1、2012-2013学年湖北仙桃毛嘴高中高一上学业水平监测试数学试卷与答案（带解析） 选择题 成等比数列，其中 则 （ ） A B C D 或 答案： D 试题分析：因为 成等比数列，所以 所以或 . 考点：本小题主要考查等比中项的概念和应用 . 点评：要注意等比中项只要有就是互为相反数的两个，这点要和等差数列相区别 . 已知 ，则 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： ，所以考点：本小题主要考查诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，考查学生对公式的掌握和应用能力 . 点评：三角函数公式很多，要牢固掌握并且灵活应用 . 锐角 使 同时成立，则 的值为 ( ) A B C D 答案： B 试
2、题分析： ，所以，所以 ，所以是 的两个根，解得 又因为 为锐角，所以 考点：本小题主要考查两角和的正切公式的应用和已知三角函数值求角，考查学生的转化能力和运算能力 . 点评：因为三角函数不是单调函数，所以知道三角函数值求角时要先看角的取值范围，否则答案：不唯一 . 某市环保局为增加城市的 地面积，提出两个投资方案：方案 A为一次性投资 100万元；方案 B为第一年投资 10 万元，以后每年都比前一年增加 10万元。则按照方案 B经过多少年后，总投入不少于方案 A的投入。答曰： ( ) A 4 B 5 C 9 D 10 答案： A 试题分析：方案 A的总投入为 100万元，方案 B每年的投入为
3、首项为 10，公差为 10 的等差数列，所以 年方案 B 的总投入为 万元，要使 ，可以解得 ，所以经过 4年后，总投入不少于方案 A的投入 . 考点：本小题主要考查等差数列的通项公式和等差数列的实际应用，考查学生分析 问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：等差数列是比较重要的一类数列，它的基本量的运算一定要灵活掌握 . 给出下列命题，其中正确的是 ( ) A若 ,则 ； B若 ,则 ； C若 ,则 ； D若 ,则 . 答案： C 试题分析：若 ,则 ，两边同时除以 ，得 ，所以 ，所以选项 C 正确，而对于另外三个选项，可以举反例说明是不正确的 . 考点：本小题主要考查不等式的性质，
4、考查学生的逻辑思维能力和推理论证能力 . 点评：利用不等式的性质时一定要记清性质的限制条件，尤其是符号问题 . 在 中 则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：在 中 所以 ,因为 ，所以 ,所以 ，所以考点：本小题主要考查三角形内角和定理、同角三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：解决本题的关键是判断出角 为锐角，否则可能会出现两个答案： . 远望灯塔高七层，红光点点倍加增，只见顶层灯一盏，请问共有几盏灯？答曰： ( ) A 64 B 128 C 63 D 127 答案： D 试题分析：从上往下数，第一层（顶层）一盏灯，第二层应该
5、有 2盏等，第三层应该有 4盏灯， 第 7层应该有 盏灯，所以共有盏灯 . 考点：本小题主要考查等比数列的实际应用和等比数列前 项和公式的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：应用等比数列的前 项和公式时，要分清公比是否为 已知平行四边形 的三个顶点的坐标分别为 ， , ,则顶点 的坐标为 ( ) A（ 2,2） B (-2,2) C (2,-2) D (-2,-2) 答案： A 试题分析：平行四边形 的对角线互相平分，由中点坐标公式得 的中点为 ,也是 的中点，可知顶点 的坐标为 . 考点：本小题主要考查平行四 边形的性质和中点坐标公式的应用 . 点评：本题也可以设
6、出点 的坐标，利用向量相等解决，不过不如用中点坐标公式简单 . 已知集合 ， ，则 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： ,所以 . 考点：本小题主要考查简单的分式不等式、二次不等式的解法和集合的运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：求解简单的分式不等式时要注意转化的等价性，求集合的交集时，要借助于数轴辅助解决 . 填空题 在 中 分别为角 所对的边 ,已知 ，且的面积为 ，则 答案： 或 试题分析：因为 ，由余弦定理有：，整理得： ，所以，所以 所以 或 . 考点：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：正弦定理、余弦定理是
7、高考中的必考内容，应用时要灵活，要根据所给的条件决定是把边化成角，还是把角化成边，一般来说，把边化成角运算比较简单 . 已知关于 的不等式 ，对一切实数 都成立，则 的取值范围是 答案： 试题分析：当 时，原不等式化为 ，成立； 当 时，要使不等式 ，对一切实数 都成立，需要，解得 ，综上所述， 的取值范围是. 考点：本小题主要考查不等式恒成立问题 . 点评：不等式恒成立问题，可以用二次函数的知识解决，也可以转化成函数求最值问题解决，需要注意的是，用二次函数知识解决时，不要忘记讨论二次项系数是否为零 . 答案： 试题分析：= 考点：本小题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算
8、求解能力 . 点评：解决本题的关键是看出 ，运算比较复杂，要耐心更要细心 . 若 ，则 答案： -2或 试题分析： 解得 -2或 . 考点：本小题主要考查二倍角的正切公式和两角和的正切公式的应用 . 点评：二倍角的正余弦、正切公式经常用到，要灵活应用 . 设等差数列 的前 n项和为 已知 则 答案： 试题分析：等差数列中 也成等差数列，所以成等差数列，所以 ，代入解得 100. 考点：本小题主要考查等差数列的性质的应用 . 点评：等差数列是一类特殊而且重要的数列，利用等差数列的性质解题是高考考查的重点内容 . 函数 在区间 上单调递减 ( ) A B (- C D 答案： D 试题分析：，令
9、， 解得 ,令 得函数在 上单调递增 . 考点：本小题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式、辅助角公式的应用和由三角函数图象考查三角函数的性质，考查学生的运算求解能力和数形结合分析问题、解决问题的能力 . 点评：要考查三角函数的性质，必须化成 的形式，然后借助三角函数的图象解决，还需要注意的是本题的 只是所求出的单调区间的一部分，并不是完整的一个单调区间 . 解答题 （本题满分 14分） 在等差数列 中，已知 。 （ ）求通项 和前 n项和 ； （ ）求 的最大值以及取得最大值时的序号 的值； （ ）求数列 的前 n项和 . 答案：（ ） （ ） 或 时（ ） 试题分析：（ ）设等差数列 的公差
10、为 ， 因为 ，所以 ,所以2 分 又因为 所以 4 分 （ ） 又因为 ，所以 或 时， 9 分 （ ） 令 ，也就是 ， 所以当 时， = 当 时， = 综上所述，数列 的前 n项和 . 14 分 考点：本小题主要考查等差数列的通项公式、前 项和的计算，和前 项和的最值的求法和带绝对值的数列的前 项和的计算，考查了学生的运算求解能力和分类讨论思想的应用 . 点评：本题第（ ）问也可以令 得 ，所以数列前 7项或前 8项的和最大，这是从数列的项的观点来求解，当然也可以从二次函数的观点来求解 .第（ ）问中数列带绝对值，解题的关键是分清从第几项开始数列的项开始变号 . （本题满分 13 分）
11、据气象部门预报，在距离某码头南偏东 方向 600km处的热带风暴中心，正以每小时 20km的速度向正北方向移动，距风暴中心 450km以内的地区都将受到影响，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴中心的影响，影响多长时间？（精确到 0.1h） 答案：从现在起 小时后，该码头将受到热带风暴中心的影响，影响小时 试题分析：以码头为原点 ，正东方向 为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，记现在热带风暴中心的位置为点 ， 小时后热带风暴到达 点位置。 在 中， ， , . 2 分 根据余弦定理，得 整理，得 ， 6 分 解之，得 ， 10 分 , . 12 分 答 : 从现在起 小时后，该码头将受到热
12、带风暴中心的影响，影响 小时 . 13 分 考点：本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理和解三角形解决实际应用问题，考查学生由实际问题向数学问题转化的能力和运算求解能力 . 点评：解决实际应用题的关键是耐心读题，然后从实际问题中抽象出数学模型 . (本题满 分 12 分 ) 已知 （ ）将 化成 的形式； （ ）求 的最小正周期和最大值以及取得最大值时的 的值； （ ）求 的单调递增区间。 答案：（ ） （ ） ，（ ） 试题分析：（ ） （ ）因为 所以周期 ， 当 即 时取到最大值 . （ ）令 ,解得 ，所以函数大单调递增区间为 . 考点：本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查性质之前用
13、到两角和与差的正弦、余弦公式和辅助角公式等先化简，考查学生灵活运用公式的能力和数形结合考查图象和性质的能力 . 点评：考查三角函数的图象和性质，一定要先把函数化为 或的形式，然后结合三角函数的图象和性质求解 . (本题满分 12 分 ) 如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 的俯角分别为 ，如果这时气球的高度 米，求河流的宽度 . 答案： 米 试题分析：设 A在地面上的射影为 D，则 AD=h，由题设 ， 2 分 在 中由正弦定理得， 6 分 将已知数据代入计算，得 ， 所以河流的宽度为 米 . 12 分 考点：本小题主要考查利用正弦定理解实际应用题，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点
14、评：要利用正弦定理解实际应用题，关键是从实际问题中抽象出三角形，即抽象出数学模型 . (本题满分 12 分 ) 已知数列 为等比数列，且首项为 ，公比为 ，前 项和为 . （ ）试用 ， ， 表示前 项和 ； （ ）证明 ( )中所写出的等比数列的前 项和公式。 答案：（ ） （ ）见 试题分析：（ ） 4 分 （ ）证明：当 时， 所以 ； 当 时， ，（ 1） 所以 ，（ 2） 得： ，所以 综上所述， . 12 分 考点：本小题主要考查等比数列的前 项和公式及其公式的推导过程，考查学生的逻辑推理能力和论证能力 . 点评：推导等比数列的前 项和公式的方法是 “错位相减法 ”，这种方法在数列
15、求和中经常用到，但是由于往往运算量比较大，很多学生出错，所以要多加练习，熟能生巧 . (本题满分 12 分 ) （ 1）计算 ， （ 2）已知 ,求 sin 的值。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： （ 1）原式 =3 分 6 分 （ 2） 10 分 12 分 考点：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、辅助角公式、同角三角函数的基本关系式和已知三角函数值求角以及已知角求值，考查学生综合运用公式的能力和运算求解能力 . 点评： “遇切化弦 ”是本小题的解题关键，另外要灵活准确的利用三角函数公式求解 . （本题满分 14分） 已知数列 满足 （ ）证明：数列 为等比数列； （ ）求数列 的
16、通项 以及前 n项和 ； （ ）如果对任意的正整数 都有 求 的取值范围。 答案：（ ）见（ ） ，（ ） 试题分析：（ ）证明：由 得 所以数列 为等比数列且首项为 2，公比为 2. 4 分 （ ）由（ ）得 = 所以 利用分组求和可得： 9 分 （ ）由 ，得 （ 10分） 令 则 当 时 ,当 时 综合，得：当 时， ) ,即 时， , 所以 为单调递增数列，故 ，即所求 的取值范围是. 14 分 考点：本小题主要考查等比数列的证明、构造新数列、用函数的观点考查数列的单调性、恒成立问题求参数的值以及数列中的基本计算问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和转化思想的应用 . 点评：要证明等差或等比数列，只能用定义或等差、等比数列的中项，恒成立问题一般转化为求最 值问题解决，而数列是一种特殊的函数，可以用函数的观点考查数列的单调性进而求最值 .
