1、2012-2013学年浙江省杭州二中高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 的共轭复数为 A B C D 答案： A 试题分析： ， 复数 的共轭复数为 ，故选 A 考点：本题考查了复数的概念及运算 点评：熟练掌握复数的相关概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题 某校数学学科中有 4门选修课程， 3名学生选课，若每个学生必须选其中 2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为 A B C D 答案： C 试题分析：每个学生必须选 4门中其中的 2门有 种，其中4门课程中有 2门没人选的有 6种， 4门课程中有 1门没人选的有，故符合题意的有 216-6-96=11
2、4，故选 C 考点：本题考查了排列组合的运用 点评：解决此类问题常常采用正难则反的思想处理，属基础题 若函数 满足 ，设 ， ，则 与 的大小关系为 A B C D 答案： D 试题分析：设函数 g（ x） =xf(x)， ， ，即函数 g(x)在定义域上单调递增， 21， g(2)g(1)， 2f(2)f(1) ， ，故选 D 考点：本题考查了导数的运用 点评：对于抽象函数的大小比较问题，常常构造函数，然后利用函数的单调性处理 在 的展开式中， 的系数是 A B C D 答案： D 试题分析： ， 的展开式为，令 得 r=4， 的系数是 ，故选 D 考点：本题考查了二项式的展开式的运用 点评
3、：熟练掌握二项式的展开式形式是解决此类问题的关键，属基础题 若函数 在区间 单调递增，则 m的取值范围为 A B C D 答案： A 试题分析： 函数 在区间 单调递增， 在区间 上恒成立， 即 ，又函数 在区间 上单调递增，故当 x=1时， ，所以 ，即 m的取值范围为，选 A 考点：本题考查了导数的运用 点评：此类问题应注意在某区间内 是函数 在该区间内为增（减）函数的充分非必要条件 设 ， ， ，则 的大小关系为 A B C D 答案： D 试题分析： ， ，又 ， ，即，故选 D 考点：本题考查了不等式的性质 点评：如果两个数不好比较时，可以通过平方或分母有理化转化为好比较的两个数即可
4、 函数 在 处的切线方程是 A B C D 答案： A 试题分析： ， ， 在 处的切线斜率 k= ， 在 处的切线方程为 y-1=-1（ x-0）即 ，故选 A 考点：本题考查了导数的几何意义 点评： 在 处导数 即为 所表示曲线在 处切线的斜率 ,即 ,则切线方程为 : 有一段 “三段论 ”推理是这样的：对于可导函数 ，若 ，则是函数 的极值点 .因为 在 处的导数值 ，所以 是的极值点 . 以上推理中 A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确 答案： A 试题分析：根据极值点的概念可知：若 ，则 不一定是函数 的极值点， 本题的推理中大前提错误，故选 A 考点：本题考查了演
5、绎推理的概念 点评：演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中。 设函数 ，其导函数的图象如图所示，则函数 的减区间是 A B C D 答案： B 试题分析： 函数 的减区间是导函数小于零的区间，由图知：符合题意，故选 B 考点：本题考查了导数的运用 点评：对于函数 ，如果在某区间上 ，那么 为该区间上的增函数；如果在某区间上 ，那么 为该区间上的减函数 设 ，且对任意的 ，都有 ，则 A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ， ， ， ，故选C 考点：本题考查了导数的运用 点评：熟练掌握导数的运算法则及函数的周期性是解决此类问题的关
6、键，属基础题 填空题 函数 在区间 上的最小值为 . 答案： 试题分析： ，当且仅当 即 x=1时，等号成立， 函数 在区间 上的最小值为 考点：本题考查了基本不等式的运用 点评：当一个题目中同时出现多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件也成立 某农场有如图所示的 2行 3列共六块土地，现有萝卜、玉米、油菜三类蔬菜可种 . 要求每块土地种一类蔬菜，每类蔬菜种两块土地，每行的蔬菜种类各不相同，则恰有一类蔬菜种在同列的种植方法数为 . 答案： 试题分析：第一步先选一类蔬菜种在同一列有 种，第二步把剩余的两类种子种在剩余两列有 2种， 共有 29=18种 考点：本题考查了排列组合的综合运用 点评
7、：对这类问题，可用分步计数原理，即依元素 (或位置 )分步，将各元素 (或位置 )的排法数连乘即可 . 已知数列 为等差数列 ,若 , ,则.类比上述结论 ,对于等比数列 ,若,则可以得到 _. 答案： 试题分析：对于等差数列 ， ，两式联立消去 d得 ，同理对于等比数列 ，消去 q得 考点：本题考查了类比推理的应用 点评：类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法 已知二项式 的各项系数和为 ，则 的常数项为 . 答案： 试题分析：令 x=1得二项式 的各项系数和为 =256， n=4， 二项式的展开式为 ，令 2-r=0得 r=2，故二项式 的常数
8、项为 考点：本题考查了二项式展开式的应用 点评：熟练掌握二项式的展开式是求解此类问题的关键，属基础题 在复平面内 , 复数 1 + i与 2i分别对应向量 和 , 其中 为坐标原点 ,则向量 所对应的复数是 . 答案： 试题分析： 复数 1 + i与 2i分别对应的点为 A（ 1,1）和 B（ 0,2）， ， ，故向量 所对应的复数是考点：本题考查了复数的几何意义及向量的运算 点评：熟练掌握复数的几何意义及向量的运算是求解此类问题的关键，属基础题 观察下列式子： , , , , ,则可以归纳出第 个式子为 答案： 试题分析： ， ， ， 猜想归纳出第 n个式子为考点：本题考查了归纳推理的运用
9、点评：归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的 解答题 （本题满分 8分）已知 ，函数 . （ ）求 的极值 (用含 的式子表示 )； （ ）若 的图象与 轴有 3个不同交点，求 的取值范围 . 答案：（ ） 的极大值 ，极小值为 （ ）试题分析：（ ）令 ，得： 或 -3. 当 或 时， ； 当 时， ； 故 在区间 ， 单调递增；在区间 单调递减 3 于是 的极大值 ，极小值为 1 （ ）令 ， 3 得 1 考点：本题考查了极值点求法及单调性的运用 点评：求可导函数的极值的基本步骤为： 求导函
10、数 ； 求方程 =0的根； 检查 在方程根左右的符号，如果左正右负，那么 f（ x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（ x）在这个根处取得极小值 （本题满分 10分） （ ）设 ，求证： ； （ ）设 ，求证：三数 ， ， 中至少有一个不小于2. 答案：（ ）利用分析法证明即可，（ ）利用反证法证明 试题分析：（ ）证法一：要证： 即证： 即证： 即证： 由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证 5 证法二：要证： 即证： 由基本不等式 ，可得上式成立，故原不等式得证 . 5 （ ）三数 ， ， 都小于 2，因为（ ） +（ ） +（ ）= ，所以矛盾，故假设不成立即原命题成立 考
11、点：本题考查了不等式的证明 点评：应用分析法，一方面要注意寻找使结论成立的充分条件，另一方面要有目的性，逐步逼近已知条件或必然结论 （本题满分 12分）设正项数列 的前 项和 ，且满足. （ ）计算 的值，猜想 的通项公式，并证明你的结论； （ ）设 是数列 的前 项和，证明： . 答案：（ ） ； ； .猜想 ，用数学归纳法证明；（ ）先利用数列知识求和，然后利用放缩法证明或者利用数学归纳法证明 试题分析：（ ）当 n=1时， ，得 ；，得 ； ，得 .猜想 2 证明：（ ）当 n=1时，显然成立 . （ ）假设当 n=k时， 1 则当 n=k+1时，结合 ，解得 2 于是对于一切的自然数
12、，都有 1 （ ）证法一：因为 ， 3 .3 证法二：数学归纳法 证明：（ ）当 n=1时， ， ， 1 （ ）假设当 n=k时， 1 则当 n=k+1时， 要证： 只需证： 由于 所以 3 于是对于一切的自然数 ，都有 1 考点：本题考查了数学归纳法的运用 点评：运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 （本题满分 12分） 设函数 . （ ）判断 能否为函数 的极值点，并说明理由； （ ）若存在 ，使得定义在 上的函数在 处取得最大值，求实数 的最大值 . 答案：（ ）当 时， 是 的极小值点；（ ） 试题分析：（ ） ，令 ，得 ； 2 当 时， ，于是 在 单调递增，在单调递减， 在 单调递增 . 故当 时， 是 的极小值点 2 （ ） . 由题意，当 时， 恒成立 2 易得 ，令，因为 必然在端点处取得最大值，即 4 即 ，即 ，解得， ， 所以 的最大值为 2 考点：本题考查了导数的运用 点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点，综合考查运用知识分析和解决问题的能力，中等题
