1、2012-2013学年辽宁省五校协作体高一下学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 =（ ） A B C D 答案： D 试题分析： = ，故选 D。 考点：本题主要考查三角函数诱导公式，特殊角的函数值。 点评：简单题，利用诱导公式，转化成 0到 范围内的角的函数值。 给出以下命题 若 则 ； 已知直线 与函数 ，的图象分别交于 两点，则 的最大值为 ； 若 是 的两内角，如果 ，则 ； 若 是锐角 的两内角，则 。 其中正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：由余弦函数的值域可知， 只有所以， ， 正确； 因为 ，所以， 正确； 三角形中， ，则 ， 正
2、确； 锐角 的两内角， ,所以，即 ， 正确，综上知，选 D。 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质，诱导公式，两角和差的三角函数。 点评：中档题，综合应用三角函数的图象和性质，诱导公式，两角和差的三角函数，逐一判断。 函数 满足 ，那么函数 的图象大致为（ ）答案： C 试题分析：因为，函数 满足 ，所以， 。= ，函数 的图象，即 的图象沿 x轴向左平移一单位后，将 x轴下方的图象再反折到 x轴上方，故选 C。 考点：本题主要考查幂函数、对数函数的图象和性质，函数图象的变换。 点评：小综合题，函数图象的变换满足 “左加右减，上加下减 ”。 定义在 R上的函数 既是奇函数又是周期函数，若
3、的最小正周期是，且当 时， ，则 的值为 A B C D 答案： C 试题分析：因为，定义在 R上的函数 既是奇函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当 时， ，所以， =，故选 C。 考点：本题主要考查三角函数的奇偶性、单调性，特殊角的三角函数值。 点评：中档题，利用转化与化归思想，将问题转化成计算 范围内的三角函数值。 已知平面上 三点共线，且 ,则对于函数 ，下列结论中错误的是（ ） A周期是 B最大值是 2 C 是函数的一个对称点 D函数在区间 上单调递增 答案： C 试题分析：因为， ， 所以， ，故，结论中错误的是是函数的一个对称点，选 C。 考点：本题主要考查平面向量基本定理
4、，正弦型函数的图象和性质。 点评：小综合题，转化得到函数 的式是基础，掌握正弦型函数的图象和性质的研究方法是关键。 已知 ，且 均为锐角，则 =（ ） A B C 或 D 答案： A 试题分析：因为， ，且 均为锐角，所以， ， ，又余弦函数在 是单调函数，所以， = ，故选 A。 考点：本题主要考查两角和差的三角函数，三角函数同角公式，三角函数单调性。 点评：典型题，求角问题，要做好两项工作，一是确定角的某种三角函数值，二是确定角的范围，根据函数的单调性，确定角的唯一性。 已知 ，且 ，则 =（ ） A -1 BC D 答案： B 试题分析：因为， ，且， 所以， ， = = = ，故选 B
5、。 考点：本题主要考查三角函数的同角公式，角的和差的三角函数公式。 点评：典型题，此类问题解答的一般方法，是角的配凑， 如， 。 若 ，三角函数式 的化简结果为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为， ，所以， 。 由三角函数的倍半公式， = ，故选 D。 考点：本题主要考查倍角、半角的三角函数公式。 点评：简单题，利用三角函数倍半公式化简，要注意角的范围，准确确定正负号。 已知函数 的部分图象如图所示 则 的函数式为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：观察图象可知， A=3， = ，即 ，将（ ， -3）代入得， ， ，所以， = ， 故 ，选 A。 考点：本题主要考查
6、余弦型函数的图象和性质。 点评：简单题，利用图象确定函数的式，一般的，通过观察求 A， T，通过代入点的坐标，进一步求 。 函数 的单调递减区间是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为， = ，由复合函数的单调性， 解 得，函数 的单调递减区间是，选 A。 考点：本题主要考查正切函数的单调性，复合函数的单调性。 点评：简单题，复合函数的单调性，遵循 “内外层函数，同增异减 ”。 已知平面向量 若 与 垂直，则实数 =（ ） A -1 B 1 C -2 D 2 答案： B 试题分析：因为，平面向量 且 与 垂直，所以，（ ） =0， 即，（ -4， -3 +2） （ 1， ,3） =
7、0，所以， -4-3（ 3 +2） =0， =1，故选B。 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量垂直的条件。 点评：简单题，两向量垂直，向量的数量积为 0. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A B CD 答案： B 试题分析：四个函数中，是奇函数的有 ， ， ，但在定义域内是减函数的只有 ，故选 B。 考点：本题主要考查常见函数的奇偶性、单调性。 点评：简单题，常见函数的性质，应了如指掌。 填空题 已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围是 (用区间表示 ) 答案： 试题分析：因为，函数 在 上为增函数，所以，解得 的取值范围是 。 考点：本题主要考查分段函数的单
8、调性，简单不等式解法。 点评：小综合题，结合函数的图象，确定 a的不等式组。 给出下列六种图像变换方法 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变； 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变； 图象向右平移 个单位； 图象向左平移 个单位； 图象向右平移 个单位； 图象向左平移 个单位 请用上述变换中的两种变换，将函数 的图象变换到函数 的图象，那么这两种变换的序号依次是 （填上一种你认为正确的答案：即可） 答案： （或 ）； 试题分析：正弦型函数图象的变换，一般有两种思路，一是先平移，再做伸缩变换；二是先伸缩变换，再平移。所以， 图象向左平移 个单位，再图象上所有点的横坐标伸长
9、到原来的 2倍，纵坐标不变；即 ；或 “图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变；再图象向左平移 个单位 ”即 ，故答案：为 或 。 考点：本题主要考查正弦型函数图象的变换。 点评：简单题，正弦型函数图象的变换，一般有两种思路，一是先平移，再做伸缩变换；二是先伸缩变换，再平移。二者不同在于平移的单位数，要注意。 一个正三棱柱的侧棱长和底边长相等，体积为 ，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 答案： 试题分析：因为，正三棱柱的侧棱长和底边长相等，体积为 ，由，得 。左视图是一个矩形，则这个矩形的边长分别为侧棱长 2、底面三角形的高 ，其面积为 。 考点：
10、本题主要考查三视图，面积计算。 点评：简单题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。三视图视图过程中，要注意虚线的出现，意味着有被遮掩的棱。 已知向量 和 的夹角为 ， ，则 = 答案： 试题分析：因为，向量 和 的夹角为 ， ， 所以， = = 。 考点：本题主要考查平面向量的数量积，模的计算。 点评：中档题，涉及模的计算问题，往往 “化模为方 ”。 解答题 求值 （ 1）已知 ， 求 的值； （ 2）已知 ，求 的值。 答案：（ 1） 32 ;（ 2） ， . 试题分析：（ 1） 2分 =32 5分 （ 2）由 ，得 ， 即
11、， ， ，由 得 ， 10分 考点：本题主要考查三角函数的诱导公式，同角公式。 点评：中档题，利用诱导公式先化简，再求值，是常见类型。涉及正弦、余弦函数的和（差）积互化问题，一般通过 “和（差）平方 ”加以转化。 已知 是 的三个内角，向量 ，且（ 1）求角 ； （ 2）若 ，求 的值。 答案：（ 1） ; （ 2） . 试题分析：（ 1） ， 2分 ， ， 6分 （ 2） 得 8分 12分 考点：本题主要考查平面向量的数量积，平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数公式。 点评：典型题，属于常见题型，通过计算平面向量的数量积，得到三角形边角关系，利用和差倍半的三角函数公式进一步转化。三角形中的
12、问题，要注意角的范围。 已知在四棱锥 中，底面 是边长为 2的正方形，侧棱平面 ，且 ， 为底面对角线的交点， 分别为棱 的中点 （ 1）求证： /平面 ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）求点 到平面 的距离。 答案：（ 1）证明： 是正方形 , 为 的中点，又 为 的中点， ,且 平面 ， 平面 , 平面 . 4分 （ 2）证明： 面 , 面 ， ,又可知 ,而 , 面 , 面 , 面 , ,又 , 为 的中点， ,而 , 平面, 平面 ; （ 3）点 到平面 的距离为 . 试题分析：（ 1）证明： 是正方形 , 为 的中点，又 为 的中点， ,且 平面 ， 平面 , 平面 . 4分 （
13、 2）证明： 面 , 面 ， ,又可知 ,而 , 面 , 面 , 面 , ,又 , 为 的中点， ,而 , 平面, 平面 8分 （ 3）解：设点 到平面 的距离为 ，由（ 2）易证 , , , 又 ,即 , ,得 即点 到平面 的距离为 12分 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，距离的计算。 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤。要注意将立体几何问题转化成了平面几何问题。 已知函数 ， （ 1）求 的对称轴方程； （ 2）用
14、“五点法 ”画出函数 在一个周期内的简图； （ 3）若 ，设函数 ，求 的值域。 答案：（ 1）函数对称轴方程为 ; （ 2）列表 0 0 1 0 -1 0 (3)函数 的值域为 . 试题分析：（ 1）2分 令 ，得 ， 所求函数对称轴方程为4分 （ 2）列表 0 0 1 0 -1 0 6分 8分 (3) ，则 ， 设 ，则函数 当 时， ；当 时， ， 即所求函数 的值域为 12分 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质，和差倍半的三角函数，二次函数的图象和性质。 点评：中档题，利用和差倍半的三角函数公式，先将三角函数式 “化一 ”，是解答此类问题的一般方法。利用 “五点作图法 ”，注意列表
15、要准确。本题（ 3）涉及到小范围角，易于出错。 已知向量 ， 且 ， 函数 图象上相邻两条对称轴之间的距离是 ， （ 1）求 值； （ 2）求函数 的单调递减区间； （ 3）设函数 ，若 为偶函数，求 的最大值及 相应的 值 答案：（ 1） ； （ 2）单调递减区间为 ； （ 3） 时， 。 试题分析：（ 1） ，2分 由题意可知，函数 的周期 ， 4分 （ 2） ，令 得： ， 的单调递减区间为8分 （ 3） 是偶函数， 是对称轴，即当 时， 解得： ， ， 0分 当 即 时， 12分 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，三角函数的图象和性质，和差倍半的三角函数。 点评：中档题，利用平面向
16、量的坐标运算，得到三角函数式，再利用和差倍半的三角函数公式，将三角函数式 “化一 ”，是解答此类问题的一般方法。复合函数的单调性遵循 “内外层函数，同增异减 ”。 已知函数 ，（ 为实常数） （ 1）若 ，将 写出分段函数的形式，并画出简图，指出其单调递减区间； （ 2）设 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式。 答案：（ 1） ， 的单调递减区间为 和 ； （ 2） 12分 试题分析：（ 1） ， 2分 4分 的单调递减区间为 和 6分 （ 2）当 时， ， ，在 上单调递减， 当 时，7分 当 时， ， （ ）当 ，即 时，此时 在 上单调递增， 时，（ ）当 ，即 时，当 时， （ ）当 ，即 时，此时 在 上单调递减， 时9分 当 时， ， ，此时在 上单调递减， 时 10分 综上： 12分 考点：本题主要考查分段函数的概念，绝对值的概念，二次函数的图象和性质。 点评：中档题，本题综合考查分段函数的概念，绝对值的概念，二次函数的图象和性质。从解法看，思路比较明确，但操作上易于出错。（ 2）涉及求闭区间上二次函数的最值问题，注意讨论对称轴与区间的相对位置，确定得到最值的不同表达式。
