1、2012-2013学年辽宁沈阳铁路实验中学高二寒假验收数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列说法正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 是不含有任何元素的集合，空集是任何集合的子集，所以 A项改为 就正确了，同时可知 C项 不正确， Q 表示有理数集，而 是无理数，所以 D项不正确 考点：空集及各种常见数集 点评： 是不含有任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，常见数集有：自然数集 N，正整数集 ，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R 从 中随机选取一个数为 ，从 中随机选取一个数为 ，则 的概率是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： 的选取
2、有 5 种， 的选取有 3 种，则所有 的组合情况有 15 种，符合 的情况是 共 3种，所以 的概率为 考点：古典概型概率 点评：古典概型概率的计算要找到试验的所有基本事件种数及满足题目要求的基本事件种数，两者求其比值 完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为 2 3，请木工需付日工资每人 50元，请瓦工需付日工资每人 40元，现有日工资预算 2 000元，设每天请木工 x人、瓦工 y人，则每天请木、瓦工人数的约束条件（ ） A B C D 答案： C 试题分析：木工和瓦工的约束条件主要包括人数的限制与日工资的限制，人数比例为 2 3，日工资不超过 2000，结合实际问题人数都应取正整数，综上
3、C项满足题意 考点：实际问题的线性约束条件 点评：本题中 是容易忽略的条件，在解决实际问题时，应考虑实际情况对变量的限定 一个与球心距离为 1的平面截球所得的圆面积为 ，则球的表面积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设球的半径为 R，截面小圆半径为 r ，球的表面积 考点：圆的截面小圆性质及球的表面 积 点评：球的半径为 R，截面小圆半径为 r，球心到截面的距离为 d,则有，球的表面积 设 用二分法求方程 在区间（ 1， 2）上近似解的过程中，计算得到 ，则方程的根落在区（ ） A（ 1,1 25） B（ 1 25，1 5） C（ 1 5, 1 75） D（ 1 75,2） 答案
4、： B 试题分析： ，函数在 上连续，由函数零点定理可知零点在区间 内 考点：函数零点定理 点评：函数零点定理：若函数在 上连续，则函数在 上存在零点的充分条件是 的内角 的对边分别为 ，若 ,则 等于（ ） A B 2 C D 答案： D 试题分析：由余弦定理可得 ，代入数据 考点：正余弦定理解三角形 点评：本题用到的余弦定理 ，利用正余弦定理可实现三角形中边角的互相转化 已知角 的终边上一点的坐标为（ , ），则角 的最小正值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由三角函数定义可得 ，又点 在第四象限，所以角 的最小正值是 考点：三角函数定义及特殊角的三角函数 点评：三角函数定义
5、：点 是角 终边上一点，设 ，则若某多面体的三视图（单位： cm）如图所示 ,则此多面体的体积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三视图可知该几何体是三棱锥，底面是等腰三角形，其底边长为3，高位 2，正对的侧面是等腰三角形，另一条侧棱垂直于底面且长度为 2，所以体积为 6 考点：三视图及几何体体积 点评：先由三视图还原出直观图，由几何体的特点求其体积 按右图所示的程序框图运算，若输入 ，则输出 的值是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： B 试题分析：程序执行过程中各数据变化情况如下：输出 为4 考点：程序框图 点评：程序框图题关键是分析清楚循环体执行的次数 已知平面向
6、量 ， ，且 ，则 的值为（ ） A -3 B -1 C 1 D 3 答案： C 试题分析： 考点：向量垂直于坐标间的关系 点评：若 则 ， 不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：与不等式对应二次函数为 ，函数与 x轴交点，结合二次函数图像可知不等式的解为 考点：一元二次不等式的解法 点评：在求解一元二次不等式时常借助与与不等式对应的二次函数图象分析考虑 直线 的斜率是 3，且过点 A（ 1,-2） ,则直线 的方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：有直线的点斜式方程可知直线 方程为 ，整理的考点：求直线方程 点评：直线过点 ，斜率为 ，则点斜式方程为 填
7、空题 在集合 上定义两种运算 和 *（如下图），则 * _ * 答案： 试题分析： 考点：信息给予题 点评：本题考查学生的变通能力，难度不大，解决本题的关键在于读懂题中表格意思 设函数 ，则 的最大值为 _ 答案： 试题分析：二次函数 开口向上，对称轴 ，函数在上先减后增， ，所以最大值为 8 考点：二次函数在某一定义域内求最值，此题要结合函数图象，分析给定区间内的单调性从而确定取得最值的位置 点评：二次函数求最值是常考的求值的题目，要注意对称轴与给定区间的位置关系 某校有学生 2000人，其中高三学生 500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法， 从该校学生中抽取一个 20
8、0人的样本，则样本中高三学生的人数为 答案： 试题分析：分层抽样抽取的人数比例为 高三学生抽取50人 考点：分层抽样 点评：分成抽样先将被抽取的对象的全体按特点差异分成若干层，各层按照同一比例分别抽取一部分再构成样本的抽样方法，适用于被抽取对象个体差异较大时 若集合 ， ，且 ，则实数 取值的集合为 答案： 1,0,1 试题分析：由 ，所以集合 B可以是 ，当 时 ；当 时 ；当 时 ，所以 取值的集合为 考点：集合的包含关系 点评： 则集合 B中的元素都在集合 A中，特别要注意 不可忽略 解答题 （本小题满分 10分） 已知一条曲线上的点到定点 的距离是到定点 距离的二倍，求这条曲线的方程
9、答案： 试题分析：解：设 M（ x,y）是曲线上任意的一点，点 M在曲线上的条件是 -4分 由两点间距离公式，上式用坐标表示为 ， 两边平方并化简得所求曲线方程 -10分 考点：求动点的轨迹方程 点评：求解步骤： 1，建立坐标系，设出所求点坐标 ， 2，列出关于动点的关系式， 3，将关系式转化为点的坐标表示， 4，整理化简， 5，验证是否有不满足题意要求的点 （本小题满分 10分） 一种放射性元素，最初的质量为 500g，按每年 10衰减 （ ）求 t年后，这种放射性元素质量 的表达式； （ ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）（精确到 0 1；参考
10、数据： ） 答案：（ ） =500 （ ）半衰期约为 年 试题分析：（ ）最初的质量为 500g， 经过 1年， =500（ 1-10） =500 ， 经过 2年， =500 ， ， 由此推出， t年后， =500 -5分 （ ）解方程 500 =250 = ， ， ， 所以，这种放射性元素的半衰期约为 年 -10分 考点：指数函数应用题及只属于对数的互化 点评：本题第一问由经过一年，二年 的剩余质量归纳出 t 年后的剩余含量，第二问涉及到指数式与对数式的转化 转化为 （本小题满分 10分） 记等差数列 的前 n项和为 ，已知 ， （ ）求数列 的通项公式； （ ）令 ，求数列 的前项和 答案
11、：（ ） （ ） 试题分析：（ ）设等差数列 的公差为 d，由已知条件得可得数列 的通项公式为 =n -4分 （ ） =- = = -10分 考点：等差数列求通项及错位相减法数列求和 点评：等差数列求通项时可将已知条件转化为用首项 和公差 表示，解其构成的方程组；错位相减法求和是常用的求和方法，适用于通项公式是由关于 n的一次函数与指数函数相乘形式的 （本小题满分 10分） 如图，在直三棱柱 中， ， 棱上有两个动点 E， F，且 EF = a （ a为常数） （ ）在平面 ABC 内确定一条直线，使该直线与直线 CE垂直； （ ）判断三棱锥 BCEF 的体积是否为定值若是定值，求出这个三棱锥
12、的体积；若不是定值，说明理由 答案：（ ）取 AC 中点 D，连接 BD，直线 BD即为所求直线（ ）体积是定值为 试题分析：（ ）取 AC 中点 D，连接 BD ， D 为底边 AC 中点， 又 ， 直线 -5分 （ ） 直线 , EF 上的高为线段 ， 由已知条件得 ， 故 由（ ）可知， 在等腰三角形 ABC 中，可求得 BD= ， -10分 考点：线面垂直的判定和性质定理及锥体的体积计算 点评：线面垂直的判定：一条直线垂直于平面内两条相交直线，则这条直线垂直于平面。锥体的底面积为 S，高为 h，则体积 （本小题满分 12分） 已知 ，写出用 表示 的关系等式，并证明这个关系等式 答案：
13、 试题分析：如图，在平面直角坐标系 xoy内作单位圆 O，以 Ox为始边作角 ，它们的终边与单位圆的交点分别 为 A， B 则 ， 由向量数量积的定义，有 由向量数量积的的坐标表示，有 于是 -7分 对于任意的 ，总可选取适当的整数 k，使得 = + 或 =- + 成立 故对于任意的 ，总有 成立，带入 式得 对 ，总有 成立 -12分 另证：由于 都是任意角， 也是任意角由诱导公式，总可以找到一个角 当 时， ，则有 ，带入 既得 当 时， ， 就是 的夹角，则有 ，带入 既得 综上，对 ，总有 -12分 考点：利用向量证明两角差的余弦展开式 点评：向量在高中数学的多个板块应用广泛，如向量解三角形求内角，向量表示直线间的垂直平行关系，向量证明立体几何中的线面的垂直平行关系及求异面直线所成角，线面角及二面角等
