1、2012-2013学年辽宁沈阳同泽女中高二下学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若向量方程 2 -3( -2 ) 0，则向量 等于 ( ) A B -6 C 6 D - 答案： C 试题分析：由方程 2 -3( -2a) 0，得， =6 ，选 C。 考点：向量的线性运算 点评：简单题，利用向量线性运算的法则。 在一次研究性学习中，老师给出函数 ，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题： 甲：函数 的值域为 ； 乙：若 ，则一定有 ； 丙：若规定 ，则 对任意恒成立。 你认为上述三个命题中错误的个数有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B 试题分析：由 f（
2、x）的式可知，当 x 0 时 f（ x） = ， y1当 x0时 f（ x）= ， y-1并且该函数在每一分段上单调，所以，可推知甲同学错误，乙同学正确 又有 f1（ x） =f（ x）， fn（ x） =f（ fn-1（ x）；推知法 f2（ x） =，故丙正确，故选 B 考点：函数的式，函数的值域，函数的单调性。 点评：中档题，关键是理解题意，从研究函数的性质入手。 直线 与圆 的位置关系为（ ） A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离 答案： B 试题分析：因为，圆心（ 0,0）到直线 的距离为 ，所以，直线与圆 的位置关系为相交但直线不过圆心，选 B。 考点：点到直线的距离
3、公式，直线与圆的位置关系。 点评：简单题，研究直线与圆的位置关系，常常应用 “几何法 ”，即研究圆心到直线的距离。 已知 满足 ,记目标函数 的最大值为 7，最小值为 1，则 ( ) A 2 B 1 C -1 D -2 答案： D 试题分析：因为，目标函数 的最大值为 7，最小值为 1，即纵截距分别为 7,1时，取到最值。所以，画出直线 x=1,x+y=4,2x+y=1,2x+y=7,观察可知， 经过 x+y=4与 x=1的交点 A（ 1,-1） , x+y=4与 2x+y=7的交点 B（ 1,1） , 故 ，即 ，故 -2，选 D。 考点：简单线性规划，直线方程。 点评：小综合题，注意利用简
4、单线性规划，确定 a,b,c的值。简单线性规划问题的解法， “画，移，解，答 ”。 函数 f(x)=x2+2x-1 的值域为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：借助于二次函数的图象，当 x=-1时，函数值最小为 -2，当 x=2时，函数值最大为 7，所以，函数 f(x)=x2+2x-1 的值域为 ，选 C。 考点：二次函数的图象和性质 点评：简单题，借助于二次函数的图象，确定函数在闭区间的值域。 顶点在同一球面上的正四棱柱体 ABCD-A1B1C1D1中， ， ，则 两点间的球面距离为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 AB
5、CD 边长为 1，高 ，它的八个顶点都在同一球面上，那么，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的对角线长为球的直径，中点 O 为球心 正四棱柱对角线 AC1=2，则球的半径为 1 根据题中所给数据，可得 AOC= ，则 A， C两点的球面距离为 。选 B. 考点：正四棱柱及其外接球的几何特征，球面距离的概念。 点评：简单题，关键是认识到：正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，得到正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的对角线长即为球的直径。 若函数 ，则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 时， ， 即 ，解得，所以， ； a=0时， 即 1a+
6、1,不合题意； 时， ， 即 ，解得， ， 所以， ； a=1时， 即 a+11恒成立； 时， 即 ，化简得， 恒成立，所以， ； 综上知，不等式 的解集为 ，选 B。 考点：分段函数的概念，一元二次不等式解法，分类讨论思想。 点评：中档题，对于抽象函数构成的不等式，应首先考虑 “具体化 ”，本题通过分类讨论，转化得到几个不同的简单不等式。作为选择题，可结代入验证的方法，排除错误选项。 在 ABC中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C的对边，面积 ，则 =( ) A. B. C. D. 答案： C 试题分析：因为， ，所以， ， ， 故 = ，选 C。 考点：三角形面积公式，余弦定理的应
7、用，和差倍半的三角函数。 点评：中档题，本题综合性较强，利用三角形面积公式，余弦定理等，建立的方程，进一步利用 “万能公式 ”求解。 等差数列 的公差为 2，若 成等比数列，则 （ ） A B C 8 D 6 答案： A 试题分析：因为等差数列中， 成等比数列，即 ， 所以， -6，选 A。 考点：等差数列的通项公式，等比数列。 点评：简单题，利用等差数列的通项公式，将 用 和公差表示，进一步求得 。 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2的正三角形，俯视图是直径为 2的圆，则此几何体的外接球的体积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：该几何体为圆锥。设该圆锥的外接球的球心为
8、O，半径为 R，球心O 到圆锥底面的距离为 x，则可得到 ，解之得 R= ， 所以此几何体的外接球的体积 = = 选 C。 考点：三视图，圆锥及其外接球的几何特征，球的体积。 点评：中档题，三视图与圆锥、球综合考查，难度较之于高考题大了些。注意掌握三视图画法规则，正确还原几何体，注意将空间问题转化成平面问题。 下列函数中，在区间 上为增函数的是 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 是增函数，所以， 是减函数； 的图象开口向下，在 是减函数； 是减函数； 在区间 上为增函数，故选 B。 考点：常见函数的单调性，复合函数的单调性。 点评：解简单题，对于常见函数的图象和性质，要了如指
9、掌。复合函数的单调性遵循 “内外层函数，同增异减 ”。 设集合 ， ，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： D 试题分析：因为， = ，所以， 时， ； 时， ，即 ，故 “ ”是 “ ”的既不充分又不必要条件，选 D。 考点：集合的运算，简单不等式解法，充要条件。 点评：小综合题，涉及充要条件的题目，往往综合性较强。充要条件的判断，可利用 “定义法 ”“等价关系法 ”“集合关系法 ”。 填空题 函数 的最大值是 答案： 试题分析：因为， ，所以，时， ，函数为增函数， 时， ，函数为减函数，所以， 时，函数 的最大值是。
10、 考点：导数的计算，应用导数研究函数的最值。 点评：中档题，本题属于导数的基本应用问题，通过研究函数的单调性，明确函数取到最值的 x值，进一步计算得最大值。 在边长为 2的正三角形 ABC中，以 A为圆心， 为半径画一弧，分别交AB， AC 于 D， E若在 ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形 ADE内的概率是 _ 答案： 试题分析：依题意， S ABC= = ， 以 A为圆心， 为半径画一弧所得扇形面积， S 扇 = ， 则豆子落在扇形 ADE内的概率 P= ， 故答案：为： 考点：几何概型概率的计算，扇形、三角形面积计算。 点评：中档题，几何概型的概率估算公式中的 “几何度量
11、 ”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个 “几何度量 ”只与 “大小 ”有关，而与形状和位置无关。 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 答案： 试题分析：该程序逐次运行， S， p分别为 2,3； 5,5； 10,9； 19， 17； 36,33；69,65；故输出的 s为 69. 考点：程序框图的算法功能 点评：简单题，高考题中的算法问题，往往不难，主要是注意逐次运行。 cos300 _. 答案： 试题分析： 。 考点：三角函数诱导公式，特 殊角的三角函数值。 点评：简单题，利用诱导公式，转化成小范围特殊角的三角函数值。 解答题 已知椭圆 C的极坐标方程为 ，点 为其左，右焦点，
12、直线 的参数方程为 ( 为参数， ) （ ）求直线 和曲线 C的普通方程； （ ）求点 到直线 的距离之和 . 答案： ( ) 直线 普通方程为 ；曲线 的普通方程为 ( ) 试题分析： ( ) 直线 普通方程为 ； 2分 曲线 的普通方程为 4分 ( ) , ， 点 到直线 的距离 6分 点 到直线 的距离 8分 10分 考点：简单曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式。 点评：中档题，简单曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，是极坐标、参数方程的基本要求，熟记互化公式及互化方法。 如图，在 Rt ABC中， , BE平分 ABC交 AC 于点 E， 点 D在A
13、B上， ( )求证： AC 是 BDE的外接圆的切线； ( )若 ，求 EC 的长 答案： ( )取 BD的中点 O，连接 OE C=90，得 OE AC，确定 AC 是 BDE的外接圆的切线 ( ) EC=3 试题分析： ( )取 BD的中点 O，连接 OE BE平分 ABC， CBE= OBE又 OB=OE， OBE= BEO， CBE= BEO， BC OE 3分 C=90， OE AC， AC 是 BDE的外接圆的切线 5分 ( )设 O 的半径为 r，则在 AOE中， ，即 ，解得 , OA=2OE， A=30， AOE=60 CBE= OBE=30 EC= 10分 考点：平面几何选
14、讲，圆的几何性质。 点评：中档题，本题作为选考内容，难度不大，正确解题的关键是，充分借助于几何图形的特征，利用 “垂直关系 ”解题。 定义在 R上的函数 ， ，当 时， ，且对任意实数， 有 ， 求证： ； （ 2）证明： 是 R上的增函数； （ 3）若 ，求 的取值范围。 答案：（ 1） a=b=0，得 f(0)=1。 （ 2）任取 x2x1，则 f(x2)0， f(x1)0， x2-x10 利用 得到 f(x2)f(x1) 。 （ 3） 0x1，则 f(x2)0， f(x1)0， x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在 R上是增函数 8 （ 3） f(x) f(2x-x2)=fx+
15、(2x-x2)=f(-x2+3x) 又 1=f(0)， f(x)在 R上递增 由 f(3x-x2)f(0)得： x-x20 0x3 12 考点：函数的单调性，抽象函数不等式的解法，一元二次不等式的解法，赋值法。 点评：中档题，本题作为一道 “连环题 ”，可采用分步得分的原则，首先利用 “赋值法 ”解题。本题主要难点是配凑 。抽象函数不等式的解法，主要是利用函数的单调性，转化成具体不等式求解。 在数列 中， ， 且 （ 1）求 ， 的值； （ 2）证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式； （ 3）求数列 的前 项和 答案：（ 1） ， （ 2） 的通项公式为 （ 3） 试题分析：（ 1）解：
16、， 且 ， ， 2分 （ 2）证明： ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 ，即 ， 的通项公式为 8分 （ 3） 的通项公式为 ， 12分 考点：数列的递推公式，数列的通项公式，等差数列、等比数列的证明， “分组求和法 ”。 点评：中档题，首先根据递推公式，确定得到 的表达式。进一步确定数列的通项公式 。 “分组求和法 ”“裂项相消法 ”“错位相减法 ”是高考常常考查的数列求和方法。 如图，已知棱柱 的底面是菱形，且 面 ， ， 为棱 的中点， 为线段 的中点， （ ）求证： 面 ； （ ）判断直线 与平面 的位置关系，并证明你的结论； （ ）求三棱锥 的体积 . 答案：（ ）证明：连结
17、 、 交于点 ，再连结 ， 可得 且 ，四边形 是平行四边形，由 ，平面 . （ ） 平面 （ ） . 试题分析：（ ）证明：连结 、 交于点 ，再连结 ， ，且 ， 又 ，故 且 ， 四边形 是平行四边形，故 ， 平面 4分 （ ） 平面 ，下面加以证明： 在底面菱形 中 ， 又 平面 ， 面 ， 平面 ， ， 平面 8分 （ ）过点 作 ，垂足 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 在 中， ， ，故 ， 12分 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，体积计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法
18、”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。本题含 “探究性问题 ”，这一借助于几何体中的垂直关系。 某大学高等数学老师这学期分别用 两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为 60人，入学数学平 均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。现随机抽取甲、乙两班各 20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图： （ ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？ （ ）现从甲班高等数学成绩不得低于 80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为 86分的同学至少有
19、一个被抽中的概率； （ ）学校规定：成绩不低于 85分的为优秀，请填写下面的 列联表，并判断 “能否在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？ ” 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 其中 ） 答案：（ ）甲班高等数学成绩集中于 60-90分之间，而乙班数学成绩集中于 80-100分之间，所以乙班的平均分高 . （ ） ; （ ）在犯错误的概率不超过 0.025的前提
20、下可以认为成绩优秀与教学方式有关。 试题分析：（ ）甲班高等数学成绩集中于 60-90分之间，而乙班数学成绩集中于 80-100分之间，所以乙班的平均分高 3分 （ ）记成绩为 86分的同学为 ，其他不低于 80分的同学为 “从甲班高等数学成绩不得低于 80分的同学中随机抽取两名同学 ”的一切可能结果组成的基本事件有： 一共 15个， “抽到至少有一个 86分的同学 ”所组成的基本事件有：共 9个， 5分 故 7分 （ ） 甲班 乙班 合计 优秀 3 10 13 不优秀 17 10 27 合计 20 20 40 9分 ，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。
21、 12分 考点：茎叶图，古典概型概率的计算，卡方检验。 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。解答本题的关键之一，是确定 “事件数 ”，一般处理方法有 “树图法 ”“坐标法 ”，力求不重不漏。本题对计算能力要求较高。 设 是平面上的两个向量，若向量 与 相互垂直， （ ）求实数 的值； （ ）若 ，且 ，求 的值 . 答案：（ ） （ ） . 试题分析：（ ）由题设，得 ，即 所以， ，即 因为 ，所以 6分 （ ）由（ ）知， ， ， ，则 ， 12分 考点：平面向量的坐标运算，两角和与差的三角函数。 点评：中档题，利用平面向量的坐标运算，得
22、到三角函数式，利用三角函数公式，进一步解题，是高考常见题型。本题解答中，利用 这一变换，是关键。 若关于 的方程 有实根 ( )求实数 的取值集合 ( )若对于 ，不等式 恒成立，求 的取值范围 答案： ( ) ； ( ) 。 试题分析：（ ） 关于 x的方程 有实根， =16-4|a-3|0，即 |a-3|4， -4a-34， -1a7，故实数 a的取值集合 A=a|-1a7 ； （ ） 对于 a A，不等式 t2-2at+12 0恒成立，令 f（ a） =-2at+t2+12，则 f（ a） 0 恒成立 故 f（ -1） 0 且 f（ 7） 0，即 2t+t2+12 0 ，且 -14t+t2+12 0 解 得 t ，解 得 综上可得， t的取值范围 10分 考点：一元二次不等式解法，不等式恒成立问题。 点评：中档题，对于二次函数的根的问题，变更主元，构造函数 f（ a） =t2-2a|t|+12，转化为函数的最小值是解题的关键和难点。
