1、2012-2013学年浙江省桐乡一中高二上期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 经过空间任意三点作平面（ ） A只有一个 B可作二个 C可作无数多个 D只有一个或有无数多个 答案： D 试题分析：若三点不在同一直线上，则只有一个平面；若三点在同一条直线上，则有无数个平面。 考点：公理 2. 点评：注意公理 2 中的关键词： “不共线 ”，过不共线的三点有且只有一个平面。 如图，动点 在正方体 的对角线 上过点 作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于 设 则函数 的图象大致是（ ）答案： B 试题分析：由题意知， MN 平面 BB1D1D，则 MN在底面 ABCD上的射影是与对角线 AC
2、平行的直线，故当动点 P在对角线 BD1上从点 B向 D1运动时， x变大 y变大，直到 P为 BD1的中点时， y最大为 AC。然后 x变小 y变小，直到 y变为 0，因底面 ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样故答案：为： B 考点：函数的图像与图像项变化。 点评：本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力属于中档题。 如图所示，已知正四棱锥 侧棱长为 ，底面边 长为 ， 是的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：连接 AC、 BD交点 O，连接 OE，则 OE
3、B就是异面直线 与所成角。在 Rt OEB中， OB= ， OE= ，所以 ，即 OEB= 。所以异面直线 与 所成角为 。 考点：异面直线所成的角。 点评：求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决的。 若三棱锥的一条棱长为 ，其余棱长均为 1，体积是 ，则函数 在其定义域上为（ ） A增函数且有最大值 B增函数且没有最大值 C不是增函数且有最大值 D不是增函数且没有最大值 答案： C 试题分析：由题意画出棱锥的图形， AB=BC=CD=BD=AC=1， AD=x，取 BC，AD的中点分别为 E， F，可知平面 BC 面 AED， S AED= AD
4、 EF=，所以 V(x)= S AED BC=。故选 C 考点：三棱锥的体积；函数与方程的综合应用； 点评：本题是中档题，考查空间想象能力，计算能力，本题的关键是棱锥的转化为底面为 AED的两个棱锥。 设四棱锥 的底面不是平行四边形，用平面 去截此四棱锥，使得截面是平行四边形，则这样的平面 （ ） A不存在 B有且只有 1个 C恰好有 4个 D有无数多个 答案： D 试题分析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m， n，直线 m、 n确定了平面 ，作与 平行的平面 与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形这样的平面 有无数多个 故选 D 考点：线面平行的判定定理；线面平行的性质定理。 点
5、评：做此题的关键是确定平面 ，考查了学生的空间想象能力。属于中档题。 已知直线 与平面 ，给出下列三个命题： 若 若 若 其中真命题的是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： 若 可能平行、相交或者异面，因此错误； 因为 m ，所以在 内可以找到直线 m，使 m m，又因为 n ， m ，所以 n m，结合 m m，得到 n m，故 正确； 因为 m ，所以在 内可以找到直线 m，使 m m，又因为 m ，得m ，因为 经过 的垂线，所以 ，故 正确 可能平行，相交，或者在平面 内。 考点：空间中直线与平面的位置关系。 点评：本题考查了空间两直线、直线与平面位置关系等知识点，属于中档
6、题熟练掌握直线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质，是解好本题的关键。 给出三个命题： 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。其中真命题个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析：对于 ，两条直线和第三条直线所成角相等，以正方体 ADCD-A1B1C1D1为例，过点 A的三条棱 AA1、 AB、 AD当中， AB、 AD与 AA1所成的角相等，都等于 90，但 AB、 AD不平行，故 错误； 对于 ，两条直线与第三条直线都垂直，以
7、正方体 ADCD-A1B1C1D1为例，过点A的三条棱 AA1、 AB、 AD当中，两条直线 AB、 AD都与 AA1垂直，但 AB、AD不平行，故 错误； 对于 ，若直线 a、 b、 c满足 a b且 b c根据立体几何公理 4，可得 a c，说明两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。故 是正确的综上所述，不正确的为 ，故选 B。 考点：命题真假的判断；平行公理。 点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了一些在平面内成立的命题推广到空间能否为真 命题等知识点，属于基础题 若直线 不平行于平面 ，则下列结论成立的是（ ） A平面 内的所有直线都与直线 异面 B平面 内不存在与直线
8、平行的直线 C平面 内的直线都与直线 相交 D平面 内必存在直线与直线 垂直 答案： D 试题分析：若直线 a不平行于平面 ，则直线 a与平面 相交或在平面内， A 内的所有直线均与直线 a异面不正确，也可能相交； B 内不存在与 a平行的直线，不正确，当 a在平面 内就存在与 a平行的直线； C 内的直线均与 a相交，不正确，也可能异面； D平面 内必存在直线与直线 垂直，正确，不论直线 a是在平面 内，还是与平面 相交，都存在与 a垂直的直线。 考点：线面平行的定义。 点评：本题主要考查了我们对线面位置关系的充分把握，同时考查了推理能力，属于基础题 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直
9、观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ） 答案： A 试题分析：由斜二测画法的规则知与 x轴平行或重合的线段与 x轴平行或重合，其长度不变，与 y轴平行或重合的线段与 x轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在 y轴上，可求得其长度为 ，故在平面图中其在 y轴上，且其长度变为原来的 2倍，长度为 2 ，观察四个选项， A选项符合题意故应选 A 考点：斜二测画法。 点评：注意斜二测画法中线段长度的变化。 下列结论正确的是（ ） A各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B以三角形一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等
10、，则该棱锥可能是六棱锥 D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案： D 试题分析： A、如图（ 1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但 它不是棱锥，故 A错误； B、如图（ 2）（ 3）所示，若 ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故 B错误； C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故 C错误； D、根据圆锥母线的定义知，故 D正确 故选 D 考点：空间几何体的结构特征。 点评：我们要充分把握每个空间几何体的结构特征。
11、考查了空间想象能力。 填空题 某圆柱的底面直径为 高为 则它最多能放入半径为 的球 个。 答案： 试题分析：圆柱形圆桶的直径为 4R，故第一层可以放入直径为 2R的球 2个，由于相邻两层四个球的球心正好构成一个棱长为 2R的正四面体 ,故两层球心的连线形成的两条异面直线间距离为： 。设最多能装进 N 层，则由于圆柱形圆桶的高为 42R，则（ N-1） +2R42R， N +1，故 N 的最大值为 29，此时能装入 58个球。 考点：圆柱；球的几何特征。 点评：此题的关键是确定 “层距 ”。本题易将 “层距 ”误认为为 2R。 如图所示的几何体中，四边形 是矩形，平面 平面 ，已知，若 分别是线
12、段 上的动点，则的最小值为 ； 答案： 试题分析： 将四棱锥 E-ABCD的侧面 AED、 DEC、 CEB展开铺平如图， 连接 AB，分别交 CE和 DE于 N、 M点，此时的 的最小。 在 ABE中， AB2=AE2+BE2-2AE BE cos120=9，所以 的最小值为 3. 考点：面面垂直的性质定理。 点评：此题的关键是将三个侧面展开平铺，使 在同一平面上，此时 的最小值即为线段 AB的长。 正方体 中， 是 中点，则 与平面 所成角的正弦值为 ； 答案： 试题分析：连接 交点 O，连接 OE，则 即直线 与平面所成角，在 Rt OEB1中， OE= , ,所以. 考点：直线与平面所
13、成的角。 点评：将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键 已知某几何体的三视图如图所示 ,其中侧视图是等腰直角三角形 ,正视图是直角三角形 ,俯视图 是直角梯形 ,则此几何体的体积为 ；答案： 试题分析：由三视图知，原图形为底面是直角梯形，有一侧棱垂直底面四棱锥。所以几何体的体积为 。 考点：三视图；棱锥的体积公式。 点评：做此题的关键是 : 由三视图正确的还原几何体。考查计算能力，空间想象能力，属于基础题型。 一个边长分别为 3和 4的矩形，以长度为 4的边为母线 ，卷成一个圆柱，则这个圆柱的体积为 ； 答案： 试题分析：由题意知，圆柱的母线长为 4，底面周长为 3，所以底面半径为
14、，所以圆柱的体积为 。 考点：旋转体；圆柱的体积公式。 点评：注意 “以长度为 4的边为母线，卷成一个圆柱 ”和 “以长度为 4的边为旋转轴，旋转成一个圆柱 ”的区别。 球的体积是 ，则球的表面积是 ； 答案： 试题分析：设球的半径为 R，则 ，所以 ，所以球的表面积为 。 考点：球的体积公式；球的表面积公式。 点评：熟记球的球的体积公式和表面积公式，属于基础题型。 若 ，则点 与直线 的位置关系用符号表示为 ； 答案： 试题分析：由公理 3，两个平面若有一个公共点，则有一条过该点的公共直线知，点 P在直线 上，所以 。 考点：公理 3. 点评：本题主要考查了点、线、平面的位置关系的表示点与直
15、线的关系是元素与集合的关系，包括属于、不属于两种关系。 解答题 （本小题 9分）如图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为 4cm的正三角形、俯视图中正方形的边长为 4cm， （ 1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤）； （ 2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少； （ 3）求出这个几何体的表面积。 答案： (1)见； (2) 正四棱锥， ； (3) 48 。 试题分析：（ 1） 3 分 （ 2）正四棱锥 4 分 高为 6 分 （ 3）表面积为 48 9 分 考点：三视图；棱锥的表面积。 点评：解决本题的关键是得到该几何体的形状，易错的地方是确定四棱锥的底面边长与高的
16、大小再就是要注意别忘单位。 （本小题 8分）如图所示，在正三棱柱 中，若 ， ，是 中点。 （ 1）证明： 平面 ； （ 2）求 与 所成的角的大小。 答案：（ 1）见；（ 2） 。 试题分析：（ 1）连接 交 于点 ，连接 正三棱柱 的侧面 是矩形，所以 是 的中点 又 是 中点，所以 中 2 分 平面 ， 平面 ，所以 平面 4 分 （ 2）因为 ，所以 （或其补角）等于 与 所成的角 5 分 计算得： ，所以 ，7 分 所以 与 所成的角为 8 分 （用向量法酌情给分） 考点：线面平行的判断定理；异面直线所成的角。 点评：本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点
17、找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求 （本小题 11 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， , . （ 1）证明： 平面 （ 2）求 和平面 所成角的正弦值 （ 3）求二面角 的正切值； 答案：（ 1）见；（ 2） ；（ 3） 。 试题分析：（ 1） 平面 ，所以 ，又 所以 平面 2 分 （ 2）如图，作 ，交 于点 ， 平面 ， 平面 所以 又 ，所以 平面 所以 是 和平面 所成角 4 分 中， 6 分 所以 和平面 所成角的正弦为 7 分 （ 3）作 交 于点 ，连接 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，所以又 ，所以 平面 ，所以 ， 所以 是二面角 的平面角。
18、9 分 中， , 二面角 的正切值为 11 分 （用向量法酌情给分） 考点：线面垂直的性质定理；线面垂直的判定定理；面面垂直项性质定理；直线与平面所成的角；二面角。 点评：本题主要考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定。解决这类问题的常用方法有：综合法和向量法。本题用的是综合法，当然也可以用向量法。 （本小题 11分）如图，三棱锥 CABD ， CB = CD， AB = AD， BAD = 90。 E、 F分别是 BC、 AC的中点。 （ 1）求证： AC BD； （ 2）若 CA = CB，求证：平面 BCD 平面 ABD （ 3）在 上找一点 M，在 AD上找点 N，使
19、平面 MED/平面 BFN，说明理由；并求出 的值 答案：（ 1）见；（ 2）见；（ 3） 2. 试题分析：（ 1）取 中点 ，连接 中 CB = CD， 是 的中点，所以 同理 中， ，所以 平面 ，所以 3 分 （ 2）当 CA = CB时， 中， 是 的中点，所以 又 ，所以 ，所以 ， 5 分 即 ，又 ，所以 平面 而 平面 BCD， 所以，平面 BCD 平面 ABD7 分 （ 3）取 CF中点 M，连接 MD， ED，在 AD上取点 N，使得9 分 因为 M是 CF中点， E是 BC中点，所以 ME/BF，又 所以 MD/NF，所以平面 MED/平面 BFN 11 分 考点：线面垂直的性质定理；面面垂直的判定定理；线面平行的判判定定理。 点评：本题主要考查了 “线与平面垂直 ”与 “线与线垂直 ”的相互转化，线与平面的平行的判定及 “线线平行 ”与 “线面平行 的转化，考查了空间想象能力、推理论证的能力及对定理的熟练掌握。
