1、2012-2013学年福建省安溪一中养正中学高二上学期期末理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 双曲线 的焦距为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， 双曲线 的焦距为 2c= ，故选 C。 考点：本题主要考查了双曲线的性质。 点评：双曲线的性质在高考中通常以选择题形式出现，难度不大，要求学生掌握最基本的知识。 如图所示，已知椭圆方程为 ， A为椭圆的左顶点， B、 C在椭圆上，若四边形 OABC为平行四边形，且 ，则椭圆的离心率等于 ( ) A、 B、 C、 D、 答案： C 试题分析：令椭圆的右端点为 M，连接 CM，由题意四边形 OABC为平行四边形，且 OAB=45，
2、B， C在椭圆上，可得 COM= CMO= OAB=45，则有 OCM=90，故可得 ,又四边形 OABC为平行四边形， B， C在椭圆上，由图形知|BC|=a，且 BC OA由椭圆的对称性知， B， C两点关于 y轴对称，故 C的横坐标为 ，代入椭圆的方程得 得 y= ，由图形知 C（ ， ），故有， ，解得 ，故 ，所以 ，得 e= 考点：本题考查椭圆的简单性质。 点评：求解本题的关键是根据椭圆的对称性得出点 C的坐标以及图形中的垂直关系，求出点 C的坐标是为了表示出斜率，求出垂直关系是为了利用斜率的乘积为 -1建立方程，然后再根据求离心率的公式求出离心率即可本题比较抽象，方法单一，入手较
3、难，运算量不大 设圆 的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点 M，则 M的轨迹方程为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： 线段 AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点 M， ， 点 M的轨迹为以点 A、 C为焦点的椭圆，故 2a=5， 2c=2， ， ，故点 M的 轨迹方程为，选 D。 考点：本题主要考查了轨迹方程的求法。 点评：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称
4、作几何法 设 O-ABC是四面体， G1是 ABC的重心， G是 OG1上的一点，且 OG 3GG1，若 x y z ，则 (x， y， z)为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：如图取 AB中点 E，连接 AE， ，又， ，故 x=y=z= ，故选 A。 考点：本题主要考查了空间向量基本定理的运用。 点评：掌握空间向量基本定理是解决问题的关键。 过定点 作直线 ，使 与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线 共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 答案： C 试题分析：由题意直线 l的斜率存在，故设为 y=kx+2k+2，联立 消 y得，当 k=0时，方程化为 x=1，
5、此时只有一个公共点（ 1,2） ，当 k0时，要使 与抛物线有且仅有一个公共点，则， ， ，此时符合条件直线有两条，综上，满足题意的直线共有 3条。 考点：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系。 点评：解决此类问题时要注意对直线斜率是否存在讨论。 在下列命题中： 若向量 共线，则向量 所在直线平行 若三个向量 两两共面，则 共面； 已知空间的三个向量 ，则对空间的任意一个向量总存在实数 使得。其中正确的命题个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： A 试题分析：对于命题 若向量 共线，则向量 所在直线平行或重合，不正确；对于命题 举反例：当向量 所在直线为棱锥顶点引出的三条棱，则
6、不共面，不正确；对于命题 当空间向量 共面时，就满足不了题目中的结论，不正确。故正确的命题个数为 0个，故选 A ， 考点：本题主要考查了向量共线定义、共面基本定理及空间向量基本定理。 点评：掌握向量共线、共面及空间基本定理是解决关键。 中，角 所对的边分别是 ，若角 依次成等差数列，且 则 等于 A B C D 答案： C 试题分析： 角 依次成等差数列， ，又有正弦定理得， ， ， ， ，故选 C。 考点：本题主要考查了正余弦定理的综合运用。 点评：掌握正余弦定理及其变形是解题关键。 抛物线 的 焦点坐标是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： 抛物线 可化为 ， 抛物线的焦点坐
7、标是 ，故选 D。 考点：本题主要考查了抛物线的基本性质。 点评：抛物线的焦点问题是高考的热点问题，解题时首先要化为标准方程，然后再利用抛物线的知识求解。 已知 ，命题 “若 ，则 ”的逆否命题是 ( ) A若 ，则 B若，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： D 试题分析：求一个命题的逆否命题时，需要把原命题的结论否定后当条件，原命题的条件否定后当结论，易得命题 “若 ，则 ”的逆否命题是 “若，则 ”。 考点：本题主要考查了逆否命题的定义及求法。 点评：四种命题的互化题型简单，要求学生掌握常见词的否定形式。 如果 表示焦点在 y轴 上的椭圆，那么实数 k的取值范围是 ( ) A (0， +)
8、 B (0,2) C (1， +) D (0,1) 答案： D 试题分析：椭圆方程 化为 ， ， 0k1，故选 D 考点：本题主要考查了椭圆的性质。 点评：椭圆的性质在高考中通常以选择题形式出现，难度不大，要求学生掌握最基本的知识。 填空题 是数列 的前 项和，若 ，则数列 是等差数列 若 ，则 已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则 在 中， 分别是角 A、 B、 C的对边，若 则 为等腰直角三角形 其中正确的有 （填上所有正确命题的序号） 答案： 试题分析：对于命题 ， 当 n=1时，当 n2时 , ， 不是等差数列，不正确；根据不等式的性质易知命题 正确；对于命题 由在 -1,1恒成立得
9、在 -1,1恒成立，故 ，又当且仅当 x=0时等号成立，所以，不正确；对于命题 ， ， ， A=B，故 三角形为等腰三角形，不正确。故正确的命题有 考点：本题主要考查了等差数列的概念、不等式的性质、正余弦定理及函数零点的运用。 点评：对于恒成立问题往往用分离常数法求解。 已知抛物线上的点 P到抛物线的准线的距离为 ，到直线 的距离为，则 + 的最小值是 答案： 试试题分析：点 P到准线的距离等于点 P到焦点 F（ 1,0）的距离，从而 d1=，设点 F到直线 的距离为 d，则 ，易知 d1+d2d，故 d1+d2最小值为 考点：本题考查了抛物线的定义及点到直线距离公式。 点评：此类题解答策略主
10、要有：一是根据题目条件适当选择未知量，建立目标函数，再求函数的最值；二是利用抛物线的几何性质进行转化；三是根据题目条件建立多元等式，根据特点选择适当的方法进行求解 设 是定义在自然数集上的函数， ，且对任意自然数 ，有，则 答案： 试题分析：令 m=1得 ， ，考点：本题主要考查了数列通项公式的求法 点评：当递推式是差的形式，往往利用叠加法求通项公式。 设双曲线 x2-y2 1的两条渐近线与直线 x 围成的三角形区域 (包含边界 )为 E，P(x， y)为该区域的一个动点，则目标函数 z x-2y的最小值为 _ 答案： 试题分析：依题意可知平面区域是由 y=x， y=-x， x= 构成可行域三
11、角形的三个顶点坐标为 (0， 0)， ( ， )， ( ， - )，将这三点代可求得 Z的最小值为 考点：本题主要考查了双曲线的简单性质和线性规划的运用。 点评：对于线性规划问题要掌握常见类型及其解决方法即可。 已知 ， ，则 是 的 条件。（填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “既不充分也不必要 ”或 “充要 ”） 答案：必要不充分 试题分析：对于命题 p： ， ， ， -5x3；对于命题 q： ， -4x2，由于命题 p的范围比命题 q的范围大，故 是 的必要不充分。 考点：本题主要考查了充要条件的判断。 点评：掌握不等式的解法是解决此类问题的关键。 解答题 已知命题 p： ，命题
12、 q： ， 若 “p且 q”为真命题，求实数 a的取值范围。 答案： a 1或 a-2 试题分析：由 “p且 q”为真命题，则 p， q都是真命题 2分 p： x2a在 1,2上恒成立，只需 a(x2)min 1， 所以命题 p： a1； 4分 q：设 f(x) x2 2ax 2-a，存在 x0 R使 f(x0) 0， 只需 4a2-4(2-a)0， 即 a2 a-20 a1或 a-2， 所以命题 q： a1或 a-2. 9分 由 得 a 1或 a-2 实数 a的取值范围是 a 1或 a-2. 13分 考点：本题考查了不等式的解法及命题真假的运用。 点评：对于恒成立问题通常解题时有以下几种策略
13、： 赋值法； 利用函数的单调性； 利用函数的有界性； 分离常数法； 数形结合法。 的内角 A、 B、 C的对边分别为 ， (1)求 B (2)若 ， ，求 答案： (1) ;(2) . 试题分析：（ 1）由 得 ， 6分 （ 2） 13分 考点：本题考查了正余弦定理的综合运用。 点评：解决此类问题要求掌握正余弦定理，注意正余弦定理的条件。 已知抛物线 C关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 （ 1）求抛物线 C的标准方程 （ 2）直线 过抛物线的焦点 F，与抛物线交于 A、 B两点，线段 AB的中点 M的横坐标为 3，求弦长 以及直线 的方程。 答案： (1);(2)直线 方程为： ；
14、 . 试题分析：（ 1）依题意设抛物线方程为： 过 得 抛物线方程为 4分 （ 2） 令 当直线 斜率不存在时即方程为： 此时 AB中点为 F（ 1， 0）不合题意，舍去 6分 令直线 方程为：代入抛物线方程得： 得： 9分 得 得 , 直线 方程为： ； 13分 考点：本题考查了抛物线方程的求法及直线与抛物线的位置关系。 点评：对于弦长问题，只需联立方程利用韦达定理及弦长公式求解即可。 如图，在五面体 ABCDEF中， ， ， ，（ ）求异面直线 BF与 DE所成角的余弦值； （ ）在线段 CE上是否存在点 M，使得直线 AM与平面 CDE所成角的正弦值为 ？若存在，试确定点 M的位置；若不
15、存在， 请说明理由 答案：（ ） ;（ ）存在，点 M为 CE中点。 试题分析：解法一：建立如图所示的直角坐标系， 2分 不妨设 AB 则 （ ） 5分 异面直线 BF与 DE所成角的余弦值为 6分 （ ）设平面 CDE的一个法向量为 得 令 8分 设存在点 M 满足条件，由 10分 直线 AM与平面 CDE所成角的正弦值为 故当点 M为 CE中点时，直线 AM与面 CDE所成角的正弦值为 13分 解法二：（ ）不妨设 AB， 且 CED异面直线 BF与 DE所成角 CE=BF= ,ED=DC= , 所以，异面直线 BF与 DE所成角的余弦值为 6分 （ ）令 A到平面 CDE距离为 h，在
16、AD上取点 N，使得 EF=AN，连结 EN ， 为平行四边形 8分 10分 令 AM与平面 CDE所成角为 ， 过 M作 MG/EF交 FB于 G 在平行四边形 EFBC中， MG=BC=1 中 解得：， 为 FB的中点 MG/EF， 为 EC的中点。 13分 考点：本题考查了空间几何体中异面直线夹角及线面角的求法与应用。 点评：从近些年看，以多面体为载体，重点考查直线与平面的位置关系一直是高考立体几何命题的热点因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，并将论证和计算有机地结合在一起 为了应对国际原油的变化，某地建设一座油料库。现在油料库已储油料 吨，计划正式运营后的
17、第一年进油量为已储油量的 ，以后每年的进油量为上一年年底储油量的 ，且每年运出 吨，设 为正式运营第 n年年底的储油量。（其中 ） （ 1）求 的表达式 （ 2）为应对突发事件，该油库年底储油量不得少于 吨，如果 吨，该油库能否长期按计划运营？如果可以请加以证明；如果不行请求出最多可以运营几年。（取 ） 答案：（ 1） ；（ 2）该油库最多只能运营 4年，第五年开始无法正常运营，因此不能长期运营。 试题分析：（ 1）依题意油库原有储油量为 吨，可得 3分 得： 5分 是以 为公比，首项为 的等比数列 6分 得 7分 （ 2）若 时，该油库第 n年年底储油量不少于 吨。 即 ， 9分 化简得：
18、11分 该油库最多只能运营 4年，第五年开始无法正常运营，因此不能长期运营 14分 考点：本题考查了等比数列的实际运用。 点评：数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前 n项的和等等 如图 ,已知点是椭圆 的右顶点 ,若点在椭圆上 ,且满足 .(其中 为坐标原点 ) （ 1）求椭圆的方程 ; （ 2）若直线 与椭圆交于两点 ,当 时 ,求 面积的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）因为点在椭圆上，所以 2分 4分 5分 （ ）设 ， 6分 8分 设直线，由 ，得： 则 10分 点 到直线 的距离 13分 当且仅当 所以当 时， 面积的最大值为 . 14分 考点：本题考查了椭圆方程的求法及直线与椭圆的位置关系。 点评：新课标高考对双曲线和抛物线要求较低，重点是椭圆，但也不断加强对圆的考查，所以学习中我们要多做一些与椭圆、圆有关的问题，多记忆一些椭圆、圆的性质 .
