1、2012-2013学年福建龙岩一中高二上学期第一学段考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 ,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为通过举反例说明选项 A， B， D错误，通过不等式的性质判断出C正确 选项 A中，当 a=2,b=- ,显然此时满足 a 1 b -1但 不成立，故错误。 选项 B中，当 a=2,b=- ,显然此时满足 a 1 b -1但 不成立，故错误。 对于 C， -1 b 1 0b2 1 a 1 a b2故 C正确 对于 D，例如 a= ， b= 此时满足 a 1 b -1， a2 2b，故 D错 故选 C 考点：本试题主要考查了
2、不等式的性质的运用。 点评：解决该试题的关键是对于不等式的可乘性以及倒数性质的理解和运用。想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证 在 中，已知 ， ， ， P为线段AB上 的一点，且 . ，则 的最小值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 = ,sinB=cosAsinC=sin(A+C),那么利用两角和差可知 sinAcosC=0,因为 sinA0,故 C为直角，又因为 S=,那么可知 tanA= ,那么由于点 P 在线段 AB 上，故有 AC=3，BC=4， ，那么利用不等式和函数性质可知 ，运用导数的思想可知最小值为 ，选 D. 考点：本试题主要考查了向量的加
3、减法几何意义以及绚丽的共线的运用。 点评：解决该试题的关键是根据三点共线，以及正弦定理和向量的数量积公式，得到边和角的函数值，进而运用函数思想求解最值。 在数列 中，如果存在常数 ，使得 对于任意正整数均成立，那么就称数列 为周期数列，其中 叫做数列 的周期 . 已知数列满足 ，若 ，当数列 的周期为 时，则数列 的前 2012项的和 为（ ） A 1339+a B 1340+a C 1341+a D 1342+a 答案： D 试题分析：先要弄清题意中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期，先求 x3，再前三项和 s3，最后求 s2012 xn+1=|xn-xn-1|（
4、 n2， n N*），且 x1=1， x2=a（ a1， a0）， x3=|x2-x1|=1-a,该数列的前 3项的和 s3=1+a+（ 1-a） =2 数列 xn周期为 3， 该数列的前 2012项的和 s2012=s2010+x1+x2= =1341+a,选 B. 考点：本试题主要以周期数列为载体，考查数列具的周期性，考查该数列的前n项和 . 点评：解决该试题的关键在于应由题意先求一个周期的和，再求该数列的前 n项和 sn 不等式 对于 恒成立，那么 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为要使得不等式 对于 恒成立，那么要考虑当 a-2=0时，即 a=2，原不等式等
5、价于 -40显然恒成立，当 a 2时，则根据二次函数性质可知，只有开口向下，判别式小于零时满足题意，即，解得 -2a2,综上可知参数 a 的范围是 ，故选 B. 考点：本试题主要考查了含有参数的一元二次不等式的恒成立问题的运用。 点评：解决该试题的关键是要对参数 a-2是否为零进行分类讨论，确定出不等式的性质，分别验证并求解得到结论。 ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c.若 a、 b、 c成等比数列，且c=2a,则 cosB等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： a， b， c，且 a， b， c成等比数列且 c=2a， b2=ac=2a2， b= a，c=
6、2a，那么由余弦定理可知 cosB= ,选 B. 考点：本试题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定 理在解三角形中的应用，属于基础试题。 点评：解决该试题的关键是由 a， b， c，且 a， b， c成等比数列且 c=2a可得，b= a， c=2a，结合余弦定理求解得到。 已知 中， .则 （ ）。 A B C 或 D 或 答案： A 试题分析：因为由已知可知 , ， 那么结合正弦定理，则 sinC= ,进而说明 CB，因此有内角和定义可知，角 C不能为钝角，只有选 A. 考点：本试题主要考查了解三角形中正弦定理的运用，求解角。 点评：解决该试题的关键是根据已知中两边及其一边的对角来结合正弦
7、定理求解另一角，易错点就是产生多解问题。 若不等式 的解集为 ，则 a-b值是（ ） A -10 B -14 C 10 D 14 答案： A 试题分析：因为不等式 的解集为 ，所以说明和 是方程 的两个根，且开口向下，即 a0，那么，则 a-b值是 -10，选 A 考点：本试题主要考查了一元二次不等式的解集的运用。 点评：解决该试题的关键是利用根与次数的关系，两根和为 - ，两个根之积为，进而确定参数的值，得到结论。 在等差数列 中，前四项之和为 40，最后四项之和为 80，所有项之和是210，则项数 为（ ） A 12 B 14 C 15 D 16 答案： B 试题分析：由题意可得， a1+
8、a2+a3+a4=40 an+an-1+an-2+an-3=80 由等差数列的性质可知 + 可得， 4（ a1+an） =120 （ a1+an） =30 由等差数列的前 n项和公式可得， Sn= = 15n=210，所以 n=14，故选 B 考点：本试题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前 n项和公式的简单运用，属于对基础知识的简单综合 点评：解决该试题的关键是由题意可得， a1+a2+a3+a4=40， an+an-1+an-2+an-3=80，两式相加且由等差数列的性质可求（ a1+an）代入等差数列的前 n项和公式得到结论。 在 中，若 ，则 的形状一定是（ ） A锐角三角形 B钝角
9、三角形 C直角三角形 D等腰三角形 答案： D 试题分析： 在 ABC中， acosB=bcosA， ，又由正弦定理可得 = ， sinAcosB-cosAsinB=0， sin（ A-B） =0 由 - A-B 得， A-B=0，故 ABC为等腰三角形， 故选 D 考点：本试题主要考查了正弦 定理的应用，根据三角函数值求角的大小。 点评：解决该试题的关键是利用边化角的思想得到 sin（ A-B） =0，并能利用角的范围，确定出 A,B的关系式。 在等比数列 an中， =1， =3，则 的值是 A 14 B 16 C 18 D 20 答案： B 试题分析：根据题意在等比数列 an中， =1，
10、=3，则 - =2，而 ，- ， 构成了等比数列，那么可知该数列的公比为 2，因此可知 ，所以 =，故选 B. 考点：本试题主要考查了等比数列的前 n项和的公式和性质的运用。 点评：解决该试题的关键是能理解在等比数列中等长连续片段的和，依然是等比数列，类比等差数列中，等长连续片段的和，依然是等差数列得到结论。 已知变量 满足 ，目标函数是 ，则有（ ） A B 无最小值 C 无最大值 D 既无最大值，也无最小值 答案： C 试题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=2x+y表示直线在 y轴上的截距，只需求出可行域直线在 y轴上的截距最值情况即可 先根据约束条件画出可行域，
11、当直线 z=2x+y过点 A（ 5， 2）时， z最大是 12，当直线 z=2x+y过点 B（ 1， 1）时， z最小是 3，但可行域不包括 A点，故取不到最大值故选 C 考点：本试题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 点评：解决该试题的关键是准确作图，根据可行域和目标函数的斜率的关系，通过平移法，确定过那个点时截距最大和最小得到结论。 设 成等比数列，其公比为 2，则 的值为（ ） A 1 BC D 答案： D 试题分析：因为 成等比数列，且公比为 2，那么可知，故选 D. 考点：本试题主要考查了等比数列的概念和通项公式的运用。 点评：解决该试题的关键是利用前四项成
12、等比，得到 ，那么根据题意，将所求的根据通项公式表示为 q的值得到。 填空题 研究问题： “已知关于 的不等式 的解集为 (1， 2)，解关于的不等式 ”，有如下解法： 解：由 令 ，则 所以不等式 的解集为 参考上述解法，已知关于 x 的不等式 的解集为 (-3， -1) (2， 3)， 则关于 x的不等式 的解集为 . 答案： 试题分析：由于根据已知的解法，和 x的不等式 的解集为 (-3， -1) (2， 3)，可知用 - 替换 x，不等式可化为，可得 (-3， -1) (2， 3)，可得 x,故答案：为 考点：本试题主要考查了不等式的解集的求解，是一个创新的试题。 点评：解决该试题的关
13、键是读懂题意，将方程问题和不等式问题进行转化，利用二次不等式的解集问题和分式不等式的化简整式不等式的思想来解得。 一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比 为 _. 答案： 试题分析：因为设 an=an+1+an+2则根据等比数列的通项公式的性质可知，an=an+1+an+2=qan+q2an， q2+q-1=0， q 0，所以 q= ,故答案：为 。 考点：本试题主要考查了等比数列的通项公式，以及一元二次方程的求解，同时考查了计算能力，属于基础题。 点评：解决该试题的关键是根据任何一项都等于它的后面两项的和建立等式，转化成 q的方程，解之即可。 已知 则 的最大
14、值为 . 答案： 试题分析：由于 则根据不等式的性质， ，可知，当且仅当 时取得等号，故答案：为 考点：本试题主要考查了均值不等式求解最值的运用。 点评：解决该试题的关键是利用和为定值，那么积有最大值的思想来分析得到结论。注意等号是否成立，这一点是验证最值能否取得的关键一步。 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 若_. 答案： 试题分析：因为在三角形 ABC 中，余弦定理 ,而已知中，则说明 -2 =1， =- ，角 A ，故可知 A= ,答案：为 。 考点：本试题主要考查了余弦定理的运用，解三角形。 点评：解决该试题的关键是能结合已知中三边的平方关系结合余弦定理，分析可知 A的值
15、。 解答题 (本小题满分 12分 ) 在 中，角 A、 B、 C所对的边分别是 ,且=2, （ ） b=3, 求 的值 . （ ）若 的面积 =3，求 b,c的值 . 答案： (I) = ； (II) b= 。 试题分析：（ 1）根据同角关系和三角形中正弦定理得到 sinA的值。 （ 2）结合正弦面积公式得到 c，再利用余弦定理来得到结论。 解： (I) 且 = = 由正弦定理 得 = = 6 分 (II) 因为 = = 3所以 所以 c =5，由余弦定理得 所以 b= 12 分 考点：本试题主要考查了解三角形的运用。 点评：解决该试题的关键是能够熟练的运用正弦定理和余弦定理公式以及三角形的正
16、弦面积公式来解决三角形。 (本小题满分 12分 )已知等差数列 满足： ， ， 的前 n项和为 （ ）求通项公式 及前 n项和 ； （ ）令 = (n N*)，求数列 的前 n项和 答案：（ ） ； = ；（ ） = 。 试题分析：（ 1）结合已知中的等差数列的项的关系式，联立方程组得到其通项公式和前 n项和。 （ 2）在第一问的基础上，得到 bn的通项公式，进而分析运用裂项法得到。 解：（ ）设等差数列 的公差为 d，由已知可得 ， 解得 ， 2 分， 所以 ； 4 分 = = 6 分 （ ）由（ ）知 ， 所以 = = = 9 分 所以 = = 即数列 的前 n项和 = 12 分 考点：本
17、试题主要考查了等差数列的通项公式以及前 n项和的求解运用。 点评：解决该试题的关键是能得到等差数列的通项公式，然后求解新数列的通项公式，利用裂项的思想来得到求和。易错点就是裂项的准确表示。 （本题满分 12分）已知不等式 的解集为 ，不等式的解集为 （ ) 求 ； （ ）若不等式 的解集为 ，求 的值 答案：（ I） （ ） 试题分析：（ 1）由题意利用一元二次方程的解法分别求出集合 A和 B，然后利用集合的并集定义进行求解； （ 2）已知不等式 ax2-x+b 0的解集为 A B，可以求出 a， b的值，然后把其代入不等式 x2+ax+b 0进行求解； 解：由 得 ，所以 2 分 由 得 或
18、 ，所以 4 分 6 分 （ ）由 ( )知 7 分 则不等式 的解集为 ，即 的根为 -1,2， 9 分 ， 11 分 即 12 分 考点：本试题主要考查了集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分。 点评：解决该试题的关键是一元二次不 等式的准确求解，并能利用韦达定理得到系数的值，进而求解得到。 （本小题满分 12分）某炮兵阵地位于地面 A处，两观察所分别位于地面点C和 D处， 已知 CD=6000m， ACD=45, ADC=75, 目标出现于地面点 B处时，测得 BCD=30， BDC=15(如图），求炮兵阵
19、地到目标的距离 .答案： . 试题分析：在 ACD 中，依题意可求得， CAD，利用正弦定理求得 BD 的长，进而在 ABD中，利用勾股定理求得 AB 解：在 中， 根据正弦定理有 : 同理：在 中， ， 根据正弦定理有： 在 中，根据勾股定理有：所以：炮兵阵地到目标的距离为 .12 分 考点：本试题主要考查了解三角形的实际应用利用了正弦定理和余弦整体定理，完成了边角的问题的互化 点评：解决该试题的关键是在 ACD中，利用正弦定理求得 BD的长，在 ABD中，利用勾股定理求得 AB （本小题满分 12分）美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行
20、大型的促销活动，经测算该产品的销售量 P 万件 (生产量与销售量相等 )与促销费用 万元满足 ，已知生产该产品还需投入 成本 万元（不含促销费用），产品的销售价格定为 元 /万件 . （ ）将该产品的利润 万元表示为促销费用 万元的函数； （ ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大。 答案：（ I） ，（ ）； （ II）促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大 。 试题分析：（ 1）根据产品的利润 =销售额 -产品的成本建立函数关系； （ 2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件 （ I）由题意知，该产品售价为 元，代入化简的 ，（ ） 6 分 （ II） 当且仅当 时，上式
21、取等号 所以促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大 12 分 考点：本试题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题 点评：解决该试题的关键是利用已知中产品的售价以及销售量来表示收入，再减去成本得到利润函数。并能灵活运用均值不等式得到最值。 （本小题满分 14分）已知一个数列 的各项都是 1或 2首项为 1，且在第 个 1和第 个 1之间有 个 2，即 1， 2， 1， 2， 2， 2， 1， 2， 2， 2，2， 2， 1， 记数列的前 项的和为 参考： 3132=992， 3233 1056，4445=1980， 4546=2070 （
22、 I）试问第 10个 1为该数列的第几项？ （ II）求 和 ； （ III）是否存在正整数 ，使得 ？如果存在 ,求出 的值；如果不存在 ,请说明理由 答案：（ I） 91（项）；（ II） ； （ III）存在 =993+29=1022，使 试题分析：（ 1）根据题意将第 个 1与第 个 1前的 2记为第 对，那么结合已知条件得到前 对共有项数为 （ 2）因 4445=1980， 4546=2070， 2012-1980=32， 故第 2012项在第 45对中的第 32个数。 （ 3）由于前 k对所在全部项的和为 ，可知结论。 解：将第 个 1与第 个 1前的 2记为第 对， 即 为第 1
23、对，共 项； 为第 2对，共 项； ； 为第 对，共 项； 故前 对共有项数为 （ I）第 10个 1所在的项之前共有 9对，所以 10个 1为该数列的 9(9+1)+1=91（项） 3 分 （ II）因 4445=1980， 4546=2070， 2012-1980=32， 故第 2012项在第 45对中的第 32个数，从而 又前 2012项中共有 45个 1，其余 2012-45 1967个数均为 2， 于是 7 分 （ III）前 k对所在全部项的和为 ，易得， ， ， 即 且自第 994项到第 1056项均为 2，而 2012-1954=58能被 2整除， 故存在 =993+29=1022，使 14 分 考点：本试题主要考查了观察法求数列的通项公式，数列求和方法等知识，解题时要善于发现规律，层层深入的解决问题，要有较强的运算能力。 点评：解决该试题的关键是先将数列分组，便于发现规律，如分为（ 1， 2），（ 1， 2， 2， 2），（ 1， 2， 2， 2， 2,2） ，每组的项数构成数列 2， 4， 6， ，发现将 第 个 1与第 个 1前的 2记为第 对，则前 对共有项数为最后数列分组求和即可。
