1、2012-2013学年辽宁省高二下学期阶段性测试理科数学试卷与答案 （带解析） 选择题 一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 秒末的瞬时速度是（ ） A 米 /秒 B 米 /秒 C 米 /秒 D 米 /秒 答案： C 试题分析：由 得 时 ，瞬时速度为 米 /秒 考点：导数的应用 点评：运动物体在某一时刻的瞬时速度等于 函数在这一点处的导数值 已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为 3，数列的前 项和为 ,则 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 考点：函数导数与数列求和 点评：通项公式是 形式的数列求和采用列项相消法，此外分组求和，倒序相加求和，错
2、位相减求和都是常用的思路 已知函数 ，则 与 的大小关系为（ ） A B C D 与 的大小关系不确定 答案： A 试题分析： ，令 得， 考点：函数导数求最值 点评：通过函数导数得到函数在定义域 R内的极值，结合图像可得 的值与极值关系，进而与 比较大小 设 分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当 时，且 ，则 的解集是（ ） A (-3， 0) (3， +) B (-3， 0) (0， 3) C (-， -3) (3， +) D (-， -3) (0， 3) 答案： D 试题分析： ，所以当 时函数是增函数， 时 ，时 ， 分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，所以 是 R上的奇函数，所以当
3、 时 ，综上可知的解集为 (-， -3) (0， 3) 考点：利用函数性质解不等式 点评：本题首要是能够由 反用公式得到函数的单调性，进而结合图像的到 时的解集，借助于奇偶性得到 R上的解集 在定义域内可导， 的图象如图所示，则导函数 可能为（ ） 答案： D 试题分析：当 时，原函数是增函数，所以 ，当 时原函数先增后减再增，所以导数值先正后负再正，综上 D符合要求 考点：函数单调性与导数关系 点评：函数单调性与其导数的关系：若在某一区间上 ，则函数是增函数；若 ，则函数 是减函数 已知函数 的导函数 的图像如下，则（ ） A函数 有 1个极大值点， 1个极小值点 B函数 有 2个极大值点，
4、 2个极小值点 C函数 有 3个极大值点， 1个极小值点 D函数 有 1个极大值点， 3个极小值点 答案： A 试题分析：当 时 递增，当 时 ，递减，当 时 ， 递增， 是极大值点， 是极小值点 考点：函数导数求极值 点评：函数在极值点处的导数为零，且在极值点左右两侧的函数单调性相反，左侧递增右侧递减取得极大值，左侧递减右侧递增取得极小值 已知函数 的导函数，函数 的图象如右图所示，且 ，则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由导函数图像可知 时 ，函数是增函数， 时，函数是减函数， 转化为，整理得 考点：函数导数判定单调性解不等式 点评：函数与其导数的关系：若在某
5、一区间上 ，则函数 是增函数；若 ，则函数 是减函数 函数 在闭区间 -3， 0上的最大值、最小值分别是（ ） A 1， -1 B 3， -17 C 1， -17 D 9， -19 答案： B 试题分析： ，令 得，所以最大值为 3，最小值为 -17 考点：函数导数求最值 点评：函数在某一闭区间上的最值出现在极值点或区间的端点处，因此只需求出极值与端点处函数值，比较大小即可 已知 = ，则 =（ ） A + cos1 B sin1+cos1 C sin1-cos1 D sin1+cos1 答案： B 试题分析： = 考点：函数求导数 点评：基本公式的考查 下列求导运算正确的是（ ） A B C
6、 D 答案： B 试题分析： A项 ， C项 ， D项考点：基本函数求导公式 点评：基本公式 ， ， ， ， ， 需要熟记 设函数 ，则（ ） A 为 的极大值点 B 为 的极小值点 C 为 的极大值点 D 为 的极小值点 答案： D 试题分析： ，令 得 ，当 时 ，函数递减， 时 ，函数递增，所以为 的极小值点 考点：函数导数求极值 点评：函数在极值点处的导数为零，通过判断极值点左右两侧的函数单调性即可确定是极大值还是极小值 曲线 在点（ -1， -3）处的切线方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 得 时 ，所以切线斜率 ，切线方程为 考点：函数求导及几何意义 点评：几何
7、意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率 填空题 若函数 在 处取极值，则 . 答案： 试题分析：函数 的导数 ，函数在处取极值，所以 考点：函数极值 点评：本题依据函数极值点处导数为零这一知识点，只需求出函数的导数，其间用到了 形式的函数求导公式 函数 在 上有最大值 3，那么此函数在上的最小值为 _ 答案： -37 试题分析：函数导数 由 或 ，最大值 ，所以最小值考点：函数导数求最值 点评：函数在某一区间上的最值一般出现在极值点或端点处，因此只需求出极值，端点处的函数值比较大小即可 若 有极大值和极小值，则 的取值范围是 _ . 答案： 或 试题分析：函数 的导数 ，函数存在极大
8、值与极小值，所以 有两个不相等的实数根，即导函数图象与 x 轴有两个交点，或 考点：函数极值 点评：函数在极值点处的导数为零，函数有两个极值即导数与 x轴有两个不同的交点，且在两交点左右两侧导数值一正一负 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 答案： 试题分析： ，切线斜率为 ，直线 斜率为 考点：复合函数求导数及导数的几何意义 点评：导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率 解答题 已知曲线 在点 处的切线 平行直线 ，且点在第三象限 . （ 1）求 的坐标； （ 2）若直线 , 且 也过切点 ,求直线 的方程 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由 =4得
9、或 又因为点 在第三象限，所以 ，所以 所以 5 分 （ 2）因为 ，所以 ,所以 方程为： 化简得 10 分 考点：导数的几何意义及直线方程 点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，求曲线在某一点处的切线时将求斜率转化为求导问题 已知函数 ，讨论 的单调性 . 答案： 时，在 内单调递增； 或 时，函数的增区间为 和 ，减区间为 试题分析： ， 2 分 当 即 时 在 内单调递增， 当 即 或 时 解 得 ， 8 分 函数的增区间为 和 10 分 减区间为 12 分 考点：函数导数判定单调性 点评：函数单调性与其导数的关系：若在某一区间上 ，则函数是增函数；若 ，则函数
10、是减函数。本题要对 分情况讨论，从而确定是否有极值点，才能确定单调区间 将边长为 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个 无盖的方盒欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？ 答案：小正方形的边长为，容积最大为 试题分析：设小正方形的边长为 x，则盒底的边长为 a-2x， 方盒的体积 4 分 10 分 函数 V在点 x处取得极大值，由于问题的最大值存在， V()即为容积的最大值，此时小正方形的边长为 12 分 考点：函数导数求解实际问题 点评：将实际问题转化为单存的数学问题时要注意自变量 x的取值范围，本题首先找到边长与容
11、积的关系式，通过导数即可求其最大值 已知 为实数， （ 1）求导数 ； （ 2）若 ，求 在 -2， 2 上的最大值和最小值； （ 3）若 在 和 上都是递增的，求 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2）最大值为 最小值为 （ 3）试题分析： 由原式得 3分 由 得 ,此时有 . 由 得 或 x=-1 , 又 所以 f(x)在 -2,2上的最大值为 最小值为 8 分 解法一 : 的图象为开口向上且过点 (0,-4)的抛物线 ,由条件得 即 -2a2. 所以 的取值范围为 -2,2. 12 分 解法二 :令 即 由求根公式得 : 所以 在 和 上非负 . 由题意可知 ,当 或 时 , 0, 从
12、而 , , 即 解不等式组得 -2 2. 的取值范围是 . 考点：函数求导数求最值判定单调性 点评：函数最值一般出现在极值点或线段端点处，根据导函数图像 在和 上都是递增的可得函数的导数 ，解法一利用数形结合法，利用导函数图像求解较简单 已知函数 （ 1）求函数 的单调递减区间； （ 2）若 ，证明： 答案：（ 1）（ 0， ）（ 2）由 知，当 x （ -1， 0）时， 0，当x （ 0， ）时， 0，因此，当 时， ，即0 令 ，则 当 x （ -1， 0）时， 0，当 x （ 0， ）时， 0 当 时， ，即 0， 综上可知，当 时，有试题分析： 函数 f(x)的定义域为 -1 - .
13、由 -1，得 x0 当 x （ 0， ）时， f(x)是减函数，即 f(x)的单调递减区间为（ 0， ） 证明：由 知，当 x （ -1， 0）时， 0，当 x （ 0， ）时， 0， 因此，当 时， ，即 0 令 ，则 8 分 当 x （ -1， 0）时， 0，当 x （ 0， ）时， 0 当 时， ，即 0， 综上可知，当 时，有 12 分 考点：求函数单调区间及证明不等式 点评：求单调区间时首先确定其定义域，第二问将证明不等式问题转化为求函数最值问题，进而可利用导数通过求其最值确定不等式的正确性 若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其定义域上的任意实数 分别满足： 和 ，则称直线 为 和
14、 的“隔离直线 ”已知 ， 为自然对数的底数 ) （ 1）求 的极值； （ 2）函数 和 是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由 答案：（ 1）当 时， 取极小值，其极小值为 （ 2）函数 和存在唯一的隔离直线 试题分析： (1) ， 当 时， 当 时， ，此时函数 递减； 当 时， ，此时函数 递增； 当 时， 取极小值，其极小值为 6 分 (2)解法一：由（ 1）可知函数 和 的图象在 处有公共点，因此若存在 和 的隔离直线，则该直线过这个公共点 设隔离直线的斜率为 ，则直线方程为 ，即 由 ，可得 当 时恒成立 ， 由 ，得 下面证明 当 时恒成立 令 ，则 ， 当 时， 当 时， ，此时函数 递增； 当 时， ，此时函数 递减； 当 时， 取极大值，其极大值为 从而 ，即 恒成立 函数 和 存在唯一的隔离直线 12 分 解法二： 由 (1)可知当 时， (当且仅当 时取等号 ) 若存在 和 的隔离直线，则存在实常数 和 相关试题 2012-2013学年辽宁省高二下学期阶段性测试理科数学试卷 （带）
