1、2012-2013年湖南长沙高二上第一学月理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 “ ”的否定为 ( ) A B C不存在实数 x， D 答案： D 试题分析：，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，在否定时只需将 改为 ，并对满足的条件加以否定， 的否定是 ，所以命题 “ ”的否定为 考点：特称命题的否定 点评：特称命题 的否定是全称命题 已知点 P为双曲线 右支上一点， F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点， I为 的内心，若 成立，则 的值为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：已知中三个三角形高都为球的半径，由面积关系得考点：双曲线定义及性质 点评：此题首先
2、由三角形的面积关系转化为双曲线上的点与焦点间的距离关系，结合双曲线定义：双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴，将等式转化为双曲线中的量 来表示 过双曲线 的右焦点 F，作渐近线 的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率 的取值范围为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由图像可知所作直线的倾斜角要大于渐近线 的倾斜角，需满足 的倾斜角大于 ，即 考点：双曲线的离心率 点评：求离心率的范围主要是找到关于 的不等式，此题的关键是通过作图确定渐近线倾斜角的取值范围 点 在直线 上，若存在过 的直线交抛物线 于 两点，且 ，则称点 为 “ 点 ”，那么下列结论中正确的是（ ）
3、 A直线 上的所有点都是 “ 点 ” B直线 上仅有有限个点是 “ 点 ” C直线 上的所有点都不是 “ 点 ” D直线 上有无穷多个点是 “ 点 ” 答案： A 试题分析：设 则 在 上 消去 ，整理得关于 x的方程 恒成立， 方程恒有实数解， 故选 A 考点：直线与抛物线的位置关系 点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断 若实数 满足 且 ，则称 与 互补记，那么 是 与 互补的 ( ) 条件 A必要不充分 B充分而不必要 C充要 D既不充分也不必要 答案： C 试题分析：由 得 ，反之当 时 或，都满足
4、 ，所以两者间是充要条件关系 考点：充分条件与必要条件 点评：若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件 若椭圆 的弦被点 平分，则此弦所在的直线方程是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：设弦所在直线为 ，与椭圆联立方程整理得 ，直线为 考点：直线与椭圆的相交弦 点评：除此方法外还可采用点差法求中点弦问题：设出两交点坐标代入椭圆方程，将两式相减可得弦所在直线的斜率，进而得到直线方程 已知有相同两焦点 的椭圆 和双曲线 ， 是它们的一个交点，则 的形状是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝有三角形 D等腰三角形 答案： B 试题分析：焦点 ， ，由椭圆定义得,由双曲线定义得，在
5、 中，满足，是直角三角形 考点：椭圆双曲线定义及性质 点评：椭圆上的点到两焦点的距离之和等于椭圆中的 ，双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于双曲线中的 ，两定义在圆锥曲线题目中应用广泛 在抛物线 上，横坐标为 的点到焦点的距离为 ，则 的值为（ ） A 0.5 B 1 C 2 D 4 答案： C 试题分析：抛物线 焦点 ，准线 ，由定义可知点到准线的距离为 5，所以准线为 考点：抛物线定义及性质 点评：抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，由定义可实现两距离的转化 填空题 （ 1）已知 的图象为双曲线，在双曲线的两支上分别取点 ，则线段 的最小值为 ； （ 2）已知 的图
6、象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点 ，则线段 的最小值为 。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） 图像顺时针旋转 得到 ，线段 的最小值为实轴长 （ 2）设双曲线 上的点 ， 到原点的距离为 ，由函数性质可知关于原点对称，所以 最小值 考点：对称轴不在坐标轴上的双曲线 点评：当对称轴不在坐标轴上时，可将图像旋转一定角度使其焦点位于坐标轴上，两支上的两点间最小距离即为实轴长度 已知抛物线方程为 ，直线 的方程为 ，在抛物线上有一动点 到 轴的距离为 ， 到直线 的距离为 ，则 的最小值为 答案： 试题分析：抛物线 焦点 ，准线 ，点 P到准线的距离为，所以点 P到焦点的距离为 ，由
7、图像可知焦点 到直线的距离为 ，即 的最小值为 ， 的最小值为 考点：抛物线定义性质及数形结合法 点评：本题由抛物线定义（抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离）将点 P到 y轴的距离转化为到焦点的距离，这一点是求解本题的关键 长为 3的线段 的端点 分别在 轴上移动，动点 满足，则动点 的轨迹方程是 答案： 试题分析：设 代入点的坐标得考点：求动点的轨迹方程 点评：求轨迹方程的步骤：设所动点坐标，找到动点满足的关系式，代入坐标整理化简，验证是否有不满足要求的点 与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线方程是 答案： 试题分析：双曲线方程整理为 ，与之有共同渐近线的双曲线方程设为 ，代入
8、点 得 ，所求方程为 考点：双曲线方程及性质 点评：与双曲线 有相同渐近线的双曲线可设为 过抛物线 的焦点作直线 交抛物线于 两点，若线段 中点的横坐标为 3，则 等于 _ 答案： 试题分析：抛物线 的焦点为 ，设所作直线为 ，联立方程整理得 ，方程为 考点：直线与抛物线相交问题 点评：过抛物线 焦点的弦与抛物线交于 ，则焦点弦长为 椭圆 的焦点坐标是 _ 答案： 试题分析：椭圆 转化为 所以焦点在 y轴上，焦点为 考点：椭圆的方程及性质 点评：要求椭圆的焦点坐标，先要将其方程整理为标准方程，这样才能找到，从而确定焦点位置及 的值 已知椭圆 上一点 到椭圆一个焦点的距离是 3，则 到另一个焦点
9、的距离是 _ 答案： 试题分析：椭圆 中 ，点 在椭圆上，所以 到另一个焦点的距离是 7 考点：椭圆方程及定义 点评：椭圆定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和等于定值常数 ，此定义在求解椭圆上的点到焦点的距离问题上应用广泛 解答题 已知数列 的前 项和 ，求数列 成等差数列的充要条件 答案： 试题分析：当 时， ；当 时， 由于 ， 当 时， 是公差为 等差数列。 要使 是等差数列，则 . 即 是等差数列的必要条件是： . 充分性： 当 时， . 当 时， ；当 时， ， 显然当 时也满足上式， 是等差数列 综上可知，数列 是等差数列的充要条件是： 考点：等差数列的判定 点评：判定数列是等差数列
10、一般依据等差数列的定义，判定任意相邻两项的差是否是同意常数即看 是否是同一常数，若是，则数列是等差数列，若不是，则数列不是等差数列，因此先要由 求 ，此时与注意分 两种情况 给定两个命题 , ：对任意实数 都有 恒成立； ：关于 的方程有实数根；如果 “ ”为假，且 “ ”为真，求实数 的取值范围。 答案： 试题分析：对任意实数 都有 恒成立 或； 关于 的方程 有实数根 ； 由于 “ ”为假，且 “ ”为真，则 与 一真一假； （ 1）如果 真，且 假，有 ； （ 2）如果 真，且 假，有 。 所以实数 的取值范围为： 。 考点：复合命题真假的判定 点评：复合命题的真假性由构成复合命题的两个
11、命题决定， 为真需满足两命题 同时为真， 为真需满足两命题 中至少一个为真，命题 与真假性相反 设直线 与抛物线 交于 两点 . （ 1）求线段 的长；（ 2）若抛物线 的焦点为 ，求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由 消 得： ，解出 ， ，于是， ， 所以 两点的坐标分别为 ， 线段 的长： 6 分 （ 2）抛物线 的焦点为 ，由（ 1）知， ， ， 于是， 12 分 考点：直线与抛物线的位置关系 点评：直线与圆锥曲线相交求弦长，常联立方程组，利用韦达定理找到根与系数的关系，从而使计算简化，针对于此题数据较简单，亦可直接接触两交点坐标，而后代入弦长公式 已知椭圆的长
12、轴长为 ，焦点是 ，点 到直线的距离为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与椭圆交于 两点，使得. (1)求椭圆的方程； (2)求直线 的方程 答案： (1) (2) 试题分析： (1) 到直线 的距离为 ， . 而 ，所求椭圆的方程为 . 5分 (2)设 ， ， 由 在椭圆 上， （取正值） 的斜率为 。 的方程为 ，即。 考点：椭圆方程几何性质及直线和椭圆相交的位置关系 点评：第二问中的向量关系式常用坐标表示，转化为坐标运算，所以本题还可首先设出直线 方程，与椭圆联立找到根与系数的关系，再结合向量的坐标表示求得交点，从而确定直线 已知直线 与双曲线 交于 两点， （ 1）若以 线段为直径的圆过
13、坐标原点，求实数 的值。 （ 2）是否存在这样的实数 ，使 两点关于直线 对称？说明理由 . 答案：（ 1） （ 2）不存在这样的 a，使 A( ),B( )关于直线对称 试题分析：（ 1）联立方程 ， 设 ,那么： 由于以 AB线段为直径的圆经过原点，那么： ，即 。 所以： ，得到：，解得 6分 (2)假定存在这样的 a，使 A( ),B( )关于直线 对称。 那么： ，两式相减得： ，从而因为 A( ),B( )关于直线 对称，所以 代入（ *）式得到： -2=6，矛盾。 也就是说：不存在这样的 a，使 A( ),B( )关于直线 对称。 13分 考点：直线与双曲线的位置关系 点评：第一
14、问中首先将以 AB为直径的圆经过原点转化为 ，进而可用点的坐标表示，第二问中把握好对称的两个条件： A,B的中点在直线上，过A,B两点的直线与已知直线互相垂直 若椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，短轴的一个端点与左右焦点 、组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为 . (1)求椭圆 的方程； (2)过点 作直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ,求直线的斜率 的取值范围 . 答案： (1) (2) 且 试题分析： (1)设椭圆 的方程为 由 所以，椭圆 的方程为15 分 (2) 、 ， 当直线 的斜率不存在时， 的中点为 ，直线 的斜率 ； 当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，直线 的方程为：， 2 由 12联立消去 并整理得： 设 ，则 10 分 当 时， 的中点为坐标原点，直线 的斜率 ； 11 分 当 时， ，且 13 分 考点：椭圆方程性质及直线与椭圆的位置关系 点评：直线与椭圆相交的问题常联立方程，结合韦达定理求解，在求解过程中要注意分直线斜率是否存在两种情况分别讨论，再应用均值不等式求得斜率最值
