1、2012-2013学年福建省莆田一中高二上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 “a和 b都不是偶数 ”的否定形式是 （ ） A a和 b至少有一个是偶数 B a和 b至多有一个是偶数 C a是偶数， b不是偶数 D a和 b都是偶数 答案： A 试题分析： “a和 b都不是偶数 ”的否定形式是 a和 b至少有一个是偶数。 考点：命题的否定。 点评：本题直接考查命题的否定，属于基础题型。 已知函数 f（ x）的定义域为 ，其导函数 f（ x）的图象如图所示，则对于任意 ，下列结论正确的是 ( ) 恒成立； ； ； ； 0 恒成立，所以 在 0,1上是单调递增的，所以 ，又 是偶函数
2、，所以 ，所以成立。 考点：函数的奇偶性；函数的单调性。 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和函数的奇偶性的综合应用，属于基础题型。 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在抛物线上，且 ，则 的面积为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：设 A ，因为 ，又由抛物线的定义知 AF 就等于A到准线的距离，所以 ，所以 ，所以 的面积为 . 考点：抛物线的简单性质；抛物线的定义。 点评：熟记抛物线的焦半径公式： (1)若 P( )为抛物线 y2=2px(p0)上任意一点 则 |PF|= ； (2) 若 P( )为抛物线 y2=-2px(p0)上任意一点 则 |PF|
3、= ； (3) 若 P( )为抛物线 x2=2py(p0)上任意一点 则 |PF|= ； (4)若 P( )为抛物线 x2=-2py(p0)上任意一点 则 PF= 。 椭圆 的长轴为 ，短轴为 ，将椭圆沿 y轴 折成一个二面角，使得 点在平面 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ） . A 75 B 60 C 45 D 30 答案： B 试题分析：易知 。易得 为二面角 的一个平面角，在 Rt ，中， ，所以二面角的大小为 60。 考点：椭圆的简单性质；二面角。 点评：二面角求解的一般步骤： 一、 “找 ”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形找二面角的平面角
4、。 二、 “证 ”：证明所找出的角就是该二面角的平面角。三、 “算 ”：计算出该平面角。 设 P： 在 (-， )内单调递减， q： ，则 P是 q的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：因为 ，所以 ，因为在 (-， )内单调递减，所以上恒成立且不恒为 0，所以 ，所以 P是 q的必要不充分条件。 考点：充分、必要、充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性。 点评：若 恒成立 ；若 恒成立 。题中若没有限制二次项系数不为零，不要忘记讨论二次项系数为0的情况。 如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若， ， 则下列向量中
5、与 相等的向量是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 。因此选 C。 考点：向量的加减运算；相等向量。 点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题 填空题 已知双曲线 的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 答案： 试题分析：双曲线 的一条渐近线为 ，与抛物线方程联立， ，所以 ，所以。 考点：双曲线的离心率；抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆）和（双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 已
6、知点 及抛物线 上的动点 ，则 的最小值为_. 答案： 试题分析：设抛物线的焦点为 F（ 0,1），由抛物线的知：，所以 的最小值为 . 考点：抛物线的定义；两点间的距离公式。 点评：把 “ 的最小值 ”应用抛物线的定义转化为 “ ”，是解题的关键，考查了学生分析问题、解决问题的能力。 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积为 ，且用料最省，则此圆柱的底面半径为 _. 答案： 试题分析：设圆柱的高为 h，半径为 r，则由圆柱的体积公式可得， r2h=27，所以 ， ， ， 所以 f（ r）在（ 0， 3）单调递减，在 3， +）单调递增，则 f（ r）在 r=3时取得最小值。 考点：函数最值的应
7、用。 点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决 如图 ,在正方体 中 , 、 分别是 、 的中点 ,则异面直线 与 所成角的大小是 _. 答案： 试题分析：以 D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为 2，则 D（ 0， 0， 0）， N（ 0， 2， 1）， M（ 0， 1， 0）， A1（ 2， 0， 2），所以异面直线与 所成角的大小是 。 考点：异面直线所成的角。 点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法向量的方法能降低空间想象难度，但要注意向量坐标的准确否则容易由于计算失误而出
8、错 已知函数 在 处有极大值 ,则常数 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，因为函数 在 处有极大值 ,所以 。 考点：函数的极值。 点评：极值点的导数为 0，但导数为 0的点不一定是极值点。 解答题 已知函数 ，其图象在点 处的切线方程为 (1)求 的值； (2)求函数 的单调区间，并求出 在区间 -2,4上的最大值 答案： (1) a 1， b . (2)8. 试题分析： (1)f(x) x2-2ax a2-1， 2分 (1， f(1)在 x y-3 0上， f(1) 2， 3分 (1,2)在 y f(x)的图象上， 2 -a a2-1 b， 又 f(1) -1， a2-2a 1 0， 解得
9、 a 1， b . 6分 (2) f(x) x3-x2 ， f(x) x2-2x， 由 f(x) 0可知 x 0和 x 2是 f(x)的极值点，所以有 x (-， 0) 0 (0,2) 2 (2， ) f(x) 0 - 0 f(x) 极大值 极小值 8分 所以 f(x)的单调递增区间是 (-， 0)和 (2， )，单调递减区间是 (0,2) 10分 f(0) ， f(2) ， f(-2) -4， f(4) 8， 在区间 -2,4上的最大值为 8. 13分 考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值。 点评：我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点
10、这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。 已知命题 ： 在 上是增函数；命题 函数存在极大值和极小值。求使命题 “ 且 ”为真命题的 的取值范围。 答案： -3， 1. 试题分析： 在 上是增函数， 则 在 上恒成立， 3分 在 时上恒成立， 4分 而 5分 故 6分 存在极大值与极小值， 有两个不等的实根， 8分 ， 9分 或 . 11分 要使命题 “p且 q”为真，则当且仅当 p与 q均为真命题， q为真命题时， 12分 只需 ,故 m的取值范围为 -3， 1. 13分 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研
11、究函数的极值；复合命题真假的判断。 点评：此题虽说简单，但易错，出错的地方是：由 “ 在上是增函数 ”应得到 “ 在 上恒成立且不恒为0”，而不是 “ 在 上恒成立 ”.我们一定要注意。 如图 , 是边长为 的正方形， 平面 ， ， 与平面 所成角为 . ( )求证： 平面 ； ( )求二面角 的余弦值； （ ）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由。 答案： ( ) 只需证 ， 。 ( ) ；（ ）存在点 M，。 试题分析： ( )证明： 因为 平面 ， 所以 . 2分 因为 是正方形， 所以 ， 又 相交 从而 平面 . 4分 ( )解：因为 两两垂
12、直， 所以建立空间直角坐标系 如图所示 . 因为 与平面 所成角为 ， 即 ， 5分 所以 . 由 可知 ， . 6分 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， 7分 设平面 的法向量为 ，则 ， 即 ，令 ， 则 . 8分 因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， ， 所以 . 9分 因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 . 10分 ( )解：点 是线段 上一个点，设 . 则 ， 因为 平面 ， 所以 ， 11分 即 ，解得 . 12分 此时，点 坐标为 ，故存在点 M， ，符合题意 . 13分 考点：线面垂直的性质定理；线面垂直的判定定理；二面角；线面平行的判定定理。 点评：线面垂直的常用方
13、法： 线线垂直 T线面垂直 若一条直线垂直平面内两条相交直线，则这条直线垂直这个平面。 即 面面垂直 T线面垂直 两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面。 即 两平面平行，有一条直线垂直于垂直于其中一个平面，则这条直线垂直于另一个平面。 即 两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。 已知抛物线 : 的焦点为 , 、 是抛物线 上异于坐标原点 的不同两点，抛物线 在点 、 处的切线分别为 、 ，且 ， 与 相交于点 . (1) 求点 的纵坐标； (2) 证明： 、 、 三点共线； 答案： (1) -1； (2)只需证 。 试
14、题分析： (1)设点 、 的坐标分别为 、 ， 、 分别是抛物线 在点 、 处的切线， 直线 的斜率 ，直线 的斜率 . , , 得 . 3分 、 是抛物线 上的点 , 直线 的方程为 ,直线 的方程为 . 由 解得 点 的纵坐标为 . 6分 (2) 证法 1： 为抛物线 的焦点， . 直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 . 9分 . 、 、 三点共线 . 13分 证法 2： 为抛物线 的焦点， . ， . , 9分 . 、 、 三点共线 . 13分 考点：直线与抛物线的综合应用；向量关系的性质；直线垂直的条件；三点共线的证明； 点评：向量法证明三点共线的常用方法： （ 1）若 ； （ 2）若
15、 ，则 A、 B、 C三点共线。 在平面直角坐标系 中，点 与点 A（ -1,1）关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 . ( )求动点 P的轨迹方程； ( )设直线 AP 和 BP 分别与直线 交于点 M,N，问：是否存在点 P使得 PAB与 PMN 的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由。 答案： ( ) ； ( )存在，点 的坐标为 试题分析：（ I）解：因为点 B与点 A（ -1,1）关于原点 O 对称，所以点 B的坐标为（ 1， -1） 设点 P的坐标为（ x， y） 由题意得 化简得 故动点 P的轨迹方程为 （ ）解法一：设点
16、P的坐标为 ，点 的坐标分别为 则直线 的方程式为 ，直线 的方程式为令 得 6分 于是 的面积 7分 又直线 AB的方程为 点 P到直线 AB的距离 8分 于是 的面积 9分 当 时，得 10分 又 ，所以 ，解得 12分 因为 ，所以 。 13分 故存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 14分 考点：轨迹方程是求法；直线与双曲线的综合应用。 点评：求轨迹方程的基本步骤： 建立适当的平面直角坐标系，设 P（ x， y）是轨迹上的任意一点； 寻找动点 P（ x， y）所满足的条件； 用坐标（ x， y）表示条件，列出方程 f（ x， y） =0； 化简方程 f（ x， y） =0为最
17、简形式； 证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证。 已知函数 . ( )若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值； ( )求 的单调区间； ( )设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围 . 答案： ( ) ； ( ) 当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是. 当 时， 的单调递增区间是 . 当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . （ ） 。 试题分析： .（ ） ，解得 . 2分 （ ） . 当 时， ， ， 在区间 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 3分 当 时， ，
18、在区间 和 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . 4分 当 时， ， 故 的单调递增区间是 . 5分 当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . 6分 （ ）由已知，在 上有 . 8分 由已知， ， 9分 由（ ）可知， 当 时， 在 上单调递增， 故 ， 所以， ，解得 ，故 . 11分 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 . 由 可知 ， ， ， 所以， ， ， 综上所述， . 14分 考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值。 点评：当 含有参数时，我们也可以通过解不等式 来得到单调递增（或单调递减）区间，这样问题就转化为解含参不等式。解含参不等式主要应用的数学思想是分类讨论，常讨论的有：开口方向，两个的大小，和判别式 ，讨论时要不重不漏。
