1、2012-2013学年浙江省绍兴一中分校高二 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 双曲线 的焦点坐标是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为双曲线方程为 ，因此可知故其有两个焦点，分别是 ，因此选 C. 考点：本题主要是考查双曲线的几何性质的运用。 点评：解决该试题的关键是理解双曲线中 a， b表示的值，以及 a,b,c的关系的运用。 已知正方体 棱长为 1，点 在 上，且 ，点在平面 内，动点 到直线 的距离与 到点 的距离的平方差等于1，则动点 的轨迹是（ ） A圆 B抛物线 C双曲线 D直线 答案： B 试题分析：作 PN AD，则 PN 面 A1D1DA，作 N
2、H A1D1 ， N， H为垂足则由三垂线定理可得 PH A1D1 以 AB， AD， AA1 为 x轴， y轴， z轴，建立空间坐标系，设 P（ x， y， 0），由题意可得 M（ ， 0， 0） 再由 PN2+NH2=PH2， PH2-PM2=1，可得 PN2+NH2-PM2=1， 即 x2 +1-(x- )2+(y-0)2=1，化简可得 y2= x- ，故答案：为 B 考点：本题主要是考查点轨迹方程的求法。属于中档题 点评：解决该试题的关键是得到 x2+1-(x- )2+(y-0)2=1，以 AB， AD， AA1 为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间坐标系，设 P（ x， y， 0）
3、，由题意可得 M（ ， 0，0），由题意可得（ y2+1） -(x- )2+(y-0)2=1，化简可得结果 如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列判断错误的是（ ） A 与 垂直 B 与 垂直 C 与 平行 D 与 平行 答案： D 试题分析：如图： 连接 C1D， BD，在三角形 C1DB中， MN BD，故 C正确； CC1 平面 ABCD， CC1 BD， MN 与 CC1垂直，故 A正确； AC BD， MN BD， MN 与 AC 垂直， B正确； A1B1与 BD异面， MN BD， MN 与 A1B1不可能平行， D错误 故选 D 考点：本题主要是考查正方体中的线面关系，线
4、线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系， 点评：解决该试题的关键是熟记正方体的性质，先利用三角形中位线定理证明MN BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明 MN 与 CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明 MN 与 AC 垂直。 正方体 ABCD-A1B1C1D1中， M为棱 AB的中点，则异面直线 DM与 所成角的余弦值为（） A B C D 答案： B 试题分析：取 CD的中点为 N，连接 BN， 因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， M为棱 AB的中点， 所以 DM BN， 所以异面直线 DM与 D1B所成角等于直线 BN 与 D1B所成角 设正方体的棱长为 2，所以
5、 D1N= ， BN= ， D1B=2 ， 所以在 D1BN 中，由余弦定理可得： cos D1BN= ，故选 B 考点：本题主要是考查异面直线及其所成的角，解决此题题的关键是通过平移作出与异面直线所成角相等或者互补的角，再利用解三角形的有关求出角，此题也可以建立空间直角坐标系，利用向量之间的运算求出异面直线的夹角，此题考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力 点评：解决该试题的关键是取 CD的中点为 N，连接 BN，根据题意并且结合正方体的结构特征可得 DM BN，所以异面直线 DM与 D1B所成角等于直线 BN与 D1B所成角或者其补角，再利用解三角形的有关知识求出答案： 图中多面体是过正
6、四棱柱的底面正方形 ABCD的顶点 A作截面 AB1C1D1而截得的，且 B1B=D1D。已知截面 AB1C1D1与底面 ABCD成 30度的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作 D1E DC，连接 B1D1， B1E， BD，则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱 截面 AB1C1D1与底面成 30的二面角， CAC1=30 AB=1, DD1= ， CC1= VA-BDD1B1= VBDC-B1D1C1= 多面体的体积为 ,故选 D 考点：本题主要是考查几何体的体积，关键是将几何体进行分割，利用规则几何体的体积公式求解 点评：解决该试题的关键是
7、作 D1E DC，连接 B1D1， B1E， BD，则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱，分别求出两个棱锥与一个棱柱的体积，即可得多面体的体积 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为根据双曲线的方程为 ，那么可知道双曲线焦点在 x轴，由渐近线方程可得 ,两边平方，可得 e= ,故选 A 考点：本题主要是考查双曲线的渐近线方程和离心率 公式，涉及 a， b， c间的关系，比较简单。 点评：解决该试题的关键是由题设条件可知双曲线焦点在 x轴，可得 a、 b的关系，进而由离心率的公式，计算可得答案： 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则
8、下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由三视图的正视图和侧视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，只能是圆柱、和四棱柱，或三棱柱， 因而 不正确故选 D 考点：本题主要是考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题 点评：解决该试题的关键是由三视图的正视图和侧视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，判断，可得出选项 已知直线 l， m，平面 ， ，且 l ， m ，给出四个命题：（ ） 若 ，则 l m； 若 l m，则 ； 若 ，则 l m； 其中真命题的个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 答案： C 试题分析：对于直线
9、l， m，平面 ， ，且 l ， m ，那么当 若 ，则根据面面平行，可知 l ，则 l m；利用线垂直的性质定理得到结论，成立。 若 l m，则 ；也可能面面是相交的时候，不成立， 若 ，则 l m，两直线的情况还可能是相交，或者异面，因此不成立，选C. 考点：本题主要是考查空间中点，线面的位置关系的判定和运用。 点评：解决该试题的关键是理解诶线面垂直的性质定理，和线线平行的判定定理的运用，面面平行的判定定理的熟练运用。 若 ，则直线 被圆 所截得的弦长为（ ） A B CD 答案： B 试题分析：因为 ，而圆的方程中圆心为原点，半径为 1，那么则利用 点到直线 的距离公式可知 ,同时达到，
10、则 可知圆心到直线的距离小于圆的半径 1，可知直线与圆相交，且半弦长为，那么可知截得的弦长为 1，选 B。 考点：本题主要是考查直线与圆的位置关系的运用。 点评：解决该试题的关键是理解直线与圆的位置关系的判定就是看圆心到直线的距离与圆的 半径的大小关系的运用。 抛物线 的准线方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为抛物线的标准方程为： x2=8y，焦点在 y轴上； 所以： 2p=8，即 p=4， 所以： ， 准线方程 y=- ，即 y=-2故答案：为 A 考点：本题主要是考查抛物线的基本性质 点评：解决该试题的关键是解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置然后确定焦点的纵坐
11、标是 2p的四分之一。 填空题 如图，二面角 的大小是 60，线段 . ， AB与 所成的角为 30.则 与平面 所成的角的正弦值是 . 答案： 试题分析：过点 A作平面 的垂线，垂足为 C， 在 内过 C作 l的垂线垂足为 D 连接 AD，有三垂线定理可知 AD l， 故 ADC 为二面角 -l-的平面角，为 60 又由已知， ABD=30 连接 CB，则 ABC为 AB与平面 所成的角 设 AD=2，则 AC= ， CD=1， AB= =4 sin ABC= = ；故答案：为 考点：本题主要是考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属
12、于基础题 点评：解决该试题的关键是过点 A作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C作l的垂线垂足为 D，连接 AD，从而 ADC为二面角 -l-的平面角，连接 CB，则 ABC为 AB与平面 所成的角，在直角三角形 ABC中求出此角即可 已知空间四边形 ，点 分别为 的中点，且，用 ， ， 表示 ，则 =_。 答案： 试题分析：根据向量的加法法则和减法法则，得到，因此答案：为 考点：本题主要是考查向量加法和减法的三角形法则，基底的概念以及空间向量基本定理的应用 点评：解决该试题的关键是利用向量加法、减法的三角形法则可得，注意利用封闭图形，得到向量的加法和减法的表示得到结论。 如图，已知球 O
13、的球面上四点 A， B， C， D， DA 平面 ABC， AB BC，DA=AB=BC= , 则球 O 的表面积等于 _. 答案： 试题分析：由题意画出图形如图，因为三棱锥 D-ABC的顶 点都在球 O 的球面上， DA 平面 ABC， AB BC， DA=AB=BC= ,可知球的直径为 ，因此其半径为 ，那么可知球的表面积为 ，故答案：为 考点：本题主要是考查直线与平面垂直的性质，球的内接几何体与球的关系，考查空间想象能力，计算能力 点评：解决该试题的关键是画出图形，把三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的体对角线就是球的直径，由此能求出球 O 的表面积 如图，四边
14、形 中， ， ， .将四边形 沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，则与平面 所成的角的正弦值为 答案： 试题分析：因为四边形 中， ， ， ， B A AD，因为使平面 平面 ，则利用其性质定理可知，取 BC 中点，连接 AG,DG，则可知 BC 垂直于平面 AGD，然后利用到交线做垂线段可知， 与平面 所成的角的正弦值为 ，故答案：为 考点：本题主要是考查线面所成的角的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力 点评：解决该试题的关键是根据面面垂直作出直线 与平面 所成的角，然后借助于解三角形得到结论。 若某几何体的三视图（单位： cm）如右图所示，则该几何体的体积为 cm2 答案： 试
15、题分析 ：由三视图知，该几何体为圆柱上面加上一个圆锥， 圆柱底面直径为 2，高为 2，圆锥母线为 2，高为 ，所以体积为122+ =(2+ )故答案：为： (2+ ) 考点：本题主要是考查三视图求几何体的表面积、体积，考查计算能力，空间想象能力， 点评：解决该试题的关键是三视图复原几何体。由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱，底面直径为 2，高为 2，上面是圆锥，母线为 2的简单组合体 已知 、 为椭圆的两个焦点，过 作椭圆的弦 ，若的周长为 ，则该椭圆的标准方程为 . 答案： 试题分析：因为根据题意可知， 、 为椭圆的两个焦点，则可知c=2，同时由于过 作椭圆的弦 ，若 的周长为 ，
16、那么利用椭圆的定义可知， 16=4a,a=4，因此利用 ，因此可知椭圆的焦点在 y轴上，那么方程为 ，故答案：为 。 考点：本题主要是考查椭圆的定义和椭圆方程的求解的运用。 点评：解决该试题的关键是理解焦点坐标得到参数 c的值，同时利用 的周长为 4a，得到 a=4，进而利用 a,b,c的关系得到结论。 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则 m . 答案： 试题分析：抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，抛物 线上一点（ m， 4）， 设抛物线的方程为： x2=2py（ p 0）， 其准线方程为： y= - ， 抛物线上一点 P（ m， 4）到焦点 F的距离等于 5， 由抛物线的定义得：
17、|PF|= +4=5 p=2， 所求抛物线的方程为 x2=4y,将 x=m代入式中，得到 ，故答案：为。 考点：本题主要是考查抛物线的简单性质， 属于中档题 点评：解决该试题的关键是考查待定系数法，突出考查抛物线的定义的理解与应用，求得 p的值 . 解答题 （本题满分 9分）已知顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线过点 (1)求抛物线的标准方程； (2)过点 作直线交抛物线于 两点，使得 恰好平分线段 ，求直线的方程 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）设抛物线方程为 x2=2py（ p 0），由已知得： 4=2p1，则2p=4，由此能求出抛物线方程 （ 2）由 与直线 AB 联立方
18、程组，再由根的判别式和韦达定理进行求解 （ 1）解： ；（ 2） 考点：本题主要是考查抛物线的方程以及几何性质的运用，直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用， 点评：解决该试题的关键是解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化 （本题满分 10分） 在长方体 中， 分别是 的中点， ， . （ ）求证： /平面 ； （ ）在线段 上是否存在点 ，使直线 与 垂直， 如果存在，求线段 的长，如果不存在，请说明理由 . 答案：（ ）见；（ ） . 试题分析：（ 1）根据已知中的长方体的性质，结合线线平行，得到线面平行的证明。 （ 2）由于根据已知条件可知线 A1D1垂直于平面 CD
19、1,进而利用性质定理得到线线垂直，相似来求解长度。 解：（ ）连接 ，在长方体 中， ,则四边形 是平行四边形， ,又 分别是的中点 , ，又 面 ， 面 ， /平面 (3分 ) （ ）在平面 中作 交 于 ，过 作 交 于点，连 而 又 为直角梯形，且高 .（ 10分） 考点：本题主要是考查线面平行的判定以及线线垂直的证明运用。 点评：解决该试题的关键是熟练的利用线面平行的判定定理，得到线线平行进而得到证明，同时线面的垂直，结合相似得到求解。 （本题满分 10分 ) 如图，在平行四边形 中，将 沿 折起到 的位置，使平面平面 . （ 1）求二面角 E-AB-D的大小； （ 2）求四面体 的表
20、面积和体积 . 答案：（ 1） （或证 即为 .（ 2） ，V= 试题分析：（ 1）在 中， ， 因为平面 平面 ，所以 平面 ， . 即为二面角 的平面角 . 解三角形得到。 （ 2）在第一问的基础上，进一步得到体高，和边长，求解表面积和体积。 （ 1）在 中， ， . ， 因为平面 平面 ，所以 平面 ， . 即为二面角 的平面角 . 又 ， ，而 ， ， 故在直角三角形 中， ， （或证即为 . （ 2） ， V= 考点：本题主要是考查二面角的平面角的求解，以及四面体的表面积和体积的运算问题。 点评：解决该试题的关键是利用三垂线定理作出二面角的平面角，以及利用特殊三角形的面积得到表面积和
21、四面体体积。 （本题满分 10分）如图，已知四棱锥 底面 为菱形，平面 ， ， 分别是 、 的中点 . (1)证明： (2)设 ， 若 为线段 上的动点， 与平面 所成的最大角的正切值为 ，求此时异面直线 AE和 CH所成的角 . 答案：（ 1）证明：见；（ 2）异面直线所成角 300 试题分析：（ I）根据题意可得： ABC为正三角形，所以 AE BC，又因为BC AD，所以 AE AD又 PA AE，且 PAAD=A，所以 AE 平面 PAD，进而可得答案：； （ ）先根据条件由（ 1）知 AE 平面 PAD， 则 EHA为 EH与平面 PAD所成的角 . 在 Rt EAH中， AE= ，
22、所以 当 AH最短时， EHA最大进而得到异面直线的所成的角。 （ 1）证明：由四边形 ABCD为菱形， ABC=60， 可得 ABC为正三角形 .因为 E为 BC 的中点， 所以 AE BC.又 BC AD，因此 AE AD. 因为 PA 平面 ABCD， AE 平面 ABCD，所以 PA AE.而 PA 平面 PAD， AD 平面 PAD 且 PAAD=A，所以 AE 平面 PAD， 又 PD 平面 PAD.所以 AE PD. （ 2）解：设 AB=2， H为 PD上任意一点， 连接 AH， EH. 由（ 1）知 AE 平面 PAD， 则 EHA为 EH与平面 PAD所成的角 . 在 Rt
23、 EAH中， AE= ，所以 当 AH最短时， EHA最大， 即当 AH PD时， EHA最大 .此时 tan EHA= 因此 AH= .又 AD=2，所以 ADH=45所以 PA=2. 异面直线所成角 300 考点：本题主要是考查线面垂直的证明以及异面直线所成的角的求解。 点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题 （本题 10分）已知 ，动点 满足 ，设动点 的轨迹是曲线 ，直线 ： 与曲线 交于 两点 .（ 1）求曲线 的方程； （ 2）若 ，求实数 的值； （ 3）过点 作直线 与 垂直，
24、且直线 与曲线 交于 两点，求四边形面积的最大值 . 答案：（ 1）曲线 的方程为 ；（ 2） 。 （ 3）当 时，四边形 面积有最大值 7. 试题分析：（ 1）设 为曲线 上任一点，则由 ，化简整理得 。 （ 2）因为根据向量的关系式， ，所以， 所以圆心到直线 的距离，所以 （ 3）对参数 k，分情况讨论，当 时， ,当 时，圆心到直线 的距离 ，所以，同理得 |PQ|，求解四边形的面积。 解：（ 1）设 为曲线 上任一点，则由 ，化简整理得 。 曲线 的方程为 -3分 （ 2）因为 ，所以 ，所以圆心到直线 的距离 ，所以 。 -6分 （ 3）当 时， , 当 时，圆心到直线 的距离 ，所以，同理得 所以 =7当且仅当 时取等号。 所以当 时， 综上，当 时，四边形 面积有最大值 7. -11 考点：本题主要是考查轨迹方程的求解，已知直线与圆的位置关系的运用。 点评：解决该试题的关键是设出所求点满足的关系式，化简得到轨迹方程，同时利用联立方程组的思想得到长度和面积的表示。
