1、2012-2013学年浙江湖州菱湖中学高一上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ，集合 ，则等于 A B C D 答案： D 试题分析：由于 所以,故答案：选 D. 考点：本题主要是考查集合的交集和补集的运算问题的运用。 点评：解决该试题的关键是理解交集的概念和补集的概念，准确的表示出 ，并根据交集的概念求解得到 。 已知函数 ，现给出下列命题： 当图象是一条连续不断的曲线时，则 = ； 当图象是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数 ，使 在 上是增函数； 当 时，不等式 恒成立； 函数 是偶函数 其中正确的命题是 A B C D 答案： C 试题分析： 图象是
2、一条连续不断的曲线，当 x=1时，则函数值满足 8a-1=0， a= ，故 正确； 当图象是一条连续不断的曲线时， a= ， f （ x）在 R上是减函数，故 不正确； 当 a m| m ， m R时，不等式 f（ 1+a） f（ 1-a） 0恒成立，故 正确； 函数 y=f（ |x+1|）是偶函数不成立即 不正确 故选 C 考点：本题主要是考查命题的真假判断与应用，解题时要注意极限和连续的合理运用 点评：解决该试题的关键是对于函数连续不断的理解和运用函数的单调性得到参数 a是否存在的怕你的功能，同时结合不等式来证明恒成立问题。 函数 是偶函数，它在 上是减函数 .若 ，则 的取值范围是 A
3、B C D 答案： C 试题分析：根据偶函数的性质将 f（ lgx） f（ 1）转化成 f（ |lgx|） f（ 1），然后利用单调性建立不等关系，解之即可 ： f（ x）定义在实数集 R上的偶函数， f（ -x） =f（ x） =f（ |x|）则 f（ lgx） f（ 1），即 f（ |lgx|） f（ 1）， 在区间 0， +）上是单调增函数 |lgx|lgx-1 0，可知代入关系式 y=-2a=26,得到 a=-13，不符合题意，舍去。 当 ,代入式 ，综上可知满足题意的 a的取值只有一个为 -5，答案：为 -5. 考点：本题主要是考查分段函数的式的运用。 点评：解决该试题的关键是对数函
4、数值的 f(a)的求解，由于 a不确定，因此要分类讨论来得到参数 a的所有的值。 函数 的单调增区间为 _. 答案： 试题分析：因为函数 有意义，则满足，而二次函数 开口向上，对称轴为 x=1，那么根据复合函数的单调性可知当 时，函数是递增的，而外层函数是递增的，根据同增异减可知，因此答案：为 ，故填写答案：为 。 . 考点：本题主要是考查对数函数的单调性的研究问题。 点评：解决该试题的关键是先求解定义域，然后根据复合函数的单调性，同增异减的思想来判定函数的增区间即为内层的增区间。 若 ，且 ，则 答案： 试题分析：因为根据同角关系式可知， ，又因为 ，说明角在第三象限，同时可知 故答案：为
5、。 考点：本题主要是考查同角三角函数关系式的运用。 点评：解决该试题的关键是根据角所在的象限确定出其正弦值的正负，结合同角的平方关系来解得其正弦值。 解答题 （本小题满分 14分） （ 1）化简： ； （ 2）已知 求 的值 答案：（ 1） ； (2) 。 试题分析：（ 1）对于同底数的指数函数的运算，利用指数幂的运算性质得到。 （ 2）根据 ，进而利用平方差公式得到结论。 （ 1） 7 分 (2) 10 分 14 分 考点：本题主要是考查指数幂的运算法则，以及分数指数幂的求解问题。 点评：解决该试题的关键是将同底数的指数式合并，同时要注意利用指数幂的运算性质化简得到结论，另外注意 的之间的转
6、换。 （本小题满分 14分） 已知全集 ，集合 ， ， （ 1）求 、 ； （ 2）若集合 是集合 的子集，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ， ；（ 2）或 . 试题分析：（ 1）先求解集合 A,B的交集，和集合 A,B的补集，结合并集的概念得到结论。 （ 2）根据集合的子集关系，需要对于集合 M是否为空集要加以讨论，得到结论。 （ 1） 2 分 ， 4 分 7 分 （ 2）由题意： 或 ， 10 分 解得： 或 . 14 分 考点：本题主要是考查了集合的补集和并集的运算。 点评：解决该试题的关键是对于集合 A,B的准确表示，以及运用数轴法来表示集合的补集和并集的运算结果。 （本小题满
7、分 14分） 已知二次函数 的 最小值为 1，且 （ 1）求 的式； （ 2）若 在区间 上不单调，求实数 的取值范围； （ 3）在区间 上， 的图象恒在 的图象上方，试确定实数 的取值范围 答案：解（ 1） .（ 2）要使函数不单调，则； （ 3）得 . 试题分析：（ 1）根据二次函数的最小值和函数值对应相等得到对称轴，进而求得式。 （ 2）要使不单调，只要定义域在对称轴的两侧即可。 （ 3）由已知，即 ，化简得 .只要最小值大于零即可。 解（ 1）由已知，设 ，由 ，得 ， 故 . -4分 （ 2）要使函数不单调，则 ， -9分 （ 3）由已知，即 ，化简得 . 设 ，则只要 ， 而 ，得
8、 . -14分 考点：本题主要是考查二次函数的式和函数单调性的运用 。 点评：解决该试题的关键是理解二次函数的单调性与对称轴的关系的运用，以及函数的图像与图像的位置关系的运用。 （本小题满分 14分） 已知 : （ 1）用定义法证明函数 是 上的增函数； （ 2）是否存在实数 使函数 为奇函数？若存在，请求出 的值，若不存在，说明理由 . 答案：（ 1）见；（ 2）存在实数 ，使函数 为 R上的奇函数。 试题分析：（ 1）设出变量，作差，变形，下结论， （ 2）根据奇函数的性质，在 x=0处 函数值为零，得到参数的值，进而加以证明。 （ 1）对任意 都有 ， 的定义域是 R， -2分 设 且
9、，则 -4分 在 R上是增函数，且 下面证明 时 是奇函数 为 R上的奇函数 存在实数 ，使函数 为 R上的奇函数。 -14分 考点：本题主要是考查函数单调性的证明，以及函数奇偶性的运用。 点评：解决该试题的关键是理解定义法证明函数单调性，现设出变量，和作差变形，然后利用奇函数的性质得到 f(0)=0,得到 a的值。 （本小题满分 16分） 已知 （ ， 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件： 函数在 内单调递增或单调递减； 如果存在区间 ，使函数 在区间上的值域为 ，那么称 ， 为闭函数。请解答以下问题： （ 1）判断函数 是否为闭函数？并说明理由； （ 2）求证：函数 （ ）为闭函数；
10、（ 3）若 是闭函数，求实数 的取值范围 答案：（ 1）函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数； (2) 见；（ 3） 试题分析：（ 1）因为函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，不符合题意，不成立。 （ 2）利用高次函数来分析，利用单调性的定义分析和证明。 （ 3）易知 是 上的增函数，符合条件 ；设函数符合条件 的区间 为 ，利用对应相等得到结论。 解：（ 1）函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增； -2分 所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数 -4分 (2) 先证 符合条件 ：对于任意 且 ，有 ， ，故 是 上的减函数 又因为 在 上的值域是 。 -8分 （ 3）易知 是 上的增函数，符合条件 ；设函数符合条件 的区间 为 ，则 ；故 是 的两个不等根，即方程组为： 有两个不等非负实根； - - - -11分 设 为方程 的二根，则 ， 解得： 的取值范围 - - -16分 考点：本题主要是考查新定义的理解和运用，确定是否为闭函数。 点评：解决该试题的关键是理解概念，运用函数的单调性和函数的某个区间，是否满足定义域和值域相同得到结论。
