取 故二面角 QBPC 的余弦值为 12 分 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算，空间向量的应用。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用向量则能简化证明过程。 （本题满分 12分）
18、 已知函数 。 （ I）求 的最小值； （ II）若对所有 都有 ，求实数 的取值范围。 答案：（ ）当 时， 取得最小值 。 （ ） 。 试题分析：（ ） 的定义域为 ， 的导数 。 令 ，解得 ；令 ，解得 。 从而 在 上单调递减，在 上单调递增。 所以，当 时， 取得最小值 。 （ ）解法一：令 ，则 ， 若 ，当 时， ， 故 在 上为增函数， 所以， 时， ，即 。 若 ，方程 的根为 ， 此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数。所以，时， 即 ，与题设 相矛盾。 综上，满足条件的实数 的取值范围是 。 解法二：依题意，得 在 上恒成立， 即不等式 对于 恒成立。 令 ，则。 当
19、时，因为 ，故 是上的增函数，所以 的最小值是 ，从而 实数的取值范围是。 考点：本题主要考查利用导数研究函数单调性、求函数极值、最值。 点评：典型题，导数的应用，是高考必考内容，注意解答成立问题的一般方法步骤。 恒成立问题，通过分离参数法，转化成求函数最值问题，应用导数知识加以解答。这体现了几道此类题的一般方法步骤。 （本题满分 12分） 双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点垂直于 的直线分别交 于 两点已知 成等差数列，且 与 同向 （ ）求双曲线的离心率； （ ）设 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 答案：（ ） e= = ；（ ） 。 试题分
20、析：（ ）设 ， ， 由勾股定理可得： 得： ， ， 由倍角公式 ，解得 ,则离心率 （ ）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立 将 ， 代入， 化简有 将数值代入，有 ,解得 故所求的双曲线方程为 解法二 :解 :（ ）设双曲线方程为 (a0,b0)，右焦点为 F(c,0)(c0)，则 c2=a2+b2 不妨设 l1： bx-ay=0， l2： bx+ay=0 则 ， 因为 2+ 2= 2，且 =2 - ， 所以 2+ 2=(2 - )2， 于是得 tan AOB= 。 又 与 同向，故 AOF= AOB， 所以 解得 tan AOF= ，或 tan AOF=-2（舍去）。 因此 所以双曲线
21、的离心率 e= = （ ）由 a=2b知，双曲线的方程可化为 x2-4y2=4b2 由 l1的斜率为 ， c= b知，直线 AB的方程为 y=-2(x- b) 将 代入 并化简，得 15x2-32 bx+84b2=0 设 AB与双曲线的两交点的坐标分别为 (x1,y1)， (x2,y2)，则 x1+x2= ， x1 x2= AB被双曲线所截得的线段长 l= 将 代入 ，并化简得 l= ，而由已知 l=4，故 b=3， a=6 所以双曲线的方程为 考点：本题主要考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，两角和的正切公式。 点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理。弦
22、长问题，往往利用弦长公式，通过整体代换，简化解题过程。 （本题满分 12分）设椭圆 E: （ a,b0）过 M（ 2， ） ，N( ,1)两点， O 为坐标原点 （ ）求椭圆 E的方程； （ ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交 A,B且 ？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。 答案：（ 1） （ 2）存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 试题分析：（ 1）因为椭圆 E: （ a,b0）过 M（ 2， ）， N( ,1)两点 , 所以 解得 所以 椭圆 E的方程为 （ 2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条
23、切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得,即 , 则 = ,即 ， 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 , 所以 ,所以 ,即 或 , 因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线 , 所以圆的半径为 , , , 所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 , 而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为或 满足 , 综上 , 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系。 点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理。存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。（ 2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性。
