1、2012-2013学年福建省师大附中高二上学期期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知命题 ， ，则（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： B 试题分析：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题 p： ，的否定是 x R，使得 sinx1，故选 B。 考点：本题主要考查全称命题与特称命题的之间的关系的应用。 点评：基础题，全称命题的否定是特称命题。 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线 的图象绕原点沿逆时针方向旋转 就得到函数 的图象 .若把双曲线 绕原点按逆时针方向旋转一定角度 后，能得到某一个函数的图象，则旋转角 可以是（ ） A B C D 答案： C 试题分
2、析：确定双曲线的渐近线方程，求出倾斜角，即可得到结论 双曲线 的渐近线方程为 y= x，其倾斜角为 30或 150。 在双曲线 上取点（ m， n），关于 y= x对称点的坐标为（ x， y），则 ， ， 。此时，是一个函数的图象。 故把双曲线 绕原点按逆时针方向旋转 60时，双曲线方程为 ，双曲线的渐近线方程为 x=0，与 ，图象如图所示 故选 C 考点：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，图象变换 点评：中档题，注意理解题意并利用数形结合思想。 已知数列 满足 记 ，如果对任意的正整数 ，都有 ，则实数 的最大值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： A 试题分析：由 得 所以，
3、 ， 。 从而 = 2，故选 A。 考点：本题主要考查数列的概念、等比数列的前 n 项和公式、均值定理的应用。 点评：综合题，关键是理解题意，从已知出发首先求得数列的通项公式。 设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，如果直线 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 设该双曲线方程为 =1（ a 0， b 0）， 可得它的渐近线方程为 y= x，焦点为 F（ c， 0）， 点 B（ 0， b）是虚轴的一个端点 直线 FB的斜率为 kFB= 直线 FB与直线 y= x互相垂直， - =-1，得 b2=ac b2=c2-a2， c2-a
4、2=ac，两边都除以 a2，整理得 e2-e-1=0 解此方程，得 e= ， 双曲线的离心率 e 1， e= ，故选 D。 考点：本题主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质等知识。 点评：本题给出双曲线的焦点与虚轴一端的连线与渐近线垂直，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题 若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能是（ ） A直线 B圆 C椭圆或双曲线 D抛物线 答案： D 试题分析：当 k=1时， x2+ky2=1表示的曲线是圆，可排除 B； 当 k=-1， x2+ky2=1表示的曲线是双曲线，故可排除 C； 当
5、k=0， x2+ky2=1表示的 曲线是直线，故可排除 A；故选 D 考点：本题主要考查圆锥曲线的共同特征。 点评：基础题，本题着重考查圆锥曲线的标准方程的特征，运用特殊值法验证“排除 ”错误答案： 曲线 在点 处的切线方程为（ ） A B C D 答案： B. 试题分析：曲线 在点 处的切线斜率，即函数在 x=1处的导数。而 ， ，所以由直线方程的点斜式得曲线 在点处的切线方程为 ，故选 B。 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程的点斜式。 点评：基础题，注意理解曲线 在点 处的切线斜率，即函数在x=1处的导数。 设 “ ”, “直线 与抛物线 只有一个公共点 ”， 则 是 （ ）条件
6、 A充分且非必要 B必要且非充分 C充分且必要 D既非充分也非必要 答案： A. 试题分析：当 时，直线 平行于抛物线的轴，与抛物线 只有一个公共点；反之，直线 与抛物线 只有一个公共点时，除， l平行于抛物线的轴外，还有直线 与抛物线 相切只有一个公共点的情况，即 “ ”, “直线 与抛物线 只有一个公共点 ”， 则 是 充分且非必要条件，故选 A。 考点：本题主要考查充要条件的概念，直线与抛物线的位置关系。 点评：易错题，研究直线与抛物线只有一个公共点的情况，要特别注意相切、直线平行于抛物线轴的情况。 某公司的产品销售量按函数 规律变化，在 时，反映该产品的销售量的增长速度先快后慢的图象可
7、能是（ ）答案： D. 试题分析：曲线 A上的点由 a向 b变化时，其切线的斜率越来越大，不符合题意； 曲线 B上的点由 a向 b变化时，其切线的斜率虽然大于 0，但越来越小，不符合题意； 曲线 C上的点由 a向 b变化时，其切线的斜率从大到小，而后又增大，不符合题意； 曲线 D上的点由 a向 b变化时，其切线的斜率由小到大又变小，符合题意；故选 D 考点：本题主要考查函数图象，导数的几何意义及其实际应用。 点评：基础题，关键是要理解导数的几何意义。 若 x2 y20，则 x， y 不全为零， 若 ，则 有实根，则（ ） A 为真 B 为真 C 为真 D 为假 答案： A 试题分析：若 x2+
8、y20，则 x， y不全为零，故 p是真命题； 若 ，则 4m-8,4+4m-4,即 4+4m 0不一定成立， 不一定有实根， q为假命题。故选 A 考点：本题主要考查命题及复合命题的真假判断。 点评：常见题解题时要牢记真值表，认真审题，判断命题的真假 抛物线 的准线方程是（ ） A 4 x + 1 = 0 B 4 y + 1 = 0 C 2 x + 1 = 0 D 2 y + 1 = 0 答案： B 试题分析：抛物线 焦点在 y轴正半轴且 2p=1，所以抛物线 的准线方程是 ，即 4 y + 1 = 0，故选 B。 考点：本题主要考查抛物线标准方程及几何性质。 点评：简单题，确定抛物线的准线
9、方程，应首先将抛物线方程化为标准形式，并注意四种不同情况。 已知定点 A、 B，且 ，动点 P满足 ，则点 的轨迹为（ ） A. 双曲线 B. 双曲线一支 C.两条射线 D. 一条射线 答案： B 试题分析： 的几何意义是：点 P到定点 A、 B距离之差为定值 1（小于 ），所以点 的轨迹为双曲线一支，故选 B。 考点：本题主要考查双曲线的概念 点评：基础题，理解双曲线的定义必须全面。 某物体的位移 （米）与时间 （秒）的关系是 ,则物体在秒时的瞬时速度为（ ） A m/s B m/s C m/s D m/s 答案： C 试题分析：物体在 秒时的瞬时速度即 在 时 的导数。而，所以 ，故选 C
10、。 考点：本题主要考查导数与瞬时速度的概念。 点评：基础题，正确解答本题关键是理解导数的物理意义 填空题 已知点 满足椭圆方程 ，则 的最大值为 答案： 试题分析： p(x,y)在椭圆 上 即椭圆上点（ x， y）到点（ 1， 0）的斜率 即过点（ 1， 0)且与椭圆有交点的直线 L： y=k(x-1)的斜率 又直线的变化范围为从与椭圆在第一象限相切到与椭圆在第四象限相切（可画图更易理解）欲求得变化范围只需求出当过点（ 1， 0）的直线与椭圆相切时的斜率 k 即直线 L与椭圆只有一个交点 联立 ， y=k(x-1) 得 2x2+（ k(x-1)） 2=1 即（ 2+k2） x2-2k2x+k2
11、-1=0 ， 即 即 -k2+2=0 解 k= 当直线与椭圆相切时 k= ，即 的最大值为 。 考点：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，斜率的概念及计算。 点评：典型题，关键是理解 的意义并运用数形结合思想解题。 设 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，满足， 的面积为 ，则 答案： ; 试题分析： 即 ，所以 2a=8， 2c= =4。 由 及三角形面积公式得 ， 所以 =5， 3. 考点：本题主要考查椭圆的定义，椭圆的几何性质及三角形面积公式。 点评：基础题，涉及椭圆上的点到焦点距离问题，往往要利用椭圆的定义。 点 在双曲线 上运动， 为坐标原点，线段 中点 的轨迹方程是 答案： ; 试题
12、分析：设 M(x,y),P( ),则由中点坐标公式得 ，即，代入 即得所求轨迹方程 。 考点：本题主要考查曲线与方程的概念，轨迹方程的求法。 点评：基础题，利用 “相关点法 ”求轨迹方程。 已知数列 的前 项和 ，则 答案： ; 试题分析： 当 时， = =2n； 当 n=1时， =3不适合上式，所以 。 考点：本题主要考查数列的概念及通项公式。 点评：易错题，解答此类问题，易于忽视对 n=1情况的验证。 解答题 （本题满分 12分） 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 . （ ）求角 的大小； （ ）若 ， ，求 的值 . 答案： (I) ； ( ) ， 试题分析：解： (I)由 及正弦定理
13、 ，得， 所以 ， , ( )由 及 ，得 ，由 及余弦定理，得 , 所以 ， 。 考点：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用。 点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题 （本题满分 12分） 已知 为等差数列，且 （ ）求数列 的通项公式； （ ）记数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求正整数 的值 . 答案： (I) ；（ ） 试题分析： (I)设数列 的公差为 , 解得 ， 所以 （ ）由 (1)可得 因 ， ， 成等比数列，所以 ，从而 ，即， 解得 或 （舍去），因此 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式及前 n 项求和公式。 点评：本
14、题是等差与等比数列综合问题，通过相应项相同建立联系来考查通项公式和前 n项和公式 （本题满分 12分） 已知椭圆 C： 的上顶点坐标为 ，离心率为 . （ ）求椭圆方程； （ ）设 P为椭圆上一点， A为左顶点， F为椭圆的右焦点，求 的取值范围 . 答案：（ I）椭圆方程为 ；（ ） 的取值范围为 。 试题分析：解：（ I）依题意得： ， 椭圆方程为（ ）设 ， ，则 -（ *） 点 满足 ， 代入（ *）式，得： 根据二次函数的单调性可得： 的取值范围为 考点：本题主要考查椭圆方程的应用、平面向量数量积的运算等，涉及最值问题 点评：最值问题解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆
15、锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的 性质或函数的最值进行计算 （本小题满分 12分） 已知直线 经过抛物线 的焦点，且与抛物线交于 两点，点 为坐标原点 . （ ）证明： 为钝角 . （ ）若 的面积为 ，求直线 的方程 ; 答案： (I)见； ( )直线方程为 。 试题分析： (I)依题意设直线 的方程为： （ 必存在） ， 设直线 与抛物线的交点坐标为 ，则有 ，依向量的数量积定义， 即证 为钝角 ( ) 由（ I）可知 : , , , , 直线方程为考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系；弦长公式。 点评：利用一元二次方程根与系数的关系，结合数量积的坐标运算，
16、将问题进行了等价转化。 如图，有一边长为 2米的正方形钢板 缺损一角 (图中的阴影部分 )，边缘线 是以直线 为对称轴，以线段 的中点 为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形 （ ）请建立适当的直角坐标系，求阴影部分的边缘线 的方程 ; （ ）如何画出切割路径 ，使得剩余部分即直角梯形 的面积最大？ 并求其最大值 答案： (I) .( )当 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为 . 试题分析： (I)以 为原点，直线 为 轴，建立如图所示的直角坐标系， 依题意 可设抛物线弧 的方程为 点 的坐标为 ， ， 故边缘线 的方程为 . ( )要使梯形
17、 的面积最大，则 所在的直线必与抛物线弧 相切，设切点坐标为 ， ， 直线 的的方程可表示为 ，即 ， 由此可求得 ， . ， ， 设梯形 的面积为 ，则 . 当 时， 故 的最大值为 . 此时 . 答：当 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为 . 考点：本题主要考查抛物线在实际问题中的应用以及二次函数的图象和性质。 点评：解应用题常用的方法是依据题意建立等量关系，构造数学模型利用函数的性质进行求解，而有些应用题有明显的几何意义，可以考虑利用法根据题意建立适当的坐标系，构造曲线方程，利用曲线的性质进行求解 如图，设 、 分别是圆 和椭圆 的弦，且弦的端点在 轴的异侧，端点 与 、 与
18、的横坐标分别相等，纵坐标分别同号 . （ ）若弦 所在直线斜率为 ，且弦 的中点的横坐标为 ，求直线的方程； （ ）若弦 过定点 ，试探究弦 是否也必过某个定点 . 若有，请证明；若没有，请说明理由 . 答案：（ ） ；（ ）弦 必过定点 . 试题分析：（ ）由题意得：直线 的方程为 ， ， 设，将 代入 检验符合题意， 故满足题意的直线 方程为： （ ）解法一：由（ ）得：圆 的方程为： 分 设 、 、 、 ， 点 在圆 上， ， 点 在椭圆 上， ， 联立方程 解得： ，同理解得： 、 弦 过定点 ， 且 ，即 ， 化简得 直线 的方程为： ，即 ， 由 得直线 的方程为： ， 弦 必过定点 . 解法二：由（ ）得：圆 的方程为： 设 、 ， 圆 上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的 倍可得到椭圆 ， 又端点 与 、 与 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号， 、 由弦 过定点 ，猜想弦 过定点 . 弦 过定点 ， 且 ，即 , , 由 得 ， 弦 必过定点 . 考点：本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识的综合应用。 点评：本题以直线、圆、椭圆为载体，综合考查推理论证能力、数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想
