1、20122013 学年云南省玉溪一中高一上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 若全集 ，则 的元素个数（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 试题分析 : ，即 中元素的个数为 3个 . 考点：本题考查集合的运算。 点评：对于此类题目，学生应该看清集合中元素的范围，如本题中 . 函数 ，当 时，恒有 ，有（ ） A 且 在 上是增函数 B 且 在 上是减函数 C 且 在 上是增函数 D 且 在 上是减函数 答案： A 试题分析：当 时， ，且，此时又有 ，所以 当时， ， ，此时根据复合函数的单调性知 在 上是增函数 . 考点：此题主要考查复合函数的单调性 . 点
2、评：复合函数的单调性一直是一个重要的考点，要正确解答此类题目，学生要正确分析出组成复合函数的两个函数分别是什么，它们的单调性是怎样的，然后根据复合函数的单调性同增异减的性质，准确判断出所给函数的单调性以及其中参数的取值范围，另外还要注意定义域的要求 . 若函数 在区间 上是增函数，则有（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，如果 ，则 在上单调递减，在 上也单调递减；如果 ，则 在 上单调递增，在 上也单调递增。因为 在区间 上是增函数，所以 ，且 为 的一个子区间，所以 ，所以 . 考点：本题主要考查已知函数的单调区间求参数的取值范围 . 点评：对于这类问题，学生应该首先分析已知函
3、数的单调性，如此题 应该先化为 ，借助于函数 的单调性求出要考查函数的单调性，然后在解题过程中还要注意已知区间与要求区间之间的关系，更要注意端点出的值能不能取到 . 的值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析：考点：本题主要考查对数的运算 . 点评：对于对数的运算，不少学生觉得无从下手，这主要是因为刚刚接触对数，对对数还不是很熟悉，所以应该掌握住对数的运算性质，并且熟练应用，而且还要注意 这一性质的应用 . 函数 的零点所在的区间是 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：记 ，则 所以零点所在的区间为 考点：本题主要考查函数的零点存在定理 . 点评：对于此类题目
4、，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的正负即可，一般出选择题 . 下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 是奇函数，在 上是单调递增函数； 是偶函数，在 上单调递增，在 上单调递减； 是偶函数，图象是开口向下的抛物线，在 上单调递减，在 上单调递增；是偶函数，在 上单调递减，在 上单调递增，所以只有 符合要求 . 考点：本题主要考查函数的奇偶性和单调性 . 点评：对于此类问题，学生主要应该掌握指数函数、对数函数、幂函数、二次函数等常见函数的奇偶性和单调性，遇到不认识的函数，要利用运算把它转化成熟悉的函数，进而考
5、查其单调性 . 三个数 的大小关系为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 又所以 考点：本题注意考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数的大小 . 点评：对于此类题目，学生应该注意同底数的指数函数或对数函数可以直接利用其单调性比较大小，而不同底数的或是不同类型的函数则要找中间值，主要是 或 等特殊值 . 若 ，则函数 与 的图象可能是下列四个选项中的（ ）答案： A 试题分析： 是单调递增的指数函数， 是开口向上的抛物线，所以 A正确 . 考点：本题主要考查指数函数和二次函数的图象 . 点评：对于此类题目，学生主要应该分清楚底数对指数函数的单调性的影响，底数 时指数函数单调递增，底数
6、 时指数函数单调递减；而二次函数是二次项系数大于 ，图象开口向上，二次项系数小于 ，图象开口向下。此外还要注意对数函数的图象，有时也和对数函数结合起来考查 . 已知函数 定义域为 ，则 的定义域为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为函数 定义域为 ，所以 ，所以考点：本题主要考查抽象函数的定义域 . 点评：对于抽象函数的定义域，学生应该注意定义域始终指的是自变量 的取值范围，所以此题中告诉函数 定义域为 ，指的是 ，而要求 的定义域，指的是 中的 的取值范围，所以才有，进而解出 下列各图像中，不可能是函数 的图像的有几个（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： B
7、试题分析：函数的定义中要求对定义域中的任一 ，有唯一的 值和它对应。题目中 显然不符合要求， 中 时 有两个值和它对应 .所以题目中有两个图象不可能是函数图象 . 考点：本题主要考查函数的定义 . 点评：对于此类题目，学生应该确切掌握函数的定义，并且能灵活应用 . 若函数 是幂函数，则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：幂函数是形如 的函数，所以 考点：本题主要考查幂函数的定义 . 点评：幂函数与指数函数和对数函数都是形式定义，对于此类问题学生应该切实掌握这三类函数的定义 . 函数 与 的图象（ ） A关于原点对称 B关于 轴对称 C关于 轴对称 . D关于直线对称 答案：
8、D 试题分析：同底数的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线 对称 . 考点：本题考查互为反函数的两个函数的图象的性质。 点评：对于此类题目，学生应该掌握如何判断两个函数是否为反函数，而且互为反函数的两个函数图象关于直线 对称 . 填空题 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数若方程 在区间 上有四个不同的根 ，则_ 答案： 试题分析：所以函数 的最小正周期为 .又因为函数是奇函数，且在区间 上是增函数，所以可以粗略画出简图： 由图象可知， ，所以 考点：本题主要考查函数的周期性、奇偶性、单调性等性质的综合应用 . 点评：此类题目一般比较综合，难度较大 .对于此类题目，学生应
9、该在牢固掌握单调性、奇偶性、周期性等性质的基础上，准确挖掘题目中的已知条件及隐含条件，最好能根据题意画出粗略的图象，然后利用图象辅助大题 . 函数 的单调递减区间为 答案： 试题分析：首先令 ，得 ，即函数的定义域为.又因为已知函数的底数为 ，而 在 上单调递减，在 上单调递增，根据复合函数的单调性，知函数的单调递减区间为 . 考点：本题主要考查复合函数的单调性 . 点评：对于此类题目，学生应该准确分析组成复合函数的函数分别是什么，然后根据复合函数 “同增异减 ”，判断函数的单调性及单调区间，另外需要特别注意的是要时刻注意函数的定义域，如果忽略定义域，很可能会出现错误的结论 . 函数 的图象恒
10、过定点 ,则 点的坐标是 答案： 试题分析：因为函数 图象恒过定点 ，所以令函数中 ，得 ，所以 ，所以函数图象恒过定点. 考点：本题主要考查对数型函数过定点问题 . 点评：对于此类问题，学生要掌握住指数函数、对数函数恒过定点问题，指数函数恒过定点 ，对数函数恒过定点 ，然后对于指数型函数和对数型函数，类比进行即可 . 若 ，则 答案： 试题分析： ， 考点：本题注意考查根式的化简 . 点评：对于此类题目，学生应该分清楚化简 时应分 是奇数还是偶数，不同的 结果是不一样的 .另外还要注意利用公式时要注意公式适用的条件 . 解答题 （本小题 10分）设全集为 ， 求： 答案： ；试题分析： 考点
11、：本题主要考查集合的子、交、并、补的运算 . 点评：对于此类题目，学生应该在掌握集合的子、交、并、补的运算规则的基础上，画数轴辅助解题，画数轴时应该注意实点和虚点的区别 . （本小题 12分）已知函数 （ 1）作出函数 的图像； （ 2）解不等式 答案：（ 1）见；（ 2） . 试题分析：（ 1） 当 时， 1 分 当 时， 2 分 当 时， 3 分 ， 4 分 所以函数 的图像为 6 分 （ 2）当 时， 8 分 当 时， 无解； 10 分 当 时， 得 ， 所以不等式 的解集为 .12 分 考点：本题主要考查分段函数的图象与应用 . 点评：对于此类问题，学生要注意分段函数分界点的选取，分段
12、时要做到不重不漏，即每一段之间交集为空集，每一段并起来为全集；分段函数解题关键在于找准自变量对应的函数式，分段求解 . （本小题 12分） 某市居民生活用水收费标准如下： 用水量 （吨） 每吨收费标准（元） 不超过 吨部分 超过 吨不超过 吨部分 3 超过 吨部分 已知某用户一月份用水量为 吨，缴纳的水费为 元；二月份用水量为 吨，缴纳的水费为 元设某用户月用水量为 吨，交纳的水费为 元 （ 1）写出 关于 的函数关系式； （ 2）若某用户希望三月份缴纳的水费不超过 元，求该用户三月份最多可以用多少吨水？ 答案：三月份最多可以用 11吨水 . 试题分析：（ 1）由题意知 ，可得 ， 由 可得
13、即 （ 2）由（ 1）可知，当 时， ；当 时， ；当时， 。令 ，可知 ，所以 ，解得 . 所以三月份最多可以用 11吨水 . 考点：本题主要考查分段函数的实际应用 . 点评：对于此类问题，学生首先应该仔细读题，明白题意，根据题意列出函数式或求出其中的参数，然后再根据函数式解决实际问题，另外需要特别注意的是对于实际问题，变量有实际的取值范围，不能只让函数有意义而忽略了实际的定义域 . （本小题 12分）若 ，函数 （其中 ） （ 1）求函数 的定义域； （ 2）求函数 的值域 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1） 因为 ，所以 的定义域为 ； （ 2） ，函数 的值域为 考点：
14、本题主要考查简单的分式不等式的解法及二次函数在闭区间上的值域的求法 . 点评：对于解简单的分式不等式时，要注意由分式不等式向整式不等式转化时不要产生增根或漏解；求函数值域时，首先要用到换元法，此时需要注意换元前后自变量的取值范围的变化；求闭区间上二次函数的值域时，要结合函数的图象进行求解，不要出现简单的把端点代入求解的错误 . （本小题 12分） 已知函数 是奇函数，且 （ 1）求 ， 的值； （ 2）用定义证明 在区间 上是减函数 . 答案：（ 1） ；（ 2）见。 试题分析：（ 1）由题意知， ，所以 因为函数 是奇函数，所以 ， 所以 由 可得 （ 舍去），所以 （ 2）由（ 1）可得
15、，设 ，则因为 ，且 在 为增函数， 所以 ， ，所以 ， 所以 ，所以 在区间 上是减函数 考点：本题主要考查利用函数的奇偶性求参数值及利用定义证明函数的单调性 . 点评：已知一个函数为奇函数，如果 有意义，则 ，这个条件非常好用，常常能使运算变得非常简单；用定义法证明函数单调性时，要严格按照函数单调性的定义，遵循设变量、作差、变形、判断符号、下结论等步骤进行证明，另外需要注意的是变形时要化到最简单的形式，不要用已知函数的单调性来证明未知函数的单调性 .用定义法证明函数的单调性是一个非常重要的考点，学生应该注意牢固掌握，灵活应用 . （本小题 12分）定义运算： （ 1）若已知 ，解关于 的
16、不等式 （ 2）若已知 ，对任意 ，都有 ，求实数的取值范围。 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析 :（ 1）当 时，根据定义有所以原不等式的解集为 （ 2）依题意知 因为对任意 ，都有 ， 所以 因为 的图像开口向下，对称轴为直线 若 ，即 ，则 在 为减函数， 所以 ，解得 ，所以 若 ，即 ，则 ， 解得 ，所以 若 ，即 ，则 在 为增函数， 所以 ，解得 ，所以 综上所述， 的取值范围是 考点：本题主要以新定义为背景，考查恒成立问题 . 点评：对于此类新定义问题，学生要注意仔细审题，冷静思考，新问题的解决还是要靠 “老知识 ”“老方法 ”，应该有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们熟知的问题。对于恒成立问题，要转为为求最值来解决，分情况讨论求最值时，要做到不重不漏 .
