1、2012-2013学年浙江省湖州市菱湖中学高一 12月月考数学试卷与答案（带解析） 选择题 右图中阴影部分表示的集合是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据集合的关系可知，图中阴影部分表示的就是 . 考点：本小题主要考查集合的关系 . 点评：集合的关系是考查的热点内容，可以借助韦恩图解决 . 如图，在 ，设 ， ， 的中点为 ， 的中点为 ，的中点为 ，若 ，则 （ ） A 1 BC D 答案： D 试题分析：设 ，根据向量加法的平行四边形法则，有，所以 考点：本小题主要考查平面向量的加法运算和向量加法的平行四边形法则的应用，考查学生对图形的应用能力和运算求解能力 . 点评：解决本
2、小题的关键是用已知向量表示未知向量 . 设函数 ，集合 ，设 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意知，方程 有 5个实数根，由因为 所以 ，此时方程有根 3，又 ，所以另外 4个根分别为 1和 5， 2和 4，所以 ，所以. 考点：本小题主要考查二次方程根的情况的判断和二次函数根与系数关系的应用，考查学生的推理能力和对问题的转化能力 . 点评 ：解决本小题的关键是方程由三个二次函数组成但只有 5个实数根，所以有一个二次方程有两个相等的实数根 . 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为 “同形 ”函数 .给出四个函数： ， ， ， . 则 “同形 ”函数
3、是（ ） A 与 B 与 C 与 D 与 答案： D 试题分析： ，所以图象向右平移 2个单位，再向上平移一个单位，即可得到 的图象，所以与 为 “同形 ”函数 . 考点：本小题主要考查对数的运算和函数图象的平移变换，考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用 . 点评：函数图象左右、上下平移，都不会改变函数前面的系数 . 如图，在四边形 ABCD中， AB BC， AD DC若 | | a， | | b，则 （ ） A a2-b2 B b2-a2 C a2 b2 D ab 答案： B 试题分析：因为 AD DC，所以 ，所以,又因为AB BC，所以 ,所以 考点：本小题主要考查向量在几何中的
4、应用，考查向量的线性运算及向量的数量积公式 . 点评：解决此类问题，只要利用向量的线性运算及向量的数量积公式，即可得到结论 下列命题正确的是（ ） A 、 都是第二象限角，若 ， 则 B 、 都是第三象限角，若 ，则 C 、 都是第四象限角，若 ，则 D 、 都是第一象限角，若 ，则 答案： C 试题分析：如果 、 都是第二象限角， 所以 ，所以 ，所以 A不正确，同理可以判定 B,D均不正确， C正确 . 考点：本小题主要考查不同象限内角的三角函数值的符号的判断和同角三角函数基本关系式的应用，考查学生的推理能力和转化问题的能力 . 点评：要特别注意三角函数值符号的判断：一全正，二正弦，三正切
5、，四余弦 . 设 ，则 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析：由题意可知， 所以考点：本小题主要考查分段函数的求值，考查学生的运算求解能力 . 点评：对于分段函数求值问题，只要将未知数分别代入各自的表达式中即可 . 函数 的最小正周期为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：，所以函数的最小正周期为 考点：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式和二倍角公式以及三角函数的周期性 . 点评：要考查函数的性质，应该先把所给的式子化成 或的形式再求解 . 函数 的图象（ ） A关于直线对称 B关于直线对称 C关于 轴对称 D关于原点对称 答案： B 试题分析：令 ，
6、当 时， ，所以该函数图象关于直线 对称 . 考点：本小题主要考查三角函数图象的对称性 . 点评：正余弦函数图象的对称轴过最值点，所以本小题也可以将选项代入验证求解 . 已知向量 ，若 与 平行，则实数 的值是（ ） A B C 1 D 2 答案： D 试题分析：因为 与 平行， ， ，所以 ，解得 考点：本小题主要考查向量共线的坐标表示，考查学生的运算求解能力 . 点评：向量共线与垂直是两种特殊的位置关系，也是考查的重点内容，要熟练掌握，灵活应用 . 填空题 定义在 R上的偶函数 满足： 对 都有 ;当 且 时，都有 ，若方程 在区间上恰有 3个不同实根，实数 的取值范围是 . 答案： 试题
7、分析：因为 是偶函数，所以在 中令 可得 ，所以 是周期为 6的周期函数，又当且 时，都有 ，所以该函数在 上递增，所以再 上递减，所以 在 上只有两个实数根，所以若方程在区间 上恰有 3个不同实根，则需要区间长度解得 考点：本小题主要考查根的存在性及根的个数判断和函数奇偶性的性质以及抽象函数及其应用 . 点评：本题是一道抽象函数问题，题目的设计 “小而巧 ”，解题 的关键是巧妙的赋值，利用其奇偶性和所给的关系式得到函数的周期性，再利用周期性求函数值灵活的 “赋值法 ”是解决抽象函数问题的基本方法，属于中档题 设 的三个内角为 A、 B、 C，向量，若 ，则 . 答案： 试题分析：由题意知，所
8、以，所以 . 考点：本小题主要考查向量数量积的坐标运算、和差角公式和辅助角公式的应用以及根据三角函数值求角，考查学生的运算求解能力 . 点评：三角函数中公式较多，要准确掌握，灵活应用 . 若关于 x的方程 = k有 4个不相等的实数根，则实数 k的取值范围是 . 答案： 或 试题分析：先画出函数 的图象截 的部分，然后对称的画出时的图象，再将函数图象在 轴下方的部分对称的折到 轴的上方，就得到了函数 的图象，要使方程 = k有 4个不相等的实数根，只需要函数 的图象与函数 的图象有四个不同的交点即可，根据图象可知，实数 k的取值范围是 或 . 考点：本小题主要考查含绝对值的函数的图象的画法和数
9、形结合求方程根的个数问题，考查学生数形结合思想的应用和对问题的转化能力 . 点评：一般根的个数问题都转化为两个函数图象交点个数问题，本小题的解题关键就是正确画出函数 的图象 . 如图所示，某游乐 园内摩天轮的中心 点距地面的高度为 ，摩天轮做匀速运动 .摩天轮上的一点 自最低点 点起，经过 后，点 的高度（单位： ），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点 的高度在距地面 以上的时间将持续 . 答案： 试题分析：由题意可知， ，所以，所以在摩天轮转动一圈的过程中，点 的高度在距地面 以上的时间将持续 4 . 考点：本小题主要考查利用三角函数的图象和性质解决实际应用题，考查学生对实际问题的转化能力和运
10、算求解能力 . 点评：解决实际问题时，要先根据题意把实际问题转化为熟悉的数学问题 . 函数 ，若 ，则 的值为 . 答案： 试题分析：因为 ，所以所以 . 考点：本小题主要考查利用函数的性质求函数值，考查学生的运算求解能力 . 点评：解决本小题的关键是根据已知条件求出 ，进而求解即可 . 若 ，则 . 答案： 试题分析： 所以考点：本小题主要考查同角三角函数基本关系式的应用和二倍角的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：本小题中用到的求 的方法在解题时要注意灵活应用 . 满足 的实数 的取值范围是 . 答案： 或 试题分析： ，显然 时不等式成立，若 ，则不等式可化为 考点：本小题
11、主要考查不等式的求解，考查学生的运算能力 . 点评：本小题也可以转化为高次不等式求解，但是不如这样求解简单 . 解答题 已知集合 ， ( )若 ，求 ； ( )若 ，求实数 的取值范围 答案： ( ) ( ) (-， 2 试题分析： (1) 因为 ，所以 ， 又 ，所以 (2)若 M ，由 ，得 N M，所以 .解得 ； 当 M ，即 时， ，此时有 N M，所以 为所求 综上，实数 a的取值范围是 (-， 2 考点：本小题主要考查二次不等式的求解和集合的运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：集合的运算要借助于数轴进行 . 已知函数 （其中 ）图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，且图象上一个最
12、高点的坐标为 . (1)求 的式； (2)将函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，求函数 的单调递减区间 . 答案： ; (2) 试题分析：（ 1）由题意知，函数的周期为 ，所以 ， 2 分 因为图象上一个最高点的坐标为 ， 所以 ， 所以 7 分 （ 2）将函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数， 10 分 令 ， 解得函数的单调递减区间为 . 14 分 考点：本小题主要考查由三角函数图象求三角函数式和由式求函数的性质，考查学生数形结合思想的应用 . 点评：求参数时要注意参数的取值范围，求单调区间时要注意不要忘记 已知函数 （ 1）判断函数 的单调性并用函数单调性定义加以证明；
13、 （ 2）若 在 上的值域是 ，求 的值 ; （ 3）当 ，若 在 上的值域是 ，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）根据函数单调性定义可以证明函数是单调递增的（ 2）（ 3） 试题分析：（ 1）设 ，则 ， , 在 上是单调递增的 . 4 分 （ 2） 在 上单调递增， ，易得 . 8 分 (3) 依题意得 ， 又 方程 有两个不等正实数根 ， 又 ，对称轴 ， 实数 的取值范围为 . 14 分 注意：利用对勾函数求出答案：同样给分 . 考点：本小题主要考查函数单调性的判断和证明、利用函数的单调性求参数和参数的取值范围，考查学生综合应用函数的性质解决问题的能力 . 点评：证明函数的单调性要
14、严格按照定义来证明，求参数或参数的取值范围时要适当转化问题 . 已知两个不共线的向量 满足 ， （ 1）若 与 垂直，求向量 与 的夹角 ； （ 2）当 时，若存在两个不同的 使得 成立，求正数的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由已知 ，又 ，得， 3 分 ， 5 分 又 的夹角为 . 7 分 （ 2）由已知得 ，即 , 由于 ， ， ， . 11 分 由 得 ，又 要有两解，结合三角函数图象可得 故 ， 13 分 即 ,又 ， . 15 分 考点：本小题主要考查平面向量数量积的计算和应用、三角函数图象和性质的应用，考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用 . 点评
15、：求向量的夹角时，要注意向量的夹角的取值范围；求参数的取值范围时，要结合三角函数图象，数形结合进行解题 . 已知函数 （ 1）若关于 的方程 只有一个实数解，求实数 的取值范围； （ 2）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）探究函数 在区间 上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤） 答案：（ 1） （ 2） （ 3）当 时， 在 上的最大值为； 当 时， 在 上的最大值为 ； 当 时， 在 上的最大值为 0. 试题分析：（ 1）方程 ，即 ，变形得， 显然， 已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解， 即要求方程 有且仅有一个等于 1的解或无解， 结合图形得 . 4 分
16、（ 2）不等式 对 恒成立，即 （ *）对 恒成立， 当 时，（ *）显然成立，此时 ； 当 时，（ *）可变形为 ，令 因为当 时， ，当 时， ， 所以 ，故此时 . 综合 ，得所求实数 的取值范围是 . 8 分 （ 3）因为 = 10分 当 时，结合图形可知 在 上递减，在 上递增， 且 ，经比较，此时 在 上的最大值为 . 当 时，结合图形可知 在 ， 上递减， 在 ， 上递增，且 ， ， 经比较，知此时 在 上的最大值为 . 当 时，结合图形可知 在 ， 上递减， 在 ， 上递增，且 ， ， 经比较，知此时 在 上的最大值为 . 当 时，结合图形可知 在 ， 上递减， 在 ， 上递增，且 , ， 经比较，知此时 在 相关试题 2012-2013学年浙江省湖州市菱湖中学高一 12月月考数学试卷（带）
