1、2012-2013学年福建罗源第一中学高二第二次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 向量 ，命题 “若 ，则 ”的逆命题是 A若 则 B若 则 C若 则 D若 则 答案： D 试题分析：命题 “若 ，则 ”的逆命题是若 则 。 考点：本题考查四种命题。 点评：命题的逆命题是交换条件与结论的位置，本题是一个基础题 已知 F是抛物线 y2=x的焦点， A， B是该抛物线上的两点， ，则线段 AB的中点到 y轴的距离为 A B 1 CD 答案： C 试题分析：设 ，则 ，因为 ，所以 ，所以则线段 AB的中点到 y轴的距离为 。 考点：本题考查抛物线的简单性质；抛物线的焦半径公式。 点评：熟记
2、抛物线的焦半径公式： (1)若 P( )为抛物线 y2=2px(p0)上任意一点 则 |PF|= ； (2) 若 P( )为抛物线 y2=-2px(p0)上任意一点 则 |PF|= ； (3) 若 P( )为抛物线 x2=2py(p0)上任意一点 则 |PF|= ； (4)若 P( )为抛物线 x2=-2py(p0)上任意一点 则 PF= 。 等轴双曲线 的中心在原点 ,焦点在 轴上 , 与抛物线 的准线交于两 点 , ;则 的实轴长为 A B C D 答案： C 试题分析：因为双曲线 C 是等轴双曲线，且焦点在 x轴上，所以设 C 的方程为：， 因为抛物线的准线为 x=-4,把 x=-4代入
3、双曲线方程得 : ,因为，所以 ，所以 m=4.所以 C的方程为： ，所以 的实轴长为 4. 考点：本题考查双曲线的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线与抛物线的综合应用。 点评：本题考查双曲线与抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化 下列命题中 ,真命题是 A B C 的充要条件是 D 是 的充分条件 答案： D 试题分析：因为 恒成立，所以 A为假命题；对于 B：当 x=3时，所以 B为假命题；对于 C： a=0、 b=0时 a+b=0,但，所以 C为假命题。对于 D： a1、 b1时，由不等式的性质可得 :ab1,所以 D为真命题。 考
4、点：本题考查命题真假的判断。 点评：要说明一个命题是假命题只需举出反例即可。 已知椭圆 则 A 与 顶点相同 . B 与 长轴长相同 . C 与 短轴长相同 . D 与 焦距相等 . 答案： D 试题分析：易知两椭圆的焦点都在 x轴上， 且对于椭圆 : ；对于椭圆 : ，所以与 焦距相等 . 考点：本题考查椭圆的简单性质。 点评：根据椭圆方程能熟练写出 a、 b、 c的值。 双曲线 的实轴长是 A 2 B C 4 D 4 答案： C 试题分析：双曲线 化为标准方程为： ，所以 ， a=2,所以实轴长为 2a=4. 考点：本题考查双曲线的标准方程。 点评：根据双曲线方程能熟练写出 a、 b、 c
5、的值。 命题 “若 = ,则 tan=1”的逆否命题是 A若 ,则 tan1 B若 = ,则 tan1 C若 tan1,则 D若 tan1,则 = 答案： C 试题分析：命题： “若 = ,则 tan=1”的逆否命题为：若 tan1,则 ，故选 C 考点：本题考查四种命题。 点评：命题的逆否命题是对条件与结论分别进行否定且交换条件与结论的位置，本题是一个基础题 下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 A B C D 答案： A 试题分析：通过举出反例， a=-5、 b=-4.5，可得 BC都不是充分条件，说明它们不正确根据充分条件、必要条件的定义，可知 A正确；而 D给出的是一个充要条
6、件，也不符合题意 考点：本题考查 点评：本题以充分必要条件的判断为载体，考查了两个实数比较大小、不等式的性质和充要条件等知识点，属于基础题 设 则 “ 且 ”是 “ ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：若 x2且 y2，则 x24， y24，所以 x2+y28，即 x2+y24；若x2+y24，则如（ -2， -2）满足条件，但不满足 x2且 y2所以 “x2且 y2”是“x2+y24”的充分而不必要条件故选 A 考点：本题考查充分、必要、冲 要条件。 点评：本题也可以利用几何意义来做： “ ”表示为以原点为圆心， 2为半
7、径的圆外的点，包括圆周上的点， “ 且 ”表示横坐标和纵坐标都不小于 2的点。显然，后者是前者的一部分，所以选 A。这种做法比分析中的做法更形象、更直观。 命题 “所有能被 2整除的数都是偶数 ”的否定是 A所有不能被 2整除的数都是偶数 B所有能被 2整除的数都不是偶数 C存在一个不能被 2整除的数是偶数 D存在一个能被 2整除的数不是偶数 答案： D 试题分析：命题 “所有能被 2整除的数都是偶数 ”是一个全称命题，其否定一定是一个特称命题，故排除 A， B，结合全称命题的否定方法，我们易得命题 “所有能被 2整除的数都是偶数 ”的否定应为 “存在一个能被 2整除的整数不是偶数 ”，故选
8、D 考点：本题考查命题的否定。 点评：本题考查的知识点是命题的否定，做为新高考的新增内容，全称命题和特称命题的否定是考查的热点。 填空题 在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为 。过 F1的直线交椭圆 C于 两点，且 的周长为 16，那么的方程为 。 答案： 试题分析：有题意易知： ，所以 ， 所以 的方程为 。 考点：本题考查椭圆的定义；椭圆的简单性质。 点评：圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形。焦点三角形在我们做题时经常见到。当见到焦点三角形的时候一般要联系圆锥曲线的定义来解决。 设 ，一元二次方程 有整数根的充要条件是 答案：或 4
9、 试题分析：一元二次方程 x2-4x+n=0有实数根 （ -4） 2-4n0 n4； 又 n N+，则 n=4时，方程 x2-4x+4=0，有整数根 2； n=3时，方程 x2-4x+3=0，有整数根 1， 3； n=2时，方程 x2-4x+2=0，无整数根； n=1时，方程 x2-4x+1=0，无整数根所以n=3或 n=4 故答案：为： 3或 4 考点：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系；充要条件。 点评：本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略 已知点（ 2,3）在双曲线 C： （ a 0， b 0）上， C的焦距为 4，则它的离心率为 _. 答案： 试题分析：因为 C的
10、焦距为 4，所以 ，即 ，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标我 ，所以。 考点：本题考查双曲线的定义 ；双曲线的简单性质。 点评：熟练掌握且灵活应用双曲线的定义。本题易错点是，把 c当做焦距，实质上是焦距是 2c。 抛物线 y2 4x的焦点到准线的距离是 _ 答案： 试题分析：因为 y2 4x，所以 p=2，所以焦点到准线的距离是 2. 考点：本题考查抛物线的简单性质。 点评：记住 p的几何意义：焦点到准线的距离。 命题 p“若 x2-3x-4 0，则 x 4或 x -1”否定为 答案：若 x2-3x-4=0则 x 4且 x -1 试题分析：因为命题的否定只否定结论，因此命题 p“若 x
11、2-3x-4 0，则 x 4或x -1”否定为 “若 x2-3x-4=0则 x 4且 x -1”。 考点：本题考查命题的否定。 点评：注意命题的否定和否命题的区别。 解答题 (本小题满分 12分 )命题 若 a 0，则方程 x2+x-a=0有实数根 写出逆命题、否命题、逆否命题并判断真假 . 答案：逆命题：若方程 x2+x-a=0有实数根，则 a 0.（假命题）； 否命题：若 则方程 x2+x-a=0没有实数根 .（假命题）； 逆否命题：若方程 x2+x-a=0没有实数根，则 .(真命题 )。 试题分析：逆命题：若方程 x2+x-a=0有实数根，则 a 0.（假命题） （ 4分） 否命题：若
12、则 方程 x2+x-a=0没有实数根 .（假命题） （ 8分） 逆否命题：若方程 x2+x-a=0没有实数根，则 .(真命题 ) （ 12分） 考点：本题考查四种命题。 点评：本题考查四种命题的相互转化和真假关系的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 (本小题满分 12分 )证明： ax2+bx+c=0有一根是 1的充要条件是 a+b+c=0. 答案：见。 试题分析：证明：必要性： ax2+bx+c=0有一根是 1,则 x=1代入方程得： a+b+c=0 （ 6分） 充分性： a+b+c=0，则 a12+b1+c=0 所以 ax2+bx+c=0有一根是 1。（ 11分） 综上所述： ax2
13、+bx+c=0有一根是 1的充要条件是 a+b+c=0 （ 12分） 考点：本题考查一元二次方程解的有关问题；充分、必要、充要条件。 点评：证明充要条件要从充分性、必要性两方面证明。 已知命题 p：函数 在区间 (0， )上单调递增，命题 q：函数 f(x) ax2-ax 1对于任意 x R都有 f(x)0恒成立如果 p q为真命题， p q为假命题，求实数 a的取值范围 答案： (0,1) 4， )。 试题分析：若命题 p为真，有 a1.所以 p为假时， 0a1 2分 若命题 q为真，有 a 0或 即 a 0或 0a4. 所以命题 q为假时， a0或 a4. 4分 因为 p q为真命题， p
14、 q为假命题， 所以 p， q有且只有一个是真命题，即 p， q一真一假 6分 所以有 p真 q假或 p假 q真 所以 或 a4或 0a1. 10分 所以所求 a的取值范围是 (0,1) 4， ) 12分 考点：本题考查复合命题真假的判断；对数函数的单调性；二次函数的简单性质。 点评：本题以复合命题的真假判断为载体，主要考查了对数函数的单调性和二次函数恒成立问题，应当熟练掌握做本题时，别忘记 讨论二次项系数为 0的情况。 （本小题满分 14分） 如图，设 是圆 上的动点，点 D是 在 轴上的投影， M为 D上一点，且 （ ）当 的在圆上运动时，求点 M的轨迹 C的方程； （ ）求过点（ 3，
15、0）且斜率为 的直线被 C所截线段的长度。 答案：（ ） ；（ ） 。 试题分析：（ ）设 M的坐标为 ， 的坐标为 由已知得 在圆上， 即 C的方程为 （ 6分 ） （ ）过点（ 3， 0）且斜率为 的直线方程为 ，设直线与 C的交点为 ，将直线方程 代入 C的方程，得 ， 即 。 线段 AB的长度为 （ 12分） 注：求 AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。 考点：本题考查圆的简单性质；椭圆的简单性质；弦长公式；轨迹方程的求法。 点评：求曲线的轨迹方程是常见题型，其常采用的方法有直接法、定义法、相关点法、参数法 . 我们这里用到的是相关点法，所谓相关点法就是根据相关点
16、所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 . 不管应用哪种方法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 .要注意区别 “轨迹 ”与 “轨迹方程 ”是两个不同的概念 . （本小题满分 13分）双曲线 的焦距为 2c，直线 过点（ a， 0）和（ 0， b），且点 （ 1， 0）到直线 的距离与点（ -1， 0）到直线 的距离之和 求双曲线的离心率 e的取值范围 . 答案： 试题分析：直线 的方程为 ，即 (3分 ) 由点到直线的距离公式，且 ，得到点（ 1， 0）到直线 的距离 ， (5分 ) 同理得到点（ -1， 0）到直线 的距离 (7分 ) (9分 ) 由 即 于是得 (13分 ) 解不
17、等式，得 由于 所以 的取值范围是 (14分 ) 考点：本题考查双曲线的简单性质；双曲线离心率的求法；直线方程的截距式；点到直线的距离公式。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆）和（双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 （本小题共 14分） 已知椭圆 .过点（ m,0）作圆 的切线 I交椭圆 G于 A， B两点 . （ I）求椭圆 G的焦点坐标和离心率； （ II）将 表示为 m的函数，并求 的最大值 . 答案：（ I） ， ；（ II） 2. 试题分析：（ ）由已知得 所以 所以椭圆
18、 G的焦点坐标为 （ 2分） 离心率为 （ 4分） （ ）由题意知， . 当 时，切线 l的方程 ，点 A、 B的坐标分别为 此时 （ 6分） 当 m=-1时，同理可得 （ 8分） 当 时，设切线 l的方程为 由 设 A、 B两点的坐标分别为 ，则 （ 10分） 又由 l与圆 所以 （ 12分） 由于当 时， 所以 . 因为 且当 时， |AB|=2，所以 |AB|的最大值为 2. （ 14分） 考点：本题考查椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用；弦长公式；点到直线的距离公式；基本不等式。 点评：此题的容易失分的地方是：忘记讨论直线 AB的斜率是否存在。一般情况下，在设直线方程的点斜式的时候，都要 讨论直线的斜率是否存在。此题是常规题型，主要考查弦长公式的灵活应用。
