1、2012-2013学年甘肃省甘谷一中高二第二次月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 p： 3是奇数， q： 5是偶数，则下列说法中正确的是 ( ） . A p或 q为真 B p且 q为真 C非 p为真 D非 q为假 答案： A 试题分析： p真， q假 .所以 p或 q为真 . 考点：复合命题的真假判断 . 点评：复合命题的真假判断方法：或命题有真则真；且命题有假则假；非命题是真假相反 . 已知函数 y x -3x+c的图像与 x轴恰有两个公共点，则 c （ ） A -2或 2 B -9或 3 C -1或 1 D -3或 1 答案： A 试题分析：因为 ,所以 f(x)的增区间为 ,
2、减区间为 ,所以 f(x)的极大值为 f(-1),极小值为 f(1),因为函数 y x -3x+c的图像与 x轴恰有两个公共点 ,所以只须满足 ，即 ,所以. 考点：导数在研究函数的极值和图像当中的应用 . 点评：根据导数确定出其单调区间，从而得到其极大值，与极小值，然后函数y x -3x+c的图像与 x轴恰有两个公共点实质就是极大值大于零，极小值小于零 . 设函数 f（ x） = +lnx 则 （ ） A x= 为 f(x)的极大值点 B x= 为 f(x)的极小值点 C x=2为 f(x)的极大值点 D x=2为 f(x)的极小值点 答案： D 试题分析： 得 .所以 f(x)的增区间为
3、，f(x)的减区间为 ，所以 f(x)只有极小值，极小值点为 x=2. 考点：导数在求函数极值当中的应用 . 点评：利用导数等于零得到函数的极值点，根据左正右负为极大值点，左负右正为极小值点的规确定其极值 . 函数 的单调递增区间是 ( ) A B (0,3) C (1,4) D 答案： D 试题分析：由 得， x2,所以 f(x)的单调递增区间为 . 考点：导数在求单调区间上的应用 . 点评：利用 求得函数的单调递增（减）区间 . 设椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为抛物线的焦点为 F(2,0),所以 c=2,再
4、由离心率为 ，所以 m=4,所以 所以 . 考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质 . 点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距 c,再由离心率可知 m,从而,因而椭圆方程确定 . 设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是 ( ） .答案： C 试题分析：由导数值与原函数的单调性的对应关系可知， f(x)在上是增函数，在区间 (0,2)上是减函数，所以应选 C. 考点：导数图像与函数图像的对应关系 . 点评：根据导数为正，原函数为增，导数为负，原函数为减的原则，可找出导函数对应的原函数的图像 . 若正四棱柱 的底面边长为 1， 与底面 成 60角，则 到底面 的距离为 （ ）
5、 A B 1 C D 答案： D 试题分析：因为 ,所以 就是 与底面 所成的角 ,所以 ,所以 ,因为 /平面 ABCD，所以 BB1就是 到底面 的距离，所以所求距离的值为 . 考点：正四棱柱的性质，直线与平面所成的角， 直线与平面之间的距离 . 点评：找出 是 与底面 所成的角，从而得到 , 再根据 /平面 ABCD,从而知道 BB1就是 到底面 的距离 . 正三棱柱 的各棱长都是 2， E， F分别是 的中点，则EF 的长是（ ） A 2 B C D 答案： C 试题分析：取 A1B1的中点 M，连接 EM， MF，则 EM 垂直底面 A1B1C1，所以在 中， 考点：正三棱柱的性质
6、. 点评：利用正三棱柱底面是正三角形，侧棱与底面垂直，可解 EF 所在的直角三角形 EMF求值即可 . 与直线 平行的抛物线 的切线方程是 ( ） . A B C D 答案： D 试题分析：由 所以切点坐标为 ，切线方程为即 4x-y+3=0. 考点：导数的几何意义，两直线平行的条件 . 点评：根据导数的几何意义可知切点应为导数值为 4的点，据此可求出切点坐标，从而写出点斜式方程再化成一般式即可 . 函数 在区间 上的最大值为 ( ） . A 10 B C D 答案： A 试题分析：因为 ,由 , 得 ，因为 f(x)的极大值为 f(-1)=10,而 f(4)=-15.所以 f(x)的最大值为
7、 10. 考点：导数求连续函数在闭区间上的最值 . 点评：连续函数在闭区间上的最值不在区间端点处取得，就在极点处取得，所以通过比较端点函数值与极值比较即可确定最值 . 抛物线 的准线方程是 ( ） . A B C D 答案： D 试题分析：抛物线的标准方程为 ,所以其准线为 . 考点：抛物线的标准方程及性质 . 点评：求抛物线的准线及焦点坐标时，应先化成标准方程，然后再求焦点坐标或准线方程 . “ ”是 “ ”的 ( ） . A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： D 试题分析：因为 x=1时， 成立；反之，当 时， x=0或 x=1，所以 x=0不
8、一定成立 .所以 “ ”是 “ ”的必要而不充分条件 . 考点：充要条件 . 点评：设 p真对应的集合为 A， q为真对应的集合为 B，若 ,则 p为 q的充分而不必要条件； q为 p的必要不充分条件 . 填空题 如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为， 函数 在 处的导数 _ 答案： 试题分析：根据导数的几何意义，在某点处的导数就是这点处的切线的斜率，所以 . 考点：导数的几何意义，直线的斜率公式 . 点评：导数的几何意义就是 在某点处的导数就是在此点处的切线的斜率 . 如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则异面直线 与 所成的角的大小是 _. 答案： 试题分析：取 CN
9、 的中点 Q，连接 MQ，因为 M 为 CD的中点，所以 MQ/DN，所以 就是异面直线 A1M与 DN 所成的角的补角，设正方体的棱长为 1，则在 中，, 所以 , 所以 .所以异面直线 与 所成的角的大小是 . 考点：正方体的性质，异面直线所成的角 . 点评：根据异面直线所成的角的定义要转化两个相交直线所成的角求解即可 . 已知双曲线的方程 ，则离心率为 . 答案： 试题分析：因为 a=2, . 考点：双曲线的标准方程及性质 . 点评： 由双曲线的标准方程可求出 a,c的值，再根据 求离心率即可 . 曲线 在点 处的切线方程 . 答案： y=3x+1 试题分析： 所求切线方程为 y=3x+
10、1. 考点：导数的几何意义 . 点评：先求出函数在 x=0处的导数值，就是在此点处的切线的斜率，然后再写出点斜式方程，最终化成一般式即可 . 解答题 （本小题 10分） 求下列函数导数 （ 1） f（ x） = （ 2） 答案：（ 1） f (x)= ； （ 2） 。 试题分析：根据 , ,求 f(x)的导数即可 . （ 1） f (x)= - 5 分 （ 2） - 5分 考点：常见函数的导数公式 . 点评：掌握常用函数的导数公式是解本题的关键，本小题用到的导数公式有, . （本小题满分 12分）求函数 f(x)= - 2的极值 . 答案：当 x=-1时函数有极小值为 -3；当 x=1时函数有
11、极大值为 -1. 试题分析：先求 ,然后列表，再根据左正右负为极大值，左负右正为极小值，可求出极值 . 由于函数 f(x)的定义域为 R - 2 分 f (x) - 6 分 令 f (x)得 x=-1或 x=1列表： x (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1, ) f (x) - 0 + 0 - f(x) 极小值 极大值 - 8 分 由上表可以得到 当 x=-1时函数有极小值为 -3；当 x=1时函数有极大值为 -1. - 12分 考点：导数在求极值中的应用 . 点评：掌握极大值与极小值的判断方法是解决本小题的关键 .判断方法是极值点左正右负为极大值点；极值点的左负右正为极小值点 . （
12、本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ，点 为 的中点， 为 中点 . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）求直线 与平面 所成的角的正弦值； （ 3）求点 到平面 的距离 答案：（ 1）证明：见；（ 2） ；（ 3）。 试题分析： (I)根据面面垂直的判定定理，证明： 平面即可 . （ II）本小题易建立直角坐标系，然后利用向量法求解，设平面 ABM的法向量, 则 求解即可 . (III) 设所求距离为 h，利用 求距离即可 . （ 1）证明： 因为 ， 为 中点 ， 所以 A . 因为 平面，则 ，又 ， 所以 平面，则 ，因此有 平面， 所以平面 平面 .
13、 - 4 分 （向量法也可） （ 2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量 ，由 可得： ，令 ，则 ，即 . 设所求角为 ，则 ， - 8 分 （ 3）设所求距离为 ，由 ， 得： - 12分 考点：线面垂直，面面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角，点 O 到平面的距离 . 点评：掌握线线，线面，面面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角的定义，点到平面的距离的常见求法是求解此类问题的基础 . （本小题满分 12分） 已知函数 （ 1）若 是 的极值点，求 在 上的最大值 （ 2）若函数 是 R上的单调递增函数，求实数的 的取值范围 . 答案：（ 1
14、）当 时，函数 有最大值为 15. （ 2） 。 试题分析：（ 1）根据 可求出 a的值，从而再求出极值，与区间的端点值比较可求出最大值 . (2) 函数 是 R上的单调递增函数可转化为 在 R上恒成立问题来解决 . （ 1）解： ， ，且当 时有极值 . 可得： - 1分 因为 所以 - 2分 则 - 3分 当 时， ， 如表所示： 1 3 5 0 + -1 单调递减 极小值 单调递增 15 由表可知： 当 时，函数 有最大值为 15. - 6分 （ 2）解： 为在 上的单调递增函数 则 所以 0在 R上恒成立， 因此 &nbs （本小题满分 12分） 设函数 的图像与直线 相切于点 . （
15、 ）求 的值； （ ）讨论函数 的单调性 . 答案：（ ） （ ）故当 x （ , -1）时， f(x)是增函数，当 x （ 3, ）时， f(x)也是增函数， 当 x （ -1 ， 3）时， f(x)是减函数 . 试题分析： (I)由于 和函数 f(x)过点 (1,-11)可建立关于 a,b的方程求出a,b的值 . (II)根据 可求得函数 f(x)的单调递增（减）区间 . （ ）求导得 . -2分 由于 的图像与直线 相切于点 ， 所以 ， - 4分 即： 1-3a+3b = -11 解得 : - 6分 3-6a+3b=-12 （ ）由 得： - 8分 令 f（ x） 0，解得 x -1或
16、 x 3； 又令 f（ x） 0，解得 -1 x 3. - 10分 故当 x （ , -1）时， f(x)是增函数，当 x （ 3, ）时， f(x)也是增函数， 当 x （ -1 ， 3）时， f(x)是减函数 . - 12分 考点：导数的几何意义，利用导数求函数的极大值 . 点评：在某点处的导数就是在此点处的切线的斜率，利用导数大（小）零解不等式可得函数的单调递增（减）区间 . （本小题满分 12分） 某单位用 2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10层、每层2000平方米的楼房 .经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560+48x（单位
17、：元） .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用平均建筑费用 +平均购地费用，平均购地费用） 答案： 时， f（ x）取最小值 元； 试题分析：解本小题的关键是设楼房每平方米的平均综合费为 f（ x）元后，求得 , 然后利用导数研究其最值即可 . 设楼房每平方米的平均综合费为 f（ x）元，则 - 4分 , 令 得 - 8分 当 时， ；当 1 时， -10分 因此 当 时， f（ x）取最小值 元； - 12分 考点：导数在实际问题当中的应用 . 点评：利用导数研究最优的实际问题，要先建立函数模型，然后再利用导数研究其极值即可 .高考利用导数研究的应用题，一般都是单峰函数，函数的最值在极值取得 .
