1、2012-2013学年辽宁沈阳同泽女中高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 U=R，集合 M= ，集合 ，则集合等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 考点：集合交并补运算 点评：两集合的交集是由两集合的相同的元素构成的集合，集合的补集是由全集中除去集合中的元素后剩余的元素构成的集合 定义在 上的周期函数 ，其周期 ，直线 是它的图象的一条对称轴，且 上是减函数如果 是锐角三角形的两个内角，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 周期 ，直线 是对称轴，所以 y轴是对称轴，函数是偶函数， 上是减函数，所以在 上是减函数，在 上是增函数，因为
2、 是锐角三角形的两个内角 结合函数单调性可知 考点：函数性质 点评：本题综合考察到了函数的周期性，对称性，单调性等性质及三角函数诱导公式等，有一定的综合性，需要学生对常用函数性质灵活掌握 已知 之间满足关系：，其中 取得最小值时， 的大小为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，展开整理得最小为 ，此时 考点：向量运算 点评：本题中首先利用 将向量的模的关系转化为向量运算，求两向量的夹角主要利用关系式 已知点 在直线 上 ,则 的最小值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：点 在直线 上 ，当且仅当 时等号成立 考点：均值不等式 点评：利用均值不等式 求最
3、值时要注意其成立的条件： 是正数，当和为定值时乘积取最值，当乘积为定值时和为定值，当且仅当 时等号成立 已知变量 x、 y满足约束条件 的取值范围是（ ） A B C D 3， 6 答案： A 试题分析：线性约束对应的可行域是由直线 相交的三交点 围成的三角形， 可看作点 连线的斜率，结合图形可知 考点：线性规划 点评：线性规划问题求最值时，出现最值的点一般位于可行域的顶点或边界处 在 ABC中， （ a、 b、 c分别为角 A、 B、 C的对边），则 ABC的形状为（ ） A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 答案： A 试题分析： 整理得 ，三角形为直角三角
4、形 考点：解三角形 点评：判定三角形的形状，一般借助于正余弦定理找到三内角或三边的关系， 从而确定其形状 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平 面，则下列四个命题中，正确命题的个数是（ ） 若 若 若 若 A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 答案： C 试题分析： 中直线 与平面 可能平行可能在直线在平面内； 中 可能平行，可能相交还可能直线 在 面内； 可能平行，还可能直线 在 面内； 由线面垂直关系可知 成立 考点：线面平行垂直的判定与性质 点评：本题考查的是线面垂直平行的判定与性质等基本定理，需学生熟练掌握基本定理，属于容易题 已知点 A（ 1， 0）和圆 上一点 P，动点 Q 满
5、足 ，则点 Q 的轨迹方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：设 ，由 得 ，代入圆得 考点：动点的轨迹方程 点评：求动点的轨迹方程的步骤：设所求点为 ，找到动点满足的关系式，将关系式坐标化，整理化简得方程，验证是否有不满足要求的点 函数 的定义域为（ ） A 1， 3 B C（ 1， 3） D 答案： D 试题分析：要使函数有意义，需满足 且考点：函数定义域 点评：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围 已知等差数列 的值是（ ） A 15 B 30 C 31 D 64 答案： A 试题分析：由等差数列的性质可知 考点：等差数列性质 点评：在等差数列 中，若 则 = （ ）
6、A 2 B 4 C 1 D 8 答案： A 试题分析： ， 考点：向量运算及求模 点评：在求模时常利用关系式 将其转化为向量运算 填空题 若函数 是 R上的单调递增函数，则 的取值范围是 。 答案： 试题分析：由题意可知 时是增函数需满足 ，当 时是增函数需满足 或 所以 或 ， 时的最小值与 时的最大值满足 ，综上可得 考点：函数单调性与最值 点评：本题中当 时的最小值大于当 时的最大值，这一条件在求解时是容易被忽略的 等差数列 ，该数列前 n项和 取最小值时， n= 。 答案：或 16 试题分析： 是递增数列，所以当 或 时 取最小值 考点：数列求和与性质 点评：结合数列性质：若 则 可得
7、到数列中正负项分界的位置，利用单调性可得到所有负数项之和最小 在长为 12的线段 AB上任取一点 M，以线段 AM为边作正方形，则这正方形的面积介于 362与 812之间的概率为 。 答案： 试题分析：正方形的面积介于 36与 81之间，则边长介于 6与 9之间，依据几何概型概率的求解方法可得概率为 考点：几何概型概率 点评：几何概型概率的求解通常利用的是长度比，面积比或体积比 与直线 平行的抛物线 的切线方程是 答案： 试题分析：设切点为 ，由 得 ，切线斜率为，切线方程为 考点：导数的几何意义 点评：利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，可求出切线斜率及方程 解答
8、题 某食品加工厂甲，乙两个车间包装小食品，在自动包装传送带上每隔 30分钟抽取一袋食品，称其重量并将数据记录如下： 甲： 102 100 98 97 103 101 99 乙： 102 101 99 98 103 98 99 （ 1）食品厂采用的是什么抽样方法（不必说明理由）？ （ 2）根据数据估计这两个车间所包装产品每袋的平均质量； （ 3）分析哪个车间的技术水平更好些？ 附： 答案：（ 1）系统抽样（ 2）每袋产品的平均质量是 100（ 3）乙的技术更好 试题分析：（ 1）系统抽样 2分 （ 2） 每袋产品的平均质量是 100 6分 （ 3） 又每袋的平均质量都是 100，故乙的技术更好
9、10分 考点：期望方差 点评：比较两车间的技术水平，一般需比较期望方差两个量，期望值越高说明平均水平越高，方差越小说明数据的波动程度越小，数据越稳定 已知 （ 1）若 的单调递增区间； （ 2）若 的最大值为 4，求 a的值； （ 3）在（ 2）的条件下，求满足 集合。 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1） 令 即 故 的单调递增区间为 4分 （ 2） 当 8分 （ 3） 若 即 所以满足条件的 的集合为 12分 考点：三角函数化简求值及性质 点评：求三角函数性质首先要将其式整理为 的形式，求增区间只需令 求解 的范围，函数的最值由 决定 在正方体 ABCDA 1B1C1D1
10、中， E、 F分别为棱 BB1和 DD1的中点 . （ 1）求证：平面 B1FC/平面 ADE； （ 2）试在棱 DC 上取一点 M，使 平面 ADE； （ 3）设正方体的棱长为 1，求四面体 A-1FEA 的体积 . 答案：（ 1） E、 F分别为正方体 ABCDA 1B1C1D1棱 BB1和 DD1中点 . 四边形 DFB1E为平行四边形，即 FB1/DE，由又 平面 B1FC/平面 ADE（ 2）取 DC 中点 M（ 3） 试题分析：（ 1）证明： E、 F分别为正方体 ABCD A1B1C1D1棱 BB1和 DD1中点 . 四边形 DFB1E为平行四边形， 即 FB1/DE， 由 2分
11、 又 平面 B1FC/平面 ADE. 4分 （ 2）证明：取 DC 中点 M，连接 D1M， 由正方体性质可知， ， 且 5分 所以 又 所以 所以 6分 又 平面 B1FC1 又由（ 1）知平面 B1FC1/平面 ADE. 所以 平面 ADE. 8分 （ 3）方法一：由正方体性质有点 F到棱 AA1的距离及点 E到侧面 A1ADD1的距离都是棱长 1 9分 12分 方法二：取 EF 中点 O1， 把四面体分割成两部分 FAA 1O1， EAA 1O1 10分 E、 F分 为正方体 ABCDA 1B1C1D1棱 BB1和 DD1中点， 由正方体性质有， O1为正方体的中心 . 平面 AA1O，
12、 O1到 AA1的距离 为面对角线的一半， 12分 考点：线面垂直平行的判定与椎体体积 点评：判定两面平行常用的方法是其中一个平面内两条相交直线平行于另外一面；判定线面垂直常用方法是直线垂直于平面内两条相交直线；椎体体积直线 与圆 交于 、 两点，记 的面积为 （其中 为坐标原点） （ 1）当 ， 时，求 的最大值； （ 2）当 ， 时，求实数 的值 答案：（ 1）最大值 （ 2） ， ， ， 试题分析：（ 1）当 时，直线方程为 ， 设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 由 ，解得 ， 所以 2分 所以 5分 当且仅当 ，即 时， 取得最大值 6分 （ 2）设圆心 到直线 的距离为 ，则 因为
13、圆的半径为 ， 所以 9分 于是 ， 即 ，解得 12分 故实数 的值为 ， ， ， 考点：直线与圆相交的位置关系 点评：直线与圆相交时常采用弦长的一半，圆的半径及圆心到直线的距离构成的直角三角形求解 设 ，函数 ，其中 是自然对数的底数。 （ 1）判断 在 R上的单调性； （ 2）当 时，求 在 上的最值。 答案：（ 1）当 时 在 R上是单调递增函数，当 时在上是单调递增函数，在上是单调递减函数（ 2）， 试题分析：（ 1）对 求导，得 1分 设 当 时， 即 在 R上是单调递增函数 3分 当 时， 的两根分别为 且 当 时， 即 当 时， 即 在 上是单调递增函数； 在 上是单调递减函数
14、 6分 （ 2）当 时， 时， 是单调递增函数 10分 故 时， 12分 考点：函数单调性与最值 点评：当函数式中有参数时要对参数分情况讨论确定其单调性，函数在闭区间上的最值出在闭区间的端点或极值点处 设等比数列 都在函数的图象上。 （ 1）求 r的值； （ 2）当 ； （ 3）若对一切的正整数 n，总有 的取值范围。 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）由已知可得， 当 时， 是等比数列， 4分 （ 2）由（ 1）可知， 8分 （ 3） 递增， 当 时， 取最小值为 所以一切的 12分 考点：数列求通项求和 点评：数列求和采用的错位相减法，此法适用于通项公式为关于 n的一次式与指数式的乘积形式的数列，第三问不等式恒成立转化为求数列前 n 项和的最值，期间借助了数列的单调性
