1、2012-2013学年黑龙江哈尔滨第十二中学高二上期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知圆的方程为 (x-3)2+y2=9，则圆心坐标为（ ） A (3,0) B（ -3,0） C（ 0,3） D（ 0， -3） 答案： A. 试题分析：由 (x-3)2+y2=9知，圆心坐标为（ 3,0），故选 A。 考点：本题主要考查圆的概念及其方程。 点评：简单题，圆的标准方程，其突出的优点是明确了圆心、半径。 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴的最小值为 ( ) A 1 B C 2 D 2 答案： D 试题分析：由题意知 bc=1 a2=b2+c2=b2+
2、2， a 2a2 ，故选 D 考点：本题主要考查椭圆的几何性质，均值定理的应用。 点评：简单题，思路明确，这要从给定 a， b， c关系入手，确定 a的表达式，应用均值定理得到其最小值。 已知正三角形 ABC的边长为 a，那么 ABC的平面直观图 ABC的面积为 ( ) A a2 B a2 C a2 D a2 答案： D. 试题分析：由于斜二测画法规则是（ 1）在已知图像中取互相垂直的 x轴和 y轴，两轴相交于点 O，画直观图时，画出相应的 x 轴和 y 轴，两轴相交于 O，且使 xOy=45 或 135 ，它们确定的平面表示水平面。（ 2）已知图形中平行于 x轴或 y轴的线段，在直观图中分别
3、画出平行于 x 轴和 y 轴的线段。（ 3）已知图形中平行于 x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于 y轴的线段长度变成原来的一半。所以， ABC的平面直观图 ABC的的底边长不变，高变为 ，所以其面积为a2故选 D。 考点：本题主要考查正三角形与其直观图之间的关系，三角形面积计 算。 点评：简单题，斜二测画法规则是（ 1）在已知图像中取互相垂直的 x轴和 y轴，两轴相交于点 O，画直观图时，画出相应的 x 轴和 y 轴，两轴相交于 O，且使 xOy=45 或 135 ，它们确定的平面表示水平面。（ 2）已知图形中平行于 x轴或 y轴的线段，在直观图中分别画出平行于 x 轴和 y 轴的线段。
4、（ 3）已知图形中平行于 x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于 y轴的线段长度变成原来的一半。 设不等式组 表示的平面区域为 D在区域 D内随机取一个点 ,则此点到坐标原点的距离大于 2的概率是 （ ） A B C D 答案： D. 试题分析：可行域 D如图所示的边长为 2的正方形，面积为 S1=4， 满足到原点的距离大于 2所表示的平面区域是以原点为圆心，以 2为半径的圆外部， 面积为 S2=4- =4-， 在区域 D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率 P= 故选 D 考点：本题主要考查几何概型概率的计算。 点评：简单题，几何概型概率的计算，主要是要明确平面区域的几何度
5、量。一般要认真分析图形特征。 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N、 P、 Q分别是棱 AB、 BC、 CD、 CC1的中点，直线 MN与 PQ所成的度数是 （ ） A B C D 答案： B. 试题分析：连接 DC1， A 1C1,因为 M、 N、 P、 Q分别是棱 AB、 BC、 CD、 CC1的中点， 所以 MN/ A 1C1， PQ/ DC1， MN与 PQ所成的度数等于 A 1C1， DC1所成角的度数为， 故选 B。 考点：本题主要考查正方体的几何特征，异面直线所成的角。 点评：简单题，空间问题往往要转化成平面问题，特别是角，转化成在同一四边形、三角形内。 长方体一个
6、顶点上三条棱的长分别为 3、 4、 5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是（ ） A 20 B 25 C 50 D 200 答案： C. 试题分析：因为，长方体的对角线是其外接球的直径，所以， 2R= ，所以球的表面积是 50，选 C。 考点：本题主要考查长方体、球的几何特征，球的表面积计算。 点评：简单题，长方体的对角线是其外接球的直径。 。 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 答案： D. 试题分析：三视图要求：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等。所以球、三棱锥、正方体的三视图形状可以完 全相同，而圆柱的三视
7、图不可能完全相同。故选 D。 考点：本题主要考查常见几何体的几何特征，三视图。 点评：简单题，三视图要求：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等。即：主视图和俯视图的长要相等，主视图和左视图的高要相等，左视图和俯视图的宽要相等。 下面四个命题： 若直线平面 ，则 内任何直线都与 平行； 若直线 平面 ，则 内任何直线都与 垂直； 若平面 平面 ，则 内任何直线都与 平行； 若平面 平面 ，则 内任何直线都与 垂直。 其中正确的两个命题是（ ） A B C D 答案： B. 试题分析：因为直线平面 ，所以直线 a与平面 内的直线可能平行、异面，即 是假命题； 由直线与平面垂直的定义，若直线 平面 ，
8、则 a垂直于平面内的任何一条直线。所以 是真命题； 因为平面 平面 ，所以 内任何直线都与 平行， 是真命题。结合选项可知，选 B。 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。 点评：简单题，熟记立体几何中的基本结论是正确解题的关键。 若右边的程序框图输出的 是 ，则条件 可为 （ ） A B C D 答案： B. 试题分析：该算法输出的是 ，由= =126，得， n=6，故选 B。 考点：本题主要考查程序框图的功能识别，等比数列的求和公式。 点评：简单题， 按程序框图逐次循环，看算法的功能。该题要注意输出内容是 n的前一个值时的 s。 从总数为 N的一批零件中抽取一个容量为 30的样
9、本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则 N为（ ） A 150 B 200 C 100 D 120 答案： D. 试题分析：因为抽取的可能性 =样本数 样本总数，而每个零件被抽取的可能性为25%，所以， N=3025%=120，选 D。 考点：本题主要考查抽样的性质。 点评：简单题，抽取的可能性 =样本数 样本总数。 已知椭圆 上的一点 P，到椭圆一个焦点的距离为，则 P到另一焦点距离为（ ） A B C D 答案： D. 试题分析：由已知， 2a=10，而 P到椭圆一个焦点的距离为，所以 P到另一焦点距离为 2a-3=7,故选 D。 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。 点评
10、：简单题，涉及椭圆上的点到焦点距离问题，一般考虑应用椭圆的定义。 F1、 F2是定点， |F1F2|=6，动点 M满足 |MF1|+|MF2|=8，则点 M的轨迹是（ ） A线段 B直线 C椭圆 D圆 答案： C. 试题分析：因为 F1、 F2是定点， |F1F2|=6，动点 M满足 |MF1|+|MF2|=8，且 |MF1|+|MF2|F1F2|，所以，点 M的轨迹是椭圆，选 C。 考点：本题主要考查椭圆的定义。 点评：简单题，要全面了解椭圆的定义，其中限制条件 |MF1|+|MF2|F1F2|要特别注意。 填空题 过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于 、 两点，则 、 与椭圆的另一焦点 构
11、成 ，那么 的周长是 答案： 试题分析： 即 。因为 、 是椭圆上的点，所以由椭圆的定义可得， |A |+|A |= |B |+|B |=2a=2 = ，故 的周长是 。 考点：本题主要考查椭圆的定义。 点评：简单题，涉及椭圆的焦点弦问题，往往要利用椭圆的定义。 圆柱的一个底面积为 4，侧面展开 图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 答案： . 试题分析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则由底面积为 4，侧面展开图是一个正方形，得， r=2， h=2r=4，所以这个圆柱的侧面积是 16。 考点：本题主要考查圆柱的几何特征，面积计算公式。 点评：简单题，要计算圆柱的侧面积，需明确圆柱的底面半
12、径、高，利用侧面展开图是一个正方形、底面积可得。 若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为 . 答案： . 试题分析：因为椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，所以借助于椭圆的对称性，椭圆的离心率 =cos45= 。 考点：本题主要考查椭圆的几何性质。 点评：简单题，注意到椭圆的离心率即 。 直线 3x-4y-4=0被圆 (x-3)2+y2=9截得的弦长为 答案： . 试题分析：，圆心为（ 3,0），半径为 3.由圆中的特征三角形得到弦长为2 = 。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：简单题，直线与圆的位置关系问题，多于弦长有
13、关，往往借助于圆中的 “特征三角形 ”。 解答题 已知 为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上一点，若。 （ 1）求椭圆方程； （ 2）若 求 的面积。 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1） （ 2）由已知得 解得 ，所以 的面积为。考点：本题主要考查椭圆的定义、标 准方程，三角形面积公式，余弦定理的应用。 点评：典型题，涉及椭圆的焦点弦问题，往往要利用椭圆的定义，本题利用椭圆的定义及余弦定理，建立方程组，利用整体代换思想求得 。 如图，四棱锥 P-ABCD中， PA 底面 ABCD，底面是直角梯形， AB AD，点 E在线段 AD上，且 CE AB。 求证： CE 平面 PAD； （ 1
14、1）若 PA=AB=1， AD=3， CD= ， CDA=45，求四棱锥 P-ABCD的体积 答案：（ 1）由已知 PA CE,又 AB AD,CE AB,得到 CE AD，所以 CE 平面 PAD（ 2） 试题分析：（ I）因为 PA 底面 ABCD， CE 平面 ABCD，所以 PA CE。又底面是直角梯形， AB AD，且 CE AB，所以 CE AD，而 PA,AD交于点 A，所以 CE 平面 PAD。 （ II）因为 PA=AB=1， AD=3， CD= ， CDA=45，所以 BC=AD-CDcos45=3-1=2，故四棱锥 P-ABCD的体积为 。 考点：本题主要考查立体几何的平
15、行关系、垂直关系，体积计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题较为简单。 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X表示 . （ 1）求甲组同学植树棵树的平均数和方差；（参考公式 : ） （ 2）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19的概率 . 答案：（ 1） 10,1；（ 2） . 试题分析：（ 1）甲的平均
16、数 =10， 方差为 =1； （ 2）甲乙两组植树情况共有 44=16种结果。其中两名同学的植树总棵数为 19的情况有：（ 9,10），（ 9,10）（ 11,8），（ 11,8），所以由古典概型概率的计算公式得这两名同学的植树总棵数为 19的概率 。 考点：本题主要考查茎叶图，平均数、方差的计算，古典概型概率的计算。 点评：中档题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型 。古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于 “树图法 ”，做到不重不漏。本题较为容易。 某设备的使用年限 与所支出的总费用 (万元 )有如下的统计资料： 使用年限 1 2 3
17、 4 总费用 1.5 2 3 3.5 （ ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （ ）求出 关于 的线性回归方程； （ III）当使用 10年时，所支出的总费用约为多少万元。 参考公式 :回归方程为 其中 , 答案： （ 1） （ 2） y=0.7x+0.75； (3)7.75。 试题分析：（ 1）散点图如图所示。 （ 2）利用公式 ， 计算得到， b=0.7, ， ，所以回归直线方程为 y=0.7x+0.75； （ 3）将 x=10 代入回归直线方程得， y=7.75,即当 使用 10年时，所支出的总费用约为多少万元。 考点：本题主要考查散点图，回归直线方程的概念及求法。 点评：简单题，
18、利用给定数据，应用公式 ， 计算回归系数及 a的值，可得回归直线方程。高考中，此类题目多以选择题或填空题形式出现。 如图，已知矩形 ABCD所在平面外一点 P， PA 平面 ABCD， E、 F分别是 AB, PC的中点 (1）求证： EF 平面 PAD； （ 2）求证： EF CD； （ 3）若 DPDA 45，求 EF与平面 ABCD所成的角的大小 答案：（ 1） ABCD是矩形 ,取 PB的中点为 G，连 GF,GE,证得平面 GEF/平面 PAD，EF 平面 PAD。（ 2）证明 PAE CBE，得出 EF PC。又 CD GE证得 CD 平面 GEF，推出 EF CD。 （ 3） E
19、F与面 ABCD所成的角为 45。 试题分析：（ 1） ABCD是矩形 ,取 PB的中点为 G，连 GF,GE,由三角形中位线定理，知 GF/BC/AD,GE/PA,又 GE与 GF交于 G， PA与 AD交于 A，所以平面 GEF/平面 PAD，EF 平面 PAD。 （ 2） ABCD是矩形， CB AD、 CBE 90、 BC CD。 PA 平面 ABCD， PAE 90。 PA AD、 CB AD， PA CB，又 AE BE、 PAE CBE 90， PAE CBE， CE PE，而 F PC且 PF CF， EF PC。 G、 F分别是 PB、 PC的中点， GF是 PBC的中位线，
20、 GF BC，而 BC CD， CD GF。 G、 E分别是 PB、 AB的中点， GE是 BPA的中位线， GE PA，而 PA 平面ABCD， GE 平面 ABCD， CD GE。 由 CD GF、 CD GE、 GFGF G， CD 平面 GEF， EF CD。 （ 3）过 F作 FO AC交 AC于 O。 PA 面 ABCD， PA AC， PA EO，得： FO PA， FO EO， AO CO。 由 PF CF， FO PA，得： FO PA。 由 AE BE， AO CO，得： EO BC。 由 PA 面 ABCD， FO PA，得： FO 面 ABCD， FEO就是 EF与面
21、ABCD所成的角。 PA 面 ABCD， PA AD，又 PDA 45， PA AD，结合证得的 FO PA， 得： FO AD。 ABCD是矩形， AD BC，结合证得的 EO BC，得： EO AD。 由 FO AD， EO AD， FO EO，得： FEO 45。 即： EF与面 ABCD所成的角为 45。 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用向量则能简化证明过程。 某
22、企业员工 500人参加 “学雷锋 ”志愿活动，按年龄分组：第 1组 25， 30)，第 2组 30，35)，第 3组 35， 40)，第 4组 40， 45)，第 5组 45， 50，得到的频率分布直方图如下图所示 （ ）下表是年龄的频数分布表，求正整数 a,b的值； 区间 25， 30) 30， 35) 35， 40) 40， 45) 45， 50 人数 50 50 150 （ ） 现在要从年龄较小的第 1,2,3组中用分层抽样的方法抽取 6人，年龄在第 1,2,3组的人数分别是多少？ （ III）在（ ）的前提下，从这 6人中随机抽取 2人参加社区宣传交流活动，求至少有 1人年龄在第 3组
23、的概率 答案： (I) , . (II)第 1， 2， 3组分别抽取 1人， 1人， 4人 (III)至少有 1人年龄在第 3组的概率为 试题分析： (I)由题意可知 , . (II)根据各层在总体当中的占比与在样本中的占比相等，求出年龄在第 1,2,3组的人数 . 因为第 1， 2， 3组共有 50+50+200=300人， 利用分层抽样在 300名学生中抽取 名学生，每组抽取的人数分别为： 第 1组的人数为 ， 第 2组的人数为 ， 第 3组的人数为 ， 所以第 1， 2， 3组分别抽取 1人， 1人， 4人 6分 (III) 设第 1组的 1位同学为 ，第 2组的 1位同学为 ，第 3组
24、的 4位同学为 ，则从六位同学中抽两位同学有 15种可能 .其中 2人年龄都不在第 3组的有 1种可能 . 所以至少有 1人年龄在第 3组的概率为 .设第 1组的 1位同学为 ，第 2组的 1位同学为 ，第 3组的 4位同学为 ，则从六位同学中抽两位同学有： 共 种可能 10分 其中 2人年龄都不在第 3组的有： 共 1种可能， 11分 所以至少有 1人年龄在第 3组的概率为 12 考点：本题主要考查频率分布直方图，频率的概念及计算，古典概型概率的计算。 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。题中古典概型概率的计算 思路明确，计数时，可采用 “树图法 ”，避免重复和遗漏。
