1、2012-2013学年湖南邵阳石齐学校高二第三次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 “ ”的否定是（ ） A B C D 答案： A. 试题分析：已知命题为特称命题，特称命题的否定为全称命题。因此选 A。 考点：本题考查特称命题的否定。 点评：要注意命题的否定和否命题的区别，尤其是全称命题、特称命题的否定。 如图，已知点 ，过点 C作两条互相垂直的直线 ， 分别与轴、 轴交于点 A、 ，设点 是线段 的中点，则点 M的轨迹方程为（ ） A B C D 答案： A. 试题分析：设 ，则 ，因为 与 垂直，所以 ,即 考点：本题考查两直线垂直的充要条件和轨迹方程的求法。 点评：求曲线的轨迹方
2、程是几何的基本问题之一。本题主要考查利用 “相关点法 ”求曲线的轨迹方程。相关点法：用动点 Q 的坐标 x， y 表示相关点 P 的坐标 x0、y0，然后代入点 P的坐标（ x0， y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点 Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法 已知双曲线 C ： - =1的焦距为 10 ，点 P （ 2,1）在 C 的渐近线上，则C的方程为 ( ) A - =1 B - =1 C - =1 D - =1 答案： A. 试题分析：因为双曲线 C ： - =1的焦距为 10，所以 2c=10，即 c=5.所以焦点坐标为 F1 和 F2 ，由双曲线的定义得： 2a= =4
3、 ,即a= ，所以 b= ,所以 C的方程为 - =1。 考点：本题考查双曲线的定义和简单性质。 点评：在做题时很多同学误认为焦距为 c，导致出错。实际上焦距是 2c，实轴长为 2a，虚轴长为 2b。 在正方体 中， 是棱 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ） A B C D 答案： B. 试题分析：在正方体 中，连接 ，则 ED1C即为异面直线与 所成角。设正方体 的边长为 1，则在 ED1C中，, ,EC= ，所以由余弦定理，得： cos ED1C= 。 考点：本题考查异面直线所成的角和余弦定理。 点评：两异面直线所成角的范围为 ，当求得某个角的余弦值为负时，则这个角的补角才是异面直所成
4、的角。 数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ） A 1 BC D 答案： B. 试题分析：因为 = ，所以 =。 考点：本题考查前 n项和的求法：裂项法。 点评：常见的裂项公式： ， ， ， 。 不等式 - x -3 x -40的解集为 ( ) A B C D 答案： B. 试题分析：因为 x -3 x -4= ，所以不等式的解集为。 考点：本题考查一元二次不等式的解法。 点评：在解一元二次不等式时，要注意二次项系数与两根的大小。 在 ABC中， a ， b ， B 45，则 A等于 ( ) A 30 B 60 C 60或 120 D 30或 150 答案： C. 试题分析：由正弦定理，得
5、： ，又因为 A为三角形的内角，所以 A=60或 120。 考点：本题考查正弦定理。 点评：正弦定理通常用来解决： 已知两角和任一边，求另一角和其他两边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。对于 这种类型的题，一定要注意判断解的个数，其实这种情况下用余弦定理更好些，可以免掉判断解的个数。 设 ，则 为（ ） A B C D 答案： D. 试题分析：因为 ，所以 ，所以 。 考点：本题考查求导公式。 点评：直接应用求导公式计算，属于基础题目。但一定要把求导公式和导数的运算法则记熟。 填空题 （本小题满分 12分）已知等比数列 ，公比 ，且， 求公比 q和前 6项和 . 答案： q 2
6、 、 126。 试题分析：在等比数列 中， ，联立 ，因为 ，所以解得： ，所以 ， 126。 考点：本题考查等比数列的性质：若 ，则 ；等比数列的前 n项和。 点评：直接考查等比数列的一些基本性质，我们要熟记公式和基本性质，属于较简单题型。 双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为 . 答案： 试题分析：在 MF1F2中，因为 MF1F2=300， ,F1F2=2c，所以 MF1= ，MF2= ，由双曲线的定义得： ,所以 。 考点：本题考查双曲线的定义和离心率。 点评：本题直接考查了双曲线的简单性质及定义，属基础题
7、。 在平行六面体 中， ， ，则 的长为 答案： 试题分析：连接 AC、 A1C1，在 ADC 中，有余弦定理得： AC= ,所以在RT AA1C1中 ,AC1= 。 考点：本题考查余弦定理和空间几何的一些简单性质。 点评：本题主要考查了体对角线的求解，以及余弦定理的应用，同时考查了空间想象能力，计算推理的能力，属于中档题。 已知椭圆 ，若其长轴在 轴上 .焦距为 ，则 等于_。 答案： . 试题分析：因为椭圆的长轴在 轴上，所以 ，又由，解得 m=8. 考点：本题考查椭圆的标准方程及其性质。 点评：设椭圆方程为 ，若椭圆的焦点在 x轴上，则；若椭圆的焦点在 y轴上，则 .在不知道焦点在那个轴
8、上的时候， m和 n谁大焦点就在谁轴上。 曲线 在点 处的切线方程为 _ 答案： x-y+1=0 试题分析：因为 ，所以 ，所以切线方程为 2x-y+1=0。 考点：本题考查直线方程的点斜式和导数的几何意义。 点评：应用导数的几何意义求在某点的切线方程在考试中经常考到，我们要熟练掌握。并且要把在某点的切线方程与过某点的切线方程区分开。 若数列 满足 ，则 _ 答案： 。 试题分析：因为 ，所以= 。 考点：本题考查通项公式的求法：累加法。 点评：若已知 的形式求数列的通项公式，常用累加法。 若 的取大值是 _. 答案： . 试题分析：画出可行域，找出满足条件的点，即可得 的最大值为 6. 考点
9、：本题考查线性规划的一些基础知识。 点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数转 化为斜截式的形式，即的形式，但要注意 z的正负。当 z 为正时，求 z的最大值就是求直线在 y轴上的截距最大时对应的点；当 z 为负时，求 z的最大值就是求直线 在 y轴上的截距最小时对应的点。 抛物线 的准线方程是 . 答案： x=-1 试题分析： 。 考点：本题考查抛物线的性质。 点评：抛物线有四种形式，所以判断类型是解题的关键。 解答题 (本小题满分 12分 )在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c已知 cosA ， sinB cosC ( )求 tanC 的值； ( )若 a ，求
10、ABC的面积 答案： ( ) ； ( ) 。 试题分析： (1)因为 cosA 0， 所以 sinA 又 cosC sinB sin(A C) sinAcosC sinCcosA cosC sinC 整理得： tanC ( )由图辅助三角形知： sinC 又由正弦定理知： ， 故 (1) 对角 A运用余弦定理： cosA (2) 解 (1) (2)得： 或 b (舍去 ) ABC的面积为： S 考点：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、和三角形内的隐含条件。 点评：做三角函数的有关题目 时，要注意三角形内隐含条件的应用。常用的三角形内的隐含条件有： , , ； ， ， . (本题满分
11、 12分 ) （本题满分 12分） 如图，已知三棱锥 的侧棱 两两垂直， 且 ， ， 是 的中点。 （ 1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （ 2）求直线 BE和平面 的所成角的正弦值。 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）以 为原点 , 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 . 则有 、 、 、 3 分 COS 5 分 所以异面直线 与 所成角的余弦为 6 分 （ 2）设平面 的法向量为 则 ， 8 分 则 ， 10 分 故 BE和平面 的所成角的正弦值为 12 分 考点：本题考查异面直线所成的角和直线与平面所成的角。 点评：本题主要考查了空间中异面直线所成的角和直线
12、与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难解题的关键是；首先正确的建立空间直角坐标系，然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角；而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量。注意计算要仔细、认真。 (本题满分 13分 ) 已知椭圆 C的两焦点分别为 ，长轴长为 6， 求椭圆 C的标准方程 ; 已知过点（ 0， 2）且斜率为 1的直线交椭圆 C于 A 、 B两点 ,求线段 AB的长度。 答案： ； 。 试题分析： 由 ，长轴长为 6 得： 所以 椭圆方程为 6 分 设 ,由 可知椭圆方程为 , 直线 AB的方程为 8 分 把 代入 得化简并整理得 11 分 又 13
13、分 考点：本题考查椭圆标准方程；弦长公式；直线与椭圆的综合问题。 点评 ：本题考查椭圆方程的求法和弦长的运算，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和弦长公式的合理运用。在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点 联立方程 消元 韦达定理 弦长公式。 （本题满分 13分） 如图，棱锥 PABCD 的底面 ABCD是矩形， PA 平面 ABCD， PA=AD=2，BD= . （ 1）求证： BD 平面 PAC； （ 2）求二面角 PCDB 余弦值的大小 （ 3）求点 C到平面 PBD的距离 . 答案： 见；（ 2） ；（ 3） 。 试题分析：方法一：
14、证：在 Rt BAD中， AD=2， BD= ， AB=2，ABCD为正方形，因此 BD AC. PA 平面 ABCD， BD平面 ABCD， BD PA .又 PAAC=A BD 平面 PAC. 解：（ 2）由 PA 面 ABCD，知 AD 为 PD在平面 ABCD 的射影，又 CD AD， CD PD， 知 PDA为二面角 PCDB 的平面角 . 又 PA=AD， PDA=450 . 二面角PCDB 余弦值为 。 （ 3） PA=AB=AD=2， PB=PD=BD= ，设 C到面 PBD的距离为 d， 由 ，有 ，即，得 方法二：证：（ 1）建立如图所示的直角坐标系， 则 A（ 0， 0，
15、 0）、 D（ 0， 2， 0）、 P（ 0， 0， 2） .2 分 在 Rt BAD中， AD=2， BD= ， AB=2. B（ 2， 0， 0）、 C（ 2， 2， 0）， ，即 BD AP， BD AC，又 APAC=A， BD平面 PAC. 4 分 解：（ 2）由（ 1）得 . 设平面 PCD的法向量为 ，则 ， 即 ， 故平面 PCD的法向量可取为 PA 平面 ABCD， 为平面 ABCD的法向量 . 7 分 设二面角 PCDB 的大小为 q，依题意可得. 9 分 （ 3）由（ ）得 ，设平面 PBD的法向量为， 则 ，即 ， x=y=z，故可取为. 11 分 ， C到面 PBD的
16、距离为13 分 考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角； 点、线、面间的距离计算。 点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用二面角的向量求法： 若 AB、CD分别是二面 的两个半平面内与棱 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 与 的夹角； 设 分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则向量 的夹角 (或其补角 )的大小就是二面角的平面角的大小。 设 f(x) 2x3 ax2 bx 1的导数为 f(x)，若函数 y f(x)的
17、图象关于直线 x - 对称，且 f(1) 0. (1)求实数 a， b的值； (2)讨论函数 f(x)的单调性，并求出单调区间 。 答案：（ 1） a=3、 b=12 ； (2)单调等增区间为（ -， -2）和（ 1， +），单调递减区间为（ -2， 1）。 试题分析： (1) 因为 f(x) 的图象关于直线 x - 对称，所以，所以 a=3；又 f(1) 0，所以 b=12 。 (2)由 (1)知，知 f（ x） =2x3+3x2-12x+1，所以 f（ x） =6x2+6x-12=6（ x-1）（ x+2）， 令 f（ x） =0，得 x=1或 x=-2， 当 x （ -， -2）时， f（ x） 0， f（ x）在（ -， -2）上是增函数； 当 x （ -2， 1）时， f（ x） 0， f（ x）在（ -2， 1）上是减函数； 当 x （ 1， +）时， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， +）上是增函数。 所以 f(x)的单调等增区间为（ -， -2）和（ 1， +），单调递减区间为（ -2，1）。 考点：本题考查利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质。 点评：当 f(x)不含参数时，可通过解不等式 f（ x） 0(或 f（ x） 0)直接得到单调递增 (或单调递减 )区间。但要注意函数的定义域。
